一、基本初等函數(shù)

1、冪函數(shù)

一般地，函數(shù) y = x^a (a 為常數(shù)，a∈Q) 叫做冪函數(shù) .

冪函數(shù) y = x^a (a∈Q) 的性質(zhì)：

① 所有冪函數(shù)在 （0，+∞）上都有定義，并且圖象都經(jīng)過點（1,1）.

② 若 a > 0 , 冪函數(shù)圖象都經(jīng)過點 （0 , 0）和（1 ，1）在第一象限內(nèi)遞增；

若 a < 0 , 冪函數(shù)圖象只經(jīng)過點 （1,1），在第一象限內(nèi)遞減 .

③ 冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限，且不經(jīng)過第四象限；

如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是坐標(biāo)原點 .

④ 畫冪函數(shù)圖象時，先畫第一象限的部分，在根據(jù)函數(shù)的奇偶性完成整個圖象 .

⑤ 常見冪函數(shù)的圖象

常見冪函數(shù)的圖象

2、指數(shù)函數(shù)

一般地，函數(shù) y = a^x ( a > 0 且 a ≠ 1 ) 叫做指數(shù)函數(shù)，自變量 x 叫指數(shù)，a 叫底數(shù) .

指數(shù)函數(shù)的定義域是 R .

指數(shù)運算法則：

指數(shù)運算法則

指數(shù)函數(shù) y = a^x ( a > 0 且 a ≠ 1 ) 的圖象 ：

指數(shù)函數(shù)圖象（分兩種情況）

指數(shù)函數(shù)的主要性質(zhì)：

① 指數(shù)函數(shù) y = a^x ( a > 0 且 a ≠ 1 ) 定義域為 R ，值域 （0，+∞）；

② 函數(shù) y = a^x ( a > 1 ) 在 R 上遞增，函數(shù) y = a^x ( 0 < x < 1 ) 在 R 上遞減 ；

③ 指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點 （0 , 1）.

3、反函數(shù)

一般地，對于函數(shù) y = f(x)，設(shè)它的定義域為 D，值域為 A，

如果對于 A 中任意一個值 y，在 D 中總有唯一確定的 x 值與它對應(yīng)，且滿足 y = f(x) ,

這樣得到的 x 關(guān)于 y 的函數(shù)叫做 y = f(x) 的反函數(shù)，記作 x = f-1(y) ,

習(xí)慣上自變量常用 x 來表示，而函數(shù)用 y 來表示，所以把它改寫為 y = f-1(x) (x∈A) .

(1) 反函數(shù)的判定：

① 反函數(shù)存在的條件是原函數(shù)為一一對應(yīng)函數(shù)；

② 定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)；

③ 周期函數(shù)不存在反函數(shù)；

④ 定義域為非單元素的偶函數(shù)不存在反函數(shù) .

(2) 反函數(shù)的性質(zhì)：

① 函數(shù) y = f(x) 與 函數(shù) y = f-1(x) 互為反函數(shù) ；

原函數(shù) y = f(x) 和反函數(shù) y = f-1(x) 的圖象關(guān)于直線 y = x 對稱；

② 若點（a , b）在原函數(shù) y = f(x) 上，則點 （b , a）必在其反函數(shù) y = f-1(x) 上；

③ 原函數(shù) y = f(x) 的定義域是它反函數(shù) y = f-1(x) 的值域；

原函數(shù) y = f(x) 的值域是它反函數(shù) y = f-1(x) 的定義域，

④ 原函數(shù)與反函數(shù)具有對應(yīng)相同的單調(diào)性；

⑤ 奇函數(shù)的反函數(shù)還是奇函數(shù) .

(3) 求反函數(shù)的步驟：

① 用 y 表示 x ，即先求出 x = f-1(y) ；

② x , y 互換，即寫出 y = f-1(x)；

③ 確定反函數(shù)的定義域 .

注：

若函數(shù) f(ax + b) 存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為 y = 1/a [ f-1(x) - b ] ,

而不是 y = f-1(ax + b) ,

函數(shù) y = f-1(ax + b) 是 y = 1/a [ f(x) - b ] 的反函數(shù) .

4、對數(shù)函數(shù)

一般地，對數(shù)函數(shù)

對數(shù)函數(shù)

就是指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)

的反函數(shù) .

對數(shù)函數(shù)

的性質(zhì)：

① 對數(shù)函數(shù) y = logax 的圖象都在 y 軸的右側(cè)，定義域（0，+∞），值域 R ；

② 對數(shù)函數(shù) y = logax 的圖象都經(jīng)過點 （1 , 0）；

③ 對數(shù)函數(shù) y = logax （a > 1）:

當(dāng) x > 1 時，y > 0 ; 當(dāng) 0 < x < 1 時，y < 0 ;

對數(shù)函數(shù) y = logax （0 < a < 1）:

當(dāng) x > 1 時，y < 0 ; 當(dāng) 0 < x < 1 時，y > 0 .

④ 對數(shù)函數(shù) y = logax （a > 1）在 （0，+∞）上是增函數(shù)，

對數(shù)函數(shù) y = logax （0 < a < 1）在 （0，+∞）上是減函數(shù) .

二、習(xí)題檢測

【習(xí)題1】用定義證明：函數(shù) f(x) = x + 1/x 在 x∈[1 , +∞) 上是增函數(shù) .

【解析】

【習(xí)題2】已知函數(shù) f(x) = -x^2 + 2ax + 1 - a 在區(qū)間 [0 , 1] 有最大值 2，求實數(shù) a 的值 .

【解析】

解：函數(shù) f(x) = -x^2 + 2ax + 1 - a 的對稱軸為 x = a ,

① 當(dāng) a < 0 時，

[0 , 1] 是函數(shù) f(x) 的遞減區(qū)間，f(x) max = f(0) = 1 -a = 2 , 解得 a = -1 ;

② 當(dāng) a > 1 時，

[0 , 1] 是函數(shù) f(x) 的遞增區(qū)間，f(x) max = f(1) = a = 2 , 解得 a = 2 ;

③ 當(dāng) 0 ≤ a ≤ 1 時，

綜上所述，a = -1 或 2 .

【習(xí)題3】已知 2^x ≤ 256 , log2x ≥ 1/2 , 求函數(shù)

的最大值和最小值 .

【解析】

【習(xí)題4】已知 a > 0 且 a ≠ 1 , 求使方程

有解時的 k 的取值范圍 .

【解析】

∴ 0 < k < 1 或 k < -1 .

【習(xí)題5】某商品進(jìn)貨單價為 40 元，若銷售價為 50 元，可賣出 50 個，如果銷售單價每漲 1 元，銷售量就減少 1 個，為了獲得最大利潤，則此商品的最佳售價應(yīng)為多少元 .

【解析】

解：設(shè)最佳售價為 （50 + x ) 元，最大利潤為 y 元，

y = (50 + x)(50 - x) - (50 -x)×40

= -x^2 + 40x + 500

當(dāng) x = 20 時，y 取得最大值，

∴ 應(yīng)定價為 70 元 .