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【原】一維諧振子：求解厄米方程

 cosmos2062 2022-07-14 發(fā)布于廣東

厄米方程是數(shù)學物理問題中經(jīng)常遇到的微分方程，許多實際問題的微分方程經(jīng)過適當?shù)臄?shù)學處理后都可以化為厄米方程。求解厄米方程最常用的方法是將方程的解展開成冪級數(shù)。

除了無窮遠點之外，厄米方程沒有別的奇點，因此，可以在原點上將方程的解展開成冪級數(shù)：

將這個級數(shù)形式的解代入厄米方程中，微分方程就被轉(zhuǎn)化成級數(shù)方程。對級數(shù)方程做適當?shù)臄?shù)學處理就得到系數(shù)之間的遞推關(guān)系：
由此可以得到方程的兩個線性無關(guān)解
利用系數(shù)之間的遞推關(guān)系可以得到：
因此，除了無窮遠點之外，厄米方程的這兩個解都是收斂的，也就是說，它們的收斂半徑等于無窮大。這種收斂性讓我們想起以下函數(shù)的級數(shù)展開：
這個級數(shù)的收斂方式與厄米方程的級數(shù)解的收斂方式相似，并且收斂半徑也是無窮大：
于是，在無窮遠點，厄米方程的兩個解有這樣的漸近行為：
因此，如果厄米方程的兩個級數(shù)解是無窮級數(shù)，那么，波函數(shù)在無窮遠點就會有如下的漸近行為：
這種漸近行為顯然不滿足波函數(shù)在無窮遠處趨于零這個物理要求。

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