圖1. 遇見數(shù)學(xué)公眾號(hào)上的視頻截屏

遇見數(shù)學(xué)公眾號(hào)發(fā)了一個(gè)視頻“ 的結(jié)果是什么？”，它是圍繞歐拉公式 討論的。我們都知道，。而 。這個(gè)視頻就是把這兩個(gè)事實(shí)結(jié)合起來得到 。它大約等于 。

這個(gè)視頻很有意思。我本來期待他能做一點(diǎn)展開，但對(duì)于一個(gè)七分半鐘的視頻，我們確實(shí)不能太過強(qiáng)求。

在大家看完視頻之后，我想問一句，通過這么個(gè)視頻，你只收獲了這樣一個(gè)小題目嗎？有沒有想到，我們還能挖出什么有意思的問題來？比如，你有沒有想過， ,，或者 。今天我們就考慮這樣的幾個(gè)問題。

面對(duì) 這樣的問題，我們還容易想到更高的冪。如果我們記 , , ，我們會(huì)得到一個(gè)什么樣的序列？顯然，我們不會(huì)總是得到實(shí)數(shù)。比如， 。如果你能打開Google網(wǎng)頁，在搜尋框里輸入 i^i^i 就可以得到這個(gè)結(jié)果。依次類推，有 ， ...... 但我們似乎看不出有什么美妙的結(jié)果。

為了得到更多的點(diǎn)，讓我們采用美國應(yīng)用數(shù)學(xué)家John Cook寫的一段Python程序：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N = 100
z = np.empty(N, dtype=complex)
z[0] = 1j
for k in range(1, N):
    z[k] = 1j**z[k-1]

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(z.real, z.imag, '.')
ax.set_aspect(1)
ax.set_xlabel("$x$")
ax.set_ylabel("$y$")
plt.savefig("temp.png")

得到的圖像就是下圖：

看上去，這上面有三條螺線，但它只是由一個(gè)單一的序列生成。這其實(shí)就是實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)的一個(gè)本質(zhì)區(qū)別。為了看出這個(gè)單一序列 的走向，讓我們把上面的程序稍作修改。將“ax.plot”那一行中最后的“.”換成“-”并重新運(yùn)行。得到的就是：

從圖4，我們可以期待這個(gè)序列有一個(gè)極限值 。讀者可以修改上面的程序來找到它的近似值。它大約是 。

有人可能會(huì)問，這個(gè)數(shù)太普通了，有沒有什么簡單的表達(dá)式？答案：“是”也“不是”。這里需要談到乘積對(duì)數(shù)函數(shù)（Lambert W function）。所謂乘積對(duì)數(shù)函數(shù)，也稱作朗伯W函數(shù)或歐米加函數(shù)。它是 的反函數(shù)。在實(shí)數(shù)軸上， 的定義域是 ，值域是 。所以，乘積對(duì)數(shù)函數(shù) 的定義域是 ，值域是 。這個(gè)函數(shù)被稱為乘積對(duì)數(shù)函數(shù)是因?yàn)樗性S多性質(zhì)與對(duì)數(shù)函數(shù)類似。關(guān)于這個(gè)函數(shù)應(yīng)該專門寫一篇。有人想寫嗎？這里我們需要的就是一條性質(zhì)：。記 。那么顯然 。兩邊取自然對(duì)數(shù)，得 。為了得到 函數(shù)得形式，我們可以做一些代數(shù)變換，得到

對(duì)上式得兩邊取 函數(shù)，

由此

關(guān)于 函數(shù)，我們可以在網(wǎng)上得到它的值。比如Wolfram Alpha就可以用。我們看到，雖然我們得到了 的一個(gè)表達(dá)式，但這個(gè)式子并沒有太大的幫助。不過我們還是學(xué)到了點(diǎn)東西。不是嗎？

從一段7分半鐘的視頻，我們可以學(xué)到更多的東西。如果大家覺得這篇短文能幫助自己學(xué)到點(diǎn)什么，那么本文達(dá)到了目的。最后我把前面沒有回答的問題留給讀者，然后給朋友們?cè)俪鰞傻李}：

題1. 計(jì)算 。答案是：.

題2. 計(jì)算 。答案是：.

References:

• 視頻 | i^i 的結(jié)果是什么？

• John Cook, i^i^i

• Lambert W-Function

• Lambert W function