原題背景：滬教版八年級第二學(xué)期第22找那個(gè)第三節(jié)“特殊的平行四邊形”例題

解法分析：本題的解法是聯(lián)結(jié)AC，通過證明△ACE≌△ADF或證明△ABE≌△ACF，從而證明AE=AF。主要有如下圖①和②的兩種輔助線的方法。

變式1：將條件一般化(改為∠B=∠EAF)

解法分析：由于去除了∠B=60°這一特殊條件，因此聯(lián)結(jié)AC后不能構(gòu)成兩個(gè)共頂點(diǎn)的等邊三角形，可以采取圖③(利用等高構(gòu)造全等的直角三角形)以及圖④(截長補(bǔ)短法構(gòu)造等腰三角形)，具體的解法以及通法可以點(diǎn)擊以下鏈接：特殊四邊形中的線段相等問題

變式2：將條件和結(jié)論互換(已知AE=AF，求證∠EAF=60°)

解法分析：由于條件和結(jié)論互換后，聯(lián)結(jié)AC或出現(xiàn)“S.S.A”的情況，無法證明三角形全等。仍舊可以沿用圖③和圖④輔助線的添線方法進(jìn)行證明。

變式3：將條件一般化(將點(diǎn)E、F的位置由原來在線段上變?yōu)樵谏渚€上)

解法分析：由于條件一般化后需要根據(jù)題意分類討論。即點(diǎn)在線段或其延長線上。本題的第1問E在線段的延長線上，需根據(jù)題意畫出新的圖形，再按照例題的方法，即聯(lián)結(jié)AC，反向全等三角形證明即可；本題的第2問涉及函數(shù)關(guān)系的建立，求△ADF的面積，只需要過點(diǎn)A作高即可，利用30°-60°-90°三角形的性質(zhì)，即可求高，最終用含x的代數(shù)式表示三角形的面積；本題的第3問是存在性問題，由于AB//DF，因此分別以AB和DF為對邊作平行四邊形，即F在CD延長線上這種情況。

變式4：將條件變化“位置”(將點(diǎn)E、F的位置由原來在BC、CD上變?yōu)樵谥本€BC、CD上，改變?yōu)椤螦EF=60°)

解法分析：由于條件變?yōu)椤螦EF=60°，此時(shí)不滿足共頂點(diǎn)等邊三角形的特征，因此需要采取新的輔助線的添加方式。本題第1問是點(diǎn)在線段上的情況，由于還是證明AE=AF，而很難構(gòu)造以AE和AF為邊的全等三角形，因此，嘗試構(gòu)造以AE、EF為邊的全等三角形，利用“截長補(bǔ)短法”，構(gòu)造全等三角形；本題的第2問雖然改變了點(diǎn)的位置，但是輔助線的添線方式和證明方式還是一致的。

變式5：將條件特殊化&題設(shè)結(jié)論互換(點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是BC和CD的中點(diǎn)&已知等邊三角形，反求∠B度數(shù))

解法分析：本題的第1問是常規(guī)的證明全等三角形得相等線段的問題。

本題的第2問已知△BEF為等邊三角形，求∠ABC的度數(shù)。通過聯(lián)結(jié)AC無法解決問題，因此根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)，聯(lián)想與中點(diǎn)性質(zhì)相關(guān)的輔助線的添線方法。解法1：利用中位線和等腰梯形性質(zhì)

解法2：利用中位線、平行四邊形性質(zhì)及勾股定理

解法3：倍長中線證明全等三角形，利用第三邊上的中線等于第三邊長的一半證明直角

解法4：利用梯形中位線性質(zhì)定理

通過一道例題可以得到5種變式，變式的特點(diǎn)在于“題設(shè)和結(jié)論互換”、“點(diǎn)在線段或延長上”、“結(jié)論或結(jié)論一般化或特殊化”。對于“點(diǎn)在線段或其延長線”上的情況，可以沿用一致的添線方法和證明方法，而另外兩種情況則需要具體情況具體分析，根據(jù)條件和題設(shè)間的聯(lián)系，合理進(jìn)行輔助線的添加。