讓我們今天接著聊黎曼ζ函數：

這張圖只顯示了正半平面的函數（s>1）

解析延拓后復平面上負半平面的黎曼函數是什么呢？（s<0）：

你說道，我的老天爺，這也太可怕了，太復雜了！

于是，我先給大家看看黎曼ζ函數(s>1)的圖像，它實際上涵蓋了復平面正半軸（s>1）的部分，函數線上的點代表了復數坐標（x，yi），這張圖出自up主：3bluebrown：

其實那個非常復雜的解析式只是看上去復雜而已，只要明白了各部分的意義，就能明白它的意義。

首先，我們看左邊：

我們再看右邊：

我們上次已經講了s>1范圍內的函數表達式，相信大家還記著它，這里只是換了個定義域，s用s'=1-s（s<0）代替了s(s>1) ：

s的意義還是我們上次說的，它代表復平面：

x，y可以隨便取各種數

至于2π和sin沒什么好說的，它們是普通的復函數，大家把它們類比為實平面（x，y）上的y=f（x）去理解就可以了，只不過是復平面s（x，yi）上的函數y=f（s）。比如這個人人皆知的迭代分形就是復函數f（s）=s2+C的圖：

復變函數：曼德博羅集

那這個東西什么意思呢？

Γ是希臘字符，中文名叫伽馬，也就是大寫的γ，它的表達式是：

伽馬函數有什么神奇的性質呢？如果看過我之前的文章，大家應該還記得階乘怎么算：

階乘

而

也就是說階乘可以形成伽馬函數形式的無窮積分，文中ε的意思是趨于0的一個無窮小量，它可以取到任意小，永遠達不到0但是無限逼近0。至于這些積分怎么算的，這里就不展示了。我們用軟件就可以算出結果。

我們把它廣義化：從自然數n推廣到實數軸x，從實數x推廣到復數s=x+yi，于是有：

這些推廣看似是理所應當的過程，實際上是多年來數學家的心血之作

數學中重要的是自然現象本身，繁瑣的計算過程只能是研究這種現象的手段，我們要透過現象看本質。

這樣，我們就知道了：

于是，你再回過頭來看這個非常重要的黎曼負半平面解析式

它長什么樣子呢？它實際上涵蓋了整個復平面負半軸，函數線上的點代表了復數坐標（x，yi），這張圖出自up主：3bluebrown。

它可以展開成：

如何才能得到這個復平面下才能成立的重要等式呢（不要覺得這個結果奇怪，它在物理學中有廣泛的應用）：

只需要把s=-1帶進上面的公式就可以了：

我們知道：

所以：

現在，我們已經講完了s>1,和s<0區(qū)域內的黎曼函數了，然而最為神秘的s∈（0，1）內的函數還沒有登場。

s∈（0，1）隱藏著科學界為之困擾的未解之謎