對(duì)于機(jī)器人姿態(tài)的轉(zhuǎn)換前面一直介紹歐拉角的方式，其實(shí)對(duì)于三維坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換四元數(shù)法和歐拉角用得都比較多，在內(nèi)部算法里四元數(shù)法占比例更大，歐拉角多用于原理講解！

四元數(shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)，下面就一步一步講解下復(fù)數(shù)怎么和坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)勾搭上的!

四元數(shù)顧名思義對(duì)于旋轉(zhuǎn)的變換只需要四個(gè)參數(shù)，而歐拉角的旋轉(zhuǎn)矩陣則是3*3的矩陣，有9個(gè)元素，所以四元數(shù)法用來(lái)優(yōu)化程序，好處顯而易見(jiàn)！

在網(wǎng)上查了一些資料，對(duì)于四元數(shù)的講解基本上沒(méi)有讓我滿意的，可能是我水平不夠或者思路跟不上！所以我打算自己總結(jié)一篇淺顯易懂有不漏知識(shí)點(diǎn)的四元數(shù)淺析文章！

四元數(shù)是一個(gè)標(biāo)量加一個(gè)向量，標(biāo)量一個(gè)數(shù)，向量三個(gè)數(shù)！

首先四元數(shù)是一個(gè)復(fù)數(shù)，什么是復(fù)數(shù)？應(yīng)該初中還是高中的數(shù)學(xué)肯定是學(xué)過(guò)的，估計(jì)大部分人都還給老師了！

復(fù)數(shù)

1、概述一下復(fù)數(shù)

任意一個(gè)復(fù)數(shù)z都可以表示為z=a+bi 的形式．我們將a稱(chēng)之為這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b稱(chēng)之為這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部。 其中i的平方等于-1！怪不怪！我理解的復(fù)數(shù)的發(fā)明就是為了讓它的虛部也能參與運(yùn)算，因?yàn)閿?shù)學(xué)里有的地方會(huì)出現(xiàn)i平方等于-1的情況，如果沒(méi)發(fā)明復(fù)數(shù)，那么就無(wú)法完成計(jì)算!

復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)|z|;

模長(zhǎng)

它的共（軛）是z1=a-bi；

z*z1=a*a+b*b也就是模長(zhǎng)的平方；

加減乘除法則和正常運(yùn)算一樣，如z1=a+bi，z2=c+di；z1+z2=a+b+bi+di; z1*z2=ac+adi+bci+bdi^2;

復(fù)數(shù)參與運(yùn)算主要靠上面這幾個(gè)關(guān)系互相轉(zhuǎn)換，算到最后可以把虛數(shù)算沒(méi)了，就像個(gè)中間變量一樣；兔死狗烹，鳥(niǎo)盡弓藏!

2、復(fù)數(shù)怎么和旋轉(zhuǎn)矩陣勾搭上的？

推導(dǎo)

首先寫(xiě)z1=a+bi，z2=c+di兩個(gè)復(fù)數(shù)；

z1*z2=ac+adi+bci+bdi^2

由于i平方等于-1；進(jìn)而化簡(jiǎn):

z1*z2=ac-bd+adi+bci；

再化簡(jiǎn):

z1*z2=ac-bd+（ad+bc）*i；

寫(xiě)成矩陣形式

右側(cè)的矩陣c d;就是用向量的形式表示z2；為啥呢？因?yàn)閺?fù)數(shù)可以圖像化表示，復(fù)數(shù)z=a+bi可以用如下圖表示：

既然右側(cè)的列矩陣c d 表示z2，那么復(fù)數(shù)z1就是左側(cè)的二維矩陣表示的！進(jìn)而可以推斷出z2的二維矩陣形式；

最終得出，z1*z2就是兩個(gè)二維矩陣相乘,如下圖公式：

上面的式子里面i不見(jiàn)了，我們就是當(dāng)i=1；或者讓矩陣乘以一個(gè)二維矩陣，但是結(jié)果不變，那么這個(gè)矩陣就是如下形式，得出i的二維矩陣形式，后面會(huì)用到這個(gè)i矩陣：

以上這些公式就可以和旋轉(zhuǎn)矩陣眉目傳情有點(diǎn)關(guān)系了；下面繼續(xù)推導(dǎo)，把復(fù)數(shù)z1的矩陣形式再變換一下，就徹底勾搭上了，如下：

配合下面這個(gè)圖看一下，就知道為啥徹底勾搭上了：

這不就是三角函數(shù)嗎！

那么上面的公式就可以寫(xiě)成三角函數(shù)的形式了，加上求模的公式，再加上上面得出的i二維矩陣，最終可以把公式寫(xiě)成如下形式：

右邊的矩陣就是二維里面的旋轉(zhuǎn)矩陣了；

左邊的其實(shí)就是縮放矩陣；

驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)一下我們將一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo) （1，0），旋轉(zhuǎn)θ角度，帶入上面這個(gè)公式，最終得到如下；

就是對(duì)點(diǎn)（1，0）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了θ角度，然后再縮放|z|倍；同理代入點(diǎn)（1，0）也是一樣的原理，如下圖顯示兩個(gè)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)圖;

如果復(fù)數(shù)的模為1，那么就只剩旋轉(zhuǎn)矩陣了！

總結(jié)一下：

如果（模）等于1，復(fù)數(shù)z可以寫(xiě)成如下矩陣形式：

寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式就是：

Z=cosθ+sinθ*i；

對(duì)比下 ：

Z=a+b*i；

如此，復(fù)數(shù)和旋轉(zhuǎn)矩陣的關(guān)系大家應(yīng)該知曉了！

數(shù)學(xué)真好玩，把兩個(gè)不相關(guān)的東西硬是緊密的勾搭到了一起，佩服！

單位四元數(shù)（模為1）

概述

四元數(shù)的定義和復(fù)數(shù)非常類(lèi)似，唯一的區(qū)別就是四元數(shù)一共有三個(gè)虛部，而復(fù)數(shù)只有一個(gè)。

四元數(shù)q寫(xiě)成如下形式：

q=s+v1i+v2j+v3k;

根據(jù)復(fù)數(shù)的定義：i平方=j平方=k平方=ijk=-1；

使用的時(shí)候把虛部和實(shí)部分開(kāi)，寫(xiě)成:

q=s+v;

標(biāo)準(zhǔn)里我們把四元數(shù)表示為：

q=s<v1,v2,v3>;

應(yīng)用

單位四元數(shù)的復(fù)數(shù)形式怎么和3D旋轉(zhuǎn)扯上關(guān)系，推理方法和上面復(fù)數(shù)推理2D旋轉(zhuǎn)矩陣一樣，就不詳細(xì)講了，下面我們直接使用它，用matlab寫(xiě)程序案例，直接到應(yīng)用層次！

直接調(diào)用函數(shù)UnitQuaternion，下面的0.1、0.2、0.3表示繞x繞y繞z旋轉(zhuǎn)；

>> q = UnitQuaternion( rpy2tr(0.1, 0.2, 0.3) )

q =

0.98335 < 0.034271, 0.10602, 0.14357 >

用q.R可以輸出旋轉(zhuǎn)矩陣：

>> q.R

ans =

0.7536 -0.4993 0.4275

0.5555 0.8315 -0.0081

-0.3514 0.2436 0.9040

輸出圖形如下：

>> q.plot()

以上就是四元數(shù)的簡(jiǎn)單介紹，第一部分主要讓大家搞懂四元數(shù)怎么能表示旋轉(zhuǎn)的，第二部分就是簡(jiǎn)單的應(yīng)用了，可以看出應(yīng)用非常簡(jiǎn)單，如果實(shí)際寫(xiě)應(yīng)用程序，四元數(shù)法會(huì)簡(jiǎn)單明了，節(jié)省時(shí)間，也可以讓程序更流暢！