在教學(xué)中，碰到這樣一道有意思的題目。

如下圖所示的國(guó)旗中的五角星，小明通過度量發(fā)現(xiàn)五個(gè)尖角的度數(shù)之和為180°。愛思考的小明就想如果是如下右圖的不規(guī)則五角星∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度數(shù)之和是否仍然為180°呢？

通過度量大家發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論的確是成立的。大部分學(xué)生都會(huì)被如何證明所困擾。我們知道幾何強(qiáng)調(diào)的是邏輯推理，那么如何對(duì)這個(gè)問題展開思考呢？我們可以通過問題鏈的方式來引導(dǎo)學(xué)生層層深入。

180°在現(xiàn)學(xué)的內(nèi)容中出現(xiàn)的狀況只有兩種，一種是兩直線平行，同旁內(nèi)角之和為180°，一種是三角形內(nèi)角和為180°?？紤]到圖形中有很多的三角形，于是大家決定從三角形的內(nèi)角和角度去思考。

三角形只有三個(gè)內(nèi)角，而此題的結(jié)論中有五個(gè)角，所以學(xué)生決定看看圖形中有沒有能將兩個(gè)角并為一個(gè)角的基本圖形，即外角小紅旗模型（如下圖∠ACD=∠A+∠B）

在這道題中有這樣的基本圖形嗎？或者說∠A、∠B、∠C、∠D、∠E這五個(gè)角中有兩個(gè)角在一個(gè)三角形中嗎？思考發(fā)現(xiàn)其實(shí)很多，比如如圖所示的∠A和∠C就可以轉(zhuǎn)化為∠AME（或者∠CMD），當(dāng)然∠A和∠D也可以。

如此我們可以把這五個(gè)角轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形MNE里用內(nèi)角和解決問題。

再思考，剛剛得到的∠NME其實(shí)是中間五邊形FGHMN的一個(gè)外角，我們也學(xué)過任意一個(gè)多邊形的外角和都是360°。我們能不能從外角和的角度來思考解決這個(gè)問題呢？

在此基礎(chǔ)上，我們還可以結(jié)合三角形的內(nèi)角和構(gòu)造如下解法。

這時(shí)有同學(xué)說之前利用小紅旗的方式得到另一個(gè)結(jié)論（如下左圖）——∠EBC+∠FCB=180°+∠A。也可以利用這個(gè)結(jié)論轉(zhuǎn)化到五邊形內(nèi)角和來做。

我們這一章在小紅旗基本圖形的基礎(chǔ)上，還學(xué)過蝴蝶形、飛鏢模型（如下圖）。

那么這些基本圖形可以進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化嗎？其實(shí)飛鏢模型很好地將三個(gè)角的和轉(zhuǎn)化為一個(gè)角（∠BCD＝∠A＋∠B＋∠C）我們也可以從這個(gè)角度來思考如何解決這個(gè)問題。很明顯我們可以找到好幾個(gè)飛鏢模型（如下圖藍(lán)色部分），此時(shí)∠CHD＝∠A＋∠C＋∠D，考慮到△HBE的內(nèi)角和為180°，我們可以很好的處理這個(gè)問題。

其實(shí)我們也可以構(gòu)造蝴蝶形將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化放入三角形中求解，如下圖所示黃色部分就是一個(gè)蝴蝶形，我們可以利用這個(gè)基本圖形將∠B、∠E轉(zhuǎn)化到下面黃色區(qū)域。

其實(shí)大家想一想，連接五角星的五個(gè)頂點(diǎn)所得的圖形不也是一個(gè)五邊形嗎？能否利用這個(gè)大的五邊形來求解呢？

講到這里，有同學(xué)提出這個(gè)圖形里面不光有三角形、五邊形，其實(shí)還可以找出其他的圖形，比如四邊形，我們也可以通過四邊形的內(nèi)角和外角和解決這個(gè)問題。

我們?cè)诶没緢D形解決了五角星的五個(gè)角的度數(shù)和為多少的問題，那么如果我們將五角星截去一個(gè)角，所得如圖所示的圖形∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)又是多少呢？