|作者：曹則賢(中國科學(xué)院物理研究所)
本文選自《物理》2022年第5期
一錘定音的本領(lǐng)來自對十八般兵器的樣樣精通。
——作者
11 龐加萊的論證
圖22 一輩子眼神不好的大神龐加萊
龐加萊(Henri Poincaré，1854—1912)，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、工程師、哲學(xué)家，數(shù)學(xué)界最后一個啥都懂的人(圖22)。龐加萊以數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家的身份聞名于世，其對相對論和量子力學(xué)的建立都有開創(chuàng)性的貢獻，參見拙作《磅礴為一》。龐加萊的物理研究涉及各個領(lǐng)域，自然會關(guān)切黑體輻射的研究。龐加萊批評普朗克的理論缺失振子間交換能量的機制，為此他提出兩個可能：其一為多普勒效應(yīng)，不同運動速度的振子會發(fā)出不同的頻率；其二，不同本征頻率振子間的碰撞導(dǎo)致頻率遷移。這個批評對黑體輻射研究意義不大。龐加萊對量子力學(xué)的重要貢獻，是他于1912年證明了振子模型中能量量子化是得到普朗克黑體輻射公式(差個因子2。有解釋說那時候還沒有光子自旋的概念，但那時候早已有的表示)的充分必要條件。龐加萊的這個工作，為自1900年普朗克用能量量子化假設(shè)，即一定頻率的光其能量為hv的整數(shù)倍，得到黑體輻射后物理學(xué)家們理解(擺脫)量子概念的努力劃上了句號。能量量子化是得到普朗克分布的充分條件很容易驗證。實際上，普朗克一直在努力要證明能量量子化是沒必要的，如果不是錯的，甚至為此在1913年得到了零點能等重要概念(見上)。直到龐加萊的這個數(shù)學(xué)證明出來以后又過了一段時間，普朗克才消停，而不是如一般量子力學(xué)文獻所述的那樣，到了愛因斯坦1905年用能量量子化解釋了光電效應(yīng)的實驗結(jié)果就消停了。龐加萊此一工作在眾多的量子力學(xué)教科書中未見有提及。筆者再次重申，從理論嚴謹性的角度來看，龐加萊的這個論證是不可或缺的，否則能量量子化一直就是個讓人，至少是普朗克本人，無法放心的假設(shè)。這個證明，是普朗克、愛因斯坦這種數(shù)學(xué)水平的人不可能完成的任務(wù)。從實用的角度來看，它是通往量子統(tǒng)計和固體量子論的橋梁，懂得這個道理后更加容易理解量子統(tǒng)計。愛因斯坦、艾倫菲斯特等人在龐加萊此項工作的基礎(chǔ)上很快系統(tǒng)深化了固體量子論。愛因斯坦1917年閑來無事又考慮黑體輻射公式提出了受激輻射的概念，1924年見到玻色(Satyendra Nath Bose，1894—1974)的相空間量子化假設(shè)就得出了玻色—愛因斯坦統(tǒng)計和玻色—愛因斯坦凝聚，這是愛因斯坦令筆者崇拜不已的小細節(jié)。
龐加萊在1911年開始思考一個問題，是否不引入量子不連續(xù)性也能得到普朗克公式[H. Poincaré，Sur la theorie de quanta(量子的理論)，J. Phys.2，5-34(1912)]？他發(fā)現(xiàn)結(jié)論是No. 龐加萊分析振子同原子運動之間的能量分配(partition)問題。振子的平均能量和輻射的能量密度關(guān)系是基于隨機相位近似得到的。還是從玻爾茲曼分布開始，若相空間體積元為dV，則狀態(tài)落在此部分里的概率為e-E/kTdV，這是統(tǒng)計的基本原則。換個表達，可以表示為能量間隔里的概率，dW=Ce-E/kTω(E)dE，其中按定義ω(E)=dV/dE，這是能量E所包含的相空間體積V關(guān)于能量之導(dǎo)數(shù)。龐加萊研究函數(shù)的性質(zhì)。系統(tǒng)的平均能量為；也就是說，平均能量和狀態(tài)密度函數(shù)ω(E)是通過拉普拉斯變換聯(lián)系起來的。對于經(jīng)典振子，ω(E)=1，則有。若振子的平均能量是，則要求量子化的能量nε，n=0，1，2，3…。因為意味著，展開，得到相應(yīng)的狀態(tài)密度函數(shù)ω(E)=δ(E)+δ(E-ε)+δ(E-2ε)+…。龐加萊的結(jié)論是，和平均能量唯一兼容的權(quán)重函數(shù)就是ω(E)=δ(E)+δ(E-ε0)+δ(E-2ε0)+…，ε0=hv。普朗克量子化是普朗克分布公式的充分必要條件。這意思是說，某些分布函數(shù)只能是分立存在的結(jié)果。
按照上述理論，后來我們知道對應(yīng)玻爾茲曼、費米—狄拉克和玻色—愛因斯坦三種分布的態(tài)密度函數(shù)ω(E)分別就是ω(E)=1；ω(E)=δ(E)+δ(E-ε)，和ω(E)=δ(E)+δ(E-ε)+δ(E-2ε)+…。其實對于兩態(tài)的系統(tǒng)，平均能量就是，這和它是不是遵循費米統(tǒng)計無關(guān)。這樣看來，所謂的費米統(tǒng)計和玻色統(tǒng)計并沒有本質(zhì)上的差別。設(shè)想如果有某種我們認定的玻色子，被限制在了一個兩能級體系中，那么它的行為也就是費米子。1917年，愛因斯坦得到兩能級體系的能量密度與振子平均能量關(guān)系是，將代入，因為，結(jié)果依然是普朗克分布！注意，x很大時，；若x→0，。后者對應(yīng)瑞利—金斯分布的情形。
，得到普朗克公式是水到渠成的事兒。然而，這個公式里的n是從0開始的。能量為0的狀態(tài)，是存在的狀態(tài)嗎？筆者學(xué)統(tǒng)計物理的時候，一直有這個疑惑。一個諧振子，能量等于0，那叫有振動？謝天謝地，我的這個疑惑不是因為就我個性別扭，原來艾倫菲斯特早就注意到了這個問題。這個問題的一個巧妙的解決是存在零點能，即大自然的(微觀)諧振子能量不是nhv，而是(n+1/2)hv。大數(shù)統(tǒng)計規(guī)律要求從n=0算起，但n=0物理上不合理，于是有了零點能1/2。太神奇了吧？這個情節(jié)鏈，寫小說的都不敢這么安排。物理學(xué)，比小說精彩。此外，關(guān)于普朗克譜分布公式的推導(dǎo)，都是關(guān)于一個固定的頻率獲得一個表達式的，但黑體輻射是關(guān)于頻率變化的公式，頻率是連續(xù)的變量！這里面有個概念的騰挪，你注意到了沒有？這又是個大坑！
關(guān)于龐加萊的證明，有如下參考文獻：
[1] J. D. Norton，The determination of theory by evidence：The case for quantum discontinuity 1900-1915，JSTOR97，1-31(1993).
[2] F. E. Irons ，Poincaré’s 1911-12 proof of quantum discontinuity interpreted as applying to atoms，Am. J. Phys.69(8)，879-884(2001).
龐加萊對相對論和量子力學(xué)的貢獻都是奠基性的、一錘定音式的。他對量子化條件作為黑體輻射公式的充分必要條件的一錘定音，其意義不下于強調(diào)洛倫茲變換要構(gòu)成群對狹義相對論的意義。這一點，在物理文獻中竟然長期被忽略了。能夠率先自發(fā)地認識到這一點，筆者為自己感到驕傲。
12 勞厄的小插曲
圖23 勞厄
勞厄(Max von Laue，1879—1960)和愛因斯坦同年，1914年因晶體的X-射線衍射獲得諾貝爾物理獎(圖23)。勞厄1899年在20歲上才開始上大學(xué)，先后上了斯特拉斯堡(現(xiàn)屬法國)大學(xué)、哥廷恩大學(xué)、慕尼黑大學(xué)，1902年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)，跟隨普朗克學(xué)習(xí)，1906年就在索末菲手下獲得了私俸講師的資格。勞厄著述頗豐，主要在X-射線和相對論方面，就不在此一一羅列了。有一本關(guān)于物理學(xué)史的，Max von Laue, Geschichte der Physik, Universit?tsverlag(1946)，被翻譯成了多種語言。
勞厄1915年發(fā)表了兩篇關(guān)于黑體輻射的文章，Max von Laue, Die Einsteinschen Energieschwankungen(愛因斯坦的能量漲落)，Verh. der Deutsch. Phys. Ges.17, 237-245(1915)；以及M. von Laue，Ein Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und seine Anwendung auf die Strahlungstheorie(一個概率計算的定理及其在輻射理論上的應(yīng)用)，Annalender Physik(Series 4)47，853-878(1915)，愛因斯坦對后一篇論文的回復(fù)是在同一期雜志上發(fā)表的，見A. Einstein，Antwort auf eine Abhandlung M. von Laue: Ein Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und seine Anwendung auf die Strahlungstheorie, Annalen der Physik (Series 4)47，879-885(1915).
勞厄思考的問題是，表示自然輻射之振動的傅里葉級數(shù)的系數(shù)，統(tǒng)計上可以當(dāng)作獨立的存在對待嗎？勞厄的結(jié)論是，從這個傅里葉展開的系數(shù)看，統(tǒng)計上需要的輻射無序，不可能是空間上無序的眾多振子共同造成的。輻射的無序，源于單個振子之輻射的無序。筆者對這段內(nèi)容看不懂，尤其是黑體輻射的愛因斯坦推導(dǎo)、相位相干的激光和黑體輻射的無序源于單個振子輻射的無序，這三個內(nèi)容筆者一直無法在物理圖像上加以調(diào)和。
傅里葉分析在托勒密的天文學(xué)中即已孕育成型。筆者以為對傅里葉分析之思想角度的認識還有提升的空間。勞厄的這個小插曲很重要。把傅里葉級數(shù)的系數(shù)當(dāng)成統(tǒng)計獨立的存在對待，愛因斯坦是認同的，是按照ja處理的。1925年，海森堡(Werner Heisenberg，1901—1976)為構(gòu)造譜線強度也是把傅里葉系數(shù)當(dāng)作獨立對象對待的。這兩篇文章要放到一起參詳，并關(guān)注是否有后續(xù)的發(fā)展。容筆者有時間仔細研讀后再補充。
13 泡利的推導(dǎo)
圖24 泡利，著名的物理學(xué)的鞭子
奧地利物理學(xué)家泡利(Wolfgang Pauli，1900—1958)是個天才型人物，以對量子力學(xué)的貢獻和預(yù)言中微子而聞名，獲1945年度諾貝爾物理學(xué)獎(圖24)。泡利出生于維也納，從大學(xué)入學(xué)到博士畢業(yè)在德國慕尼黑大學(xué)整整花了三年時間。泡利的物理基礎(chǔ)非常好，熟悉熱力學(xué)，Pauli lectures on physics 包含 thermodynamics and the kinetic theory of gases(卷3)以及Statistical mechanics(卷4)，可資為證。泡利1921年博士畢業(yè)后去給馬克思?玻恩當(dāng)助手，一年后去了哥本哈根。1923年這篇關(guān)于黑體輻射的論文就是年僅23歲的泡利在哥本哈根期間寫的。
1923年是老量子力學(xué)已積累了足夠多的內(nèi)容、新量子力學(xué)馬上要誕生的一年(Quantenmechanik一詞出現(xiàn)于1924年)。愛因斯坦1916年的黑體輻射推導(dǎo)，是基于輻射場同分子能級上的電子躍遷之間的平衡。那么，對于根本沒有內(nèi)能級的對象，比如電子，同輻射場構(gòu)成的體系呢？泡利要找到輻射與自由電子之間相互作用的量子版機理，使得麥克斯韋分布的電子同普朗克分布的輻射能處于平衡[Wolfgang Pauli, über das thermische Gleichgewicht zwischen Strahlung und freien Elektronen(輻射與自由電子之間的熱平衡)，Zeitschrift für Physik18，272-286(1923)]。愛因斯坦為原子體系(通過光吸收—發(fā)射)找到了如下的量子機理。吸收和受激輻射都是Erzwungene(被迫的)過程，平衡是自發(fā)輻射(體系自身的性質(zhì)，幾率由系數(shù)A描述)與受迫過程(吸收+受激輻射。體系在輻射場下的行為，雙向的幾率由系數(shù)B乘上ρ來描述)的競爭。只要，則輻射能量和物質(zhì)體系的內(nèi)能就是平衡的。愛因斯坦證明，如果認為轉(zhuǎn)移了能量E的基本過程還伴隨了動量的轉(zhuǎn)移(方向隨機)，則物質(zhì)系統(tǒng)的平動能也可以納入這個模型。
如果輻射場里是電子這樣的基本粒子，那里就沒有自發(fā)輻射這回事兒了(沒有內(nèi)部自由度，自然就沒有可見光能撬動的內(nèi)部自由度)，只需要考慮電子的平動能。采用康普頓和德拜的物理(X-射線與電子之間的散射)，光有能量hv和動量hv/c，電子有動量和能量。光場和電子散射的幾率正比于dΩ=2πsinθdθ(這是三維空間的權(quán)重因子)，正比于入射光的強度，這都沒問題，還得有一個依賴于入射頻率v和散射角的函數(shù)。湯姆森的理論是，這個因子為，與頻率無關(guān)。我們將看到，熱平衡問題對這個比例因子沒要求。如果過程v→v ′幾率正比于譜密度ρv，結(jié)果平衡態(tài)時是維恩分布{有個疑問哈，這是因為散射過程是頻率減小的過程？那反康普頓效應(yīng)如何納入，會帶來什么樣的影響呢？}，而如果對與不同頻率輻射的相互作用做個適當(dāng)假設(shè)的話，就能得到普朗克分布。
電子和光子的動量四矢量各不相同，E2-(pc)2=m2c4，光對應(yīng)上式m=0的情形。光、電子在散射前后，動量四矢量肯定都滿足模平方是不變量啊。根據(jù)狹義相對論，找到一個Normalkoordinatensystem[正規(guī)坐標系，見Erwin Schr?-dinger，Dopplerprinzip und Bohrsche Frequenzbedingung(多普勒原理與玻爾的頻率條件)，Physikalische Zeitschrift23，301-303(1922)]，經(jīng)過基本過程輻射頻率和電子的速度都不變，也即在這個參照系內(nèi)沒發(fā)生射線與電子之間的能量交換。在接下來的相對論變換處理中，泡利巧妙地用到了一段時間里發(fā)生的基本過程數(shù)目應(yīng)該是洛倫茲不變的，則單位時間內(nèi)發(fā)生的基本過程數(shù)目同時間的變換是相反的。一通操作后泡利得到，那個幾率權(quán)重函數(shù)的形式應(yīng)該為，其中Φ是某個洛倫茲變換不變量，E，U分別是輻射和電子的能量。由于這個權(quán)重因子一般寫為F=Aρv，而洛倫茲變換意義下ρv∝v3[Kurd von Mosengeil，Berl. Diss.，1906；Theorie der station?ren Strahlungin einem gleichf?rmig bewegten Hohlraum(勻速運動空腔內(nèi)靜態(tài)輻射的理論)，Annalen der Physik22，867-904(1907)。詳細討論見下]，故得，其中Ψ是洛倫茲變換不變量。這個權(quán)重因子一般寫為F=Aρv，這樣的平衡條件下得到的是維恩分布。可以考慮給這個權(quán)重因子加一項，類比于經(jīng)典的干涉起伏(Interferenzschwankungen)，選擇F=Aρv+Bρv2，發(fā)現(xiàn)不好使，而寫成F=Aρv+Bρvρv1，就得到普朗克分布了。這個表達式的意思是，當(dāng)輻射場中頻率為v和v1的輻射都有時，過程v→v1更經(jīng)常發(fā)生。{薩哈離化方程也有這個意思。終態(tài)的空，是物理過程的關(guān)鍵因素！此外，請注意撲克牌游戲也表明，一手牌如何出才算正確，不僅取決于手中還有的牌，也取決于已經(jīng)出了的牌。}
到此時，筆者發(fā)現(xiàn)這些物理巨擘們總是通過添巴添巴點什么就能從維恩分布過渡到普朗克公式。維恩分布同普朗克分布之間的關(guān)系，絕不是什么經(jīng)典與量子的關(guān)系。把物理分成什么經(jīng)典的與量子的，應(yīng)該是不懂物理的特征表現(xiàn)。普朗克分布在愛因斯坦模型里是受激輻射，是波動性，在泡利模型里是初態(tài)—終態(tài)關(guān)聯(lián)，故而愚以為維恩分布某種意義上是考慮了一次項的結(jié)果，而普朗克分布還考慮了二次項修正，對應(yīng)物理上的兩態(tài)過程，這與量子不量子的無關(guān)。黑體輻射研究只是捎帶著產(chǎn)生了量子理論。這修正了筆者關(guān)于這個問題的認識。龐加萊的量子化是得到普朗克黑體輻射譜分布公式的充分必要條件是關(guān)于振子型物理體系的結(jié)論。
順便提一句，泡利問問題從來不給人留面子。據(jù)說一些對自己到底在干什么心里根本沒底兒的所謂實驗物理學(xué)家干脆以儀器壞了為由拒絕泡利參觀實驗室，也是機靈到極致了。
14 玻色的推導(dǎo)
圖25 玻色
印度人玻色是一個典型的polymath型的學(xué)者(圖25)。玻色1913年大學(xué)畢業(yè)，1915年碩士畢業(yè)，據(jù)說總考第一，他的朋友薩哈(Meghnad Saha，1893—1956)總考第二。玻色和薩哈是親密朋友，構(gòu)成了一個研究聯(lián)合體。{薩哈關(guān)于原子離化的公式與相空間、統(tǒng)計有關(guān)，這和玻色的學(xué)問極為接近。順帶說一句，愛因斯坦在伯爾尼時和朋友Conrad Habicht，Maurice Solovine組成了三人學(xué)習(xí)小組，自稱奧林匹亞學(xué)園，Akademie Olympia13)}據(jù)說當(dāng)年一個德國植物學(xué)家P. J. Bruhl來到了印度，隨身攜帶大量的德語科學(xué)書籍。這位老兄原本計劃到印度悠閑地多讀幾本書，結(jié)果發(fā)現(xiàn)印度太熱，于是急忙逃離連書都不要了。薩哈和玻色兩人因此得以熟讀玻爾茲曼、普朗克、維恩等人的著作。此外，一個叫Debendra Mohan Bose的印度人1919年從德國回到印度，給玻色又帶回了普朗克的書，這也就容易理解玻色為什么會研究黑體輻射問題了。玻色精通熱力學(xué)和電磁學(xué)理論，從1916年起開始研究相對論，故非常熟悉愛因斯坦的工作。1918年，薩哈和玻色兩人聯(lián)手在英國的Philosophical Magazine雜志上發(fā)表了關(guān)于氣體動力學(xué)的文章[Megh Nad Shaha, Satyendra Nath Basu14)，On the influence of the finite volume of molecules on the equation of state, Philosophical Magazine36, 199-202(1918)]，算是初試牛刀。1919年的愛因斯坦因廣義相對論而家喻戶曉，玻色與薩哈兩人努力把愛因斯坦的相對論德語表述翻譯成英文。1921年，玻色開始教授熱力學(xué)和麥克斯韋的電磁理論。據(jù)說是薩哈讓玻色注意泡利和艾倫菲斯特等人新近推導(dǎo)普朗克分布的努力。1923年，玻色向Philosophical Magazine雜志投了一篇稿件，宣稱統(tǒng)計力學(xué)方法即足以研究輻射—物質(zhì)間的熱平衡，與能量交換過程的具體機制無關(guān)。6個月后，玻色被拒稿。
1924年6月4日，玻色給愛因斯坦寄去一封德語信，信中寫道：
“尊敬的先生，我斗膽隨信發(fā)給您一篇文章向您請教。我急切地想知道您的看法。我試圖不依賴經(jīng)典電動力學(xué)而只通過假設(shè)相空間的體積單元為h3就能得到普朗克定律里的系數(shù)8πv2/c3。我的德語水平不足以把這篇文章翻譯成德語。如果您認為這篇文章還值得發(fā)表，請您安排它在Zeitschrift für Physik上發(fā)表，對此我不勝感激。盡管我們素不相識，但我在做出上述請求時沒有任何猶豫，因為雖然我們只能通過您的文章受教于您，我們也都是您的學(xué)生。
您真誠的
玻色”
我必須說，這是一封真誠的、禮貌周到的信函。愛因斯坦于7月2日回復(fù)了一張明信片，不長，照錄如下：
“Lieber Herr Kollege, ich habe ihre Arbeit übersetzt und der Zeitschrift für Physik zum Druck übergehen. Sie bedeutet einen wichtigen Fortschritt und hat mir sehr gut gefallen. Ihre Einw?nde gegen meine Arbeit finde ich zwar nicht richtig. Denn das Wiensche Verschiebungsgesetz setzt die undulationstheorie nicht voraus und das Bohrsche Korrespondenzprinzip ist überhaupt nicht verwendet. Doch dies thut nichts. Sie haben als erster den Facktor quantentheoretische abgeleitet wenn auch wegen des Polarisations-Faktor 2 nicht ganz streng. Es ist ein sch?ner Fortschritt.
Mit freundlichen Grüss Ihr
Albert Einstein
愛因斯坦的回復(fù)可簡單翻譯如下：
親愛的同事先生，我已將您的工作翻譯了，并交給 Zeitschrift für Physik 雜志刊印。您的工作意味著一個重要的進展，我很喜歡。您對我本人的工作的挑剔我以為并不正確，因為維恩的位移公式不以波動理論為前提，也根本沒用到玻爾的對應(yīng)原理。當(dāng)然了，這沒關(guān)系。您首先用量子理論導(dǎo)出了(普朗克公式的)因子，盡管關(guān)于極化因子2的部分不那么嚴謹。這確實是一個漂亮的進展。
致以友好的問候，您的
阿爾伯特·愛因斯坦
我必須說，對愛因斯坦的這個回復(fù)，我不知道說啥好。
愛因斯坦接受了玻色的請求，把他的文章翻譯成了德文。不知道玻色對愛因斯坦公式的挑剔是不是在英語原文中有更多體現(xiàn)。愛因斯坦在提交德語譯文給雜志時還附上了一個便條，上寫道：“我認為，玻色對普朗克公式的推導(dǎo)是一個重要的進展。這里用到的方法也能得到理想氣體的量子理論。關(guān)于這一點，我會在別處展開(Boses Ableitung der Planckschen Formel bedeutet nach meiner Meinung einen wichtigen Fortschritt. Die hier benutzte Methode liefert auch die Quantentheorie des idealen Gases, wie ich an anderer Stelle ausführen will)?！?/p>
派斯在愛因斯坦傳記中認為，玻色1924年的文章是老量子力學(xué)的第四篇也是最后一篇革命性文章，前三篇分別是Planck(1900)，Einstein(1905)和Bohr(1913)那三篇。我比較認同這個說法。
在其1924年的第一篇關(guān)于黑體輻射的文章[S. N. Bose, Plancks Gesetz und Lightquantenhypothese(普朗克定律與光量子假說)，Zeitschrift für Physik26，178-181(1924).此為玻色人生里的第6篇論文]里，玻色指出普朗克推導(dǎo)中使用的量子論的前提與經(jīng)典電動力學(xué)不符。所有的推導(dǎo)都使用了關(guān)系，其中E是作為振子的平均能量，還假設(shè)了以太自由度的數(shù)目，即公式右側(cè)的第一項，其是從經(jīng)典理論導(dǎo)出的。這是所有推導(dǎo)中令人不滿意的地方，也因此人們試圖找到一個克服這個邏輯缺陷的推導(dǎo)。在我看來，所有的推導(dǎo)邏輯上都不夠堅挺，而我覺得量子假設(shè)加上統(tǒng)計物理就足以導(dǎo)出普朗克公式而無需再用到經(jīng)典理論。
設(shè)總能量為E的輻射被限制在體積為V的物理空間里。。由Ns表征的分布，其概率應(yīng)該在滿足輔助能量條件的前提下取最大。這個概率的表示是我們要找尋的物理。輻射量子有動量hνs/c。這些量子們的狀態(tài)由x，y，z和px，py，pz表征，且。{經(jīng)典物理混合著量子假設(shè)。請記住，色散關(guān)系，色散關(guān)系，色散關(guān)系！}相空間積分，這意思是說，如果把相空間分成h3大小的小室15)，則在頻率v→v+dv之間的小室數(shù)目為個。至于為什么這么分，這沒啥可說的(In bezug auf die Art dieser Einteilung kann nichts Bestimmtes gesagt werden!)。為了計入存在偏振的事實，這個數(shù)改為。玻色對愛因斯坦擅自加上這個因子2老大不高興。
現(xiàn)在計算狀態(tài)的熱力學(xué)概率。在頻率范圍vs→vs+dvs內(nèi)有Ns個量子。這Ns個量子在頻率范圍vs→vs+dvs內(nèi)的小室中分布，記，設(shè)內(nèi)中沒有量子的小室數(shù)目為As0個，有一個量子的小室數(shù)目為As1個?，這就變成了在約束Ns=0·As0+1·As0+?之下去計算復(fù)合體數(shù)，{再次強調(diào)一遍，即所謂的complexion，有時候就說是狀態(tài)數(shù)。接下來玻爾茲曼1877年的舊手段就可以用了}當(dāng)然還有As=As0+As1+?，寫成。系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù)為。做變分，共有如下幾項變分：(1)，總能量E固定；(2)δNs=；(3)；和(4)=0，這些是極值條件。由
解得；{后來統(tǒng)計物理中老出現(xiàn)的配分函數(shù)}進一步地，，。返回頭，由E和S的表達式，
使用?S/?E=1/β，解得β=kT。{復(fù)述上述內(nèi)容時對于有些標記我作了改動?？纯慈思以谕茖?dǎo)時，一點不受約束。玻色總是把當(dāng)作大數(shù)處理，雖然也可以為0，1，2這樣的小數(shù)目。咱們敢嗎？忽然想到，玻色被拒稿是不是也有點兒道理。}
玻色的推導(dǎo)簡單明了，但它有三個新穎、激進的特征。(1)黑體輻射由0-質(zhì)量，動量為hν/c(那時候關(guān)系p=hv/c才剛寫出一年半)、能量為hv的類粒子光量子組成，它們被當(dāng)作粒子進行排列組合；(2)沒有涉及經(jīng)典理論。所謂獨立的、穩(wěn)衡的振動模式數(shù)被粒子相空間的小室(數(shù)目)給替代了；(3)玻色的在小室中分配頻率區(qū)間內(nèi)量子數(shù)目的統(tǒng)計規(guī)律意味著粒子間存在一種新的統(tǒng)計相關(guān)。這種特征被稱為粒子不可分辨性(全同性)，只和計數(shù)方式有關(guān)。將相空間整數(shù)化，相較于普朗克的能量整數(shù)化，看似是個進步。其實，相空間量子化是幾何的玩法，量子就是首先被黎曼在1859年作為幾何對象引入的。物理幾何化也是物理的后來發(fā)展方向。這些算是關(guān)于光的行為和統(tǒng)計的革命性看法。玻色的文章稱輻射是無質(zhì)量粒子。{光子，photon，這個名字1926年才出現(xiàn)}因為吸收和發(fā)射，熱輻射作為粒子集合那就有粒子數(shù)不守恒問題。在這些認知下，用一種新的統(tǒng)計方式描述，得到了普朗克統(tǒng)計。
玻色對普朗克推導(dǎo)用到的ad hoc假設(shè)感到很困惑，{確實讓人困惑。當(dāng)年我一直也弄不清楚哪來的諧振子}。玻色認為需要一個新的和量子理論相洽的統(tǒng)計力學(xué)，把關(guān)于能量交換基本過程的機制的假設(shè)放棄，就能消除那些邏輯缺陷。普朗克公式里的因子8πv2dv/c3是單位體積內(nèi)輻射量子態(tài)的總數(shù)。
玻色的第二篇文章依然是愛因斯坦翻譯成德語發(fā)表的[S. N. Bose. W?rmegleichgewicht im Strahlungsfeld bei Anwesenheit von Materie(有物質(zhì)在場時輻射場的熱平衡)，Zeitschrift für Physik27, 384-393(1924)]。玻色指出，德拜從統(tǒng)計導(dǎo)出普朗克公式，不過還是用到了經(jīng)典電動力學(xué)，那里普朗克公式里的因子是能量量子化了的振子的數(shù)目。可將理解為6-維相空間中的量子，即基本區(qū)域(Elementargebiet)，的數(shù)目。愛因斯坦利用的是輻射場同帶(內(nèi)稟)能級的原子之間的相互作用，而在1923年德拜、艾倫菲斯特和泡利等人的理論模型中出現(xiàn)的是輻射場同電子間的相互作用，由此也能導(dǎo)出普朗克公式(見上節(jié))。愛因斯坦和艾倫菲斯特的多光子過程，是對自己和泡利工作的推廣。泡利的關(guān)于正、反過程之概率表達可以推廣為
玻色認為上述推導(dǎo)包含不必要的假設(shè)，物質(zhì)在輻射場中的熱平衡依然可以用統(tǒng)計的方法得到而不必涉及具體的能量交換機制。{這正體現(xiàn)統(tǒng)計的威力啊!}況且，體系狀態(tài)的概率就是兩者各自概率的乘積，所謂的平衡態(tài)就是整體體系的概率最大。若平衡時輻射場是普朗克分布，物質(zhì)是麥克斯韋分布，那相應(yīng)的統(tǒng)計關(guān)系是什么樣的呢？
關(guān)于輻射，譜范圍ν→ν+dν的量子數(shù)為Nνdν，相空間單元數(shù)為，則W=。{此處有小錯。這個表達式應(yīng)為。你敢拿微分表示做階乘嗎？你敢拿連續(xù)量作為連乘的指標嗎？小數(shù)的階乘你也敢用Maclaurin展開對付嗎？反正玻色敢而我不敢，我學(xué)的數(shù)學(xué)誤導(dǎo)了我}關(guān)于物質(zhì)粒子，相空間也是分成小區(qū)域的。每一個小區(qū)域中有一個數(shù)g給出任意粒子處于其中的概率，{啥意思，為啥啊?}這個數(shù)g可以是各處相同的，則N個粒子在不同小室里分布的分布數(shù)是，條件是當(dāng)粒子滿足麥克斯韋分布時這個分布數(shù)最大，{原文誤為E}.對于平衡時系統(tǒng)的分布數(shù)，滿足和，注意，玻色這里注意到了光量子數(shù)是不守恒的！光量子沒有粒子數(shù)守恒問題。所謂平衡，則是粒子那邊的狀態(tài)的一上一下調(diào)整，以及光量子這邊的一上一下調(diào)整的過程(散射)，由此引起的W的變化應(yīng)為零。條件是，。{當(dāng)年的審稿估計不嚴，擱現(xiàn)在這篇亂糟糟的文章估計不好發(fā)表}這相當(dāng)于德拜那里的條件。玻色接下來分析了愛因斯坦、泡利和愛因斯坦—艾倫菲斯特的模型，給出了具體的平衡條件。此處細節(jié)不贅述。
愛因斯坦對玻色的第二篇文章的評論是，“您的原理同如下兩個條件不相容：(1)吸收系數(shù)獨立于輻射密度；(2)輻射場中振子的行為應(yīng)該作為極限情況從統(tǒng)計規(guī)律得到?！辈Ｉ荒芙邮苓@種觀點。1925年兩人在柏林相遇，愛因斯坦建議玻色考慮兩件事：(1)新統(tǒng)計是否意味著光量子之間有新的相互作用？(2)在新量子理論中光量子統(tǒng)計和躍遷概率是怎樣的？結(jié)果都沒下文。
據(jù)Partha Ghose回憶，玻色有自己的構(gòu)造量子論的方法，基于自發(fā)輻射和受激輻射之間的關(guān)聯(lián)，擬作為其第三篇文章的主題。愛因斯坦是將自發(fā)輻射和受激輻射當(dāng)作獨立的過程處理的。玻色說他打算從新觀點看待輻射場，把能量量子的傳播同任何電磁影響分開來，而且如果量子論要想同廣義相對論合拍的話，這種分離就是必要的。但是玻色關(guān)于黑體輻射的第三篇文章一直沒有蹤影。1924—1925年在法國和德國待了一段時間后，玻色從柏林回到印度，后來就沒有研究成果了。
Ghose的回憶還提及，玻色晚年曾坦承他獲得普朗克公式的因子是4πν2/c3而不是8πν2/c3。玻色認為這多余的因子2可能來自光子有一個單位的自旋，同自身的傳播方向平行或者反平行。{這是螺旋性的概念吧。再說，photon的概念1926年才有的}玻色是用孟加拉語說的“那老頭兒把這個給劃掉了!”愛因斯坦簡單地代之以這個因子2來自光的偏振。也許愛因斯坦以為沒必要談?wù)摴獾淖孕?。而玻色認為，對一個粒子來說，偏振是什么意思?。縶愚以為，玻色的這個質(zhì)疑是有道理的。可是對光這種動量空間的粒子來說，也許偏振是有意思的？我覺得今天所謂量子光學(xué)沒有，也許是因為沒有能力，面對這個問題。}
玻色在這兩篇論文里的玩法，是愛因斯坦早已經(jīng)玩得溜溜的了。因此，愛因斯坦看到玻色的論文愿意為他翻譯，并且說他也要接著做些工作。愛因斯坦說到做到，1924年一篇，1925年兩篇，且在第二篇論文中引入了凝聚(玻色—愛因斯坦凝聚)的概念。
關(guān)于玻色的工作，如下幾篇文獻可供參考：
[1] Kameshwar Wali, The man behind Bose statistics, Physics Today59(10), 46-52(2006).
[2] Robert Bruce Lindsay and D. ter Haar, Men of physics: Lord Rayleigh-The Man and his work, Pergamon (1970).
[3] Mehra Jagdish, Golden age of theoretical physics, World Scientific (2001).
[4] Barry R. Masters, Satyendra Nath Bose and Bose-Einstein statistics, Optics and photonics news, 41-47, April 2013.
上述內(nèi)容寫好一段時間后我注意到了如下內(nèi)容。波蘭人納坦松(W?adys?aw Natanson，1864—1937)在1911年[W. Natanson，über die statistische Theorie der Strahlung(輻射的統(tǒng)計理論)，Physikalische Zeitschrift12，659-666(1911)]指出，推導(dǎo)出普朗克公式的前提是能量量子的不可分性。P個能量量子(Energiequanten)在N個能量載體(Energiehalter)分配，可能組合數(shù)為。如果是可分的，就少P!項，{載體反正是不可分的？}結(jié)果就是玻爾茲曼分布。因此，有Natanson—Bose—Einstein統(tǒng)計的提法。然而，愚以為似乎不然。Bose—Einstein統(tǒng)計另有深意。關(guān)于粒子組合與統(tǒng)計，見Paul Ehrenfest, Heike Kamerlingh Onnes, Vereinfachte Ableitung der kombinatorischen Formel, welche der Planckschen Strahlungstheorie zugrunde liegt(作為普朗克輻射理論基礎(chǔ)的組合公式的簡化推導(dǎo))，Annalen der Physik46，1021-1024(1915)。在這篇文章里，艾倫菲斯特指出，愛因斯坦處理他的光量子的方式是，P個相同的、完全分立的量子(gleichartige, voneinander losgel?ste Quanten)，當(dāng)其所處空間的體積不可逆地從N1變到N2時，{用N表示體積，是不是容易看成是某個體積單元，Raumzellen，的倍數(shù)？}相應(yīng)的熵變?yōu)镾2-S1=klg(N2/N1)P。如果看作是P個量子分配入N個體積單元的問題，那相應(yīng)的分配數(shù)之比為N2p∶N1p。如果是按照普朗克的處理，分配數(shù)之比應(yīng)該是。這兩者在P是大數(shù)時相近似。如愛因斯坦那樣計算熵來處理黑體輻射會得到維恩分布。
(未完待續(xù))
注：
13)別見到個Akademie，Academy就翻譯成科學(xué)院，Academy，Ακαδ?με?α，來自雅典一個英雄的名字。Ακαδ?με?α是雅典城外一片供奉女神雅典娜的種橄欖樹的園子，garden，柏拉圖老師在約公元前385年在那園子里辦學(xué)，才讓Ακαδ?με?α一詞有了高大尚的意思。一般把Academy of Sciences翻譯成科學(xué)院，科學(xué)這個標簽是要硬貼上去的。在法國，Académie層次在l’ Institut de France之下。
14)原文如此。
15)Zelle，cell，生物學(xué)中漢譯為細胞，固體物理中漢譯為單胞、元胞。Electriccell則被譯成電池。中國人在不著調(diào)的學(xué)者帶領(lǐng)下學(xué)個科學(xué)真難??！
