【原】初中數(shù)學(xué) | 手拉手模型的應(yīng)用

黃河清 2022-03-11

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首先大家得明白什么是手拉手模型，先看幾個(gè)典型圖形，我們?cè)賴L試找出規(guī)律。等邊三角形，等腰直角三角形（正方形）共一個(gè)頂點(diǎn)的手拉手模型，不難發(fā)現(xiàn)，通過(guò) SAS（邊角邊）判定，出現(xiàn)全等三角形.如何快速找到等腰三角形呢，我們可以觀察對(duì)應(yīng)相等的邊和角度去分辨如下圖展示：

以上是特殊等腰三角形，那么一般等腰三角形呢？依然可以通過(guò)頭頭尾全等SAS（邊角邊）找到全等三角形：△ABC與△ADE為共頂點(diǎn)等腰三角形，△ABD全等△ACE；

于是，我們可以初步總結(jié)，兩個(gè)相似的等腰三角形（一大一?。?，共頂點(diǎn)（頂角的頂點(diǎn)），那么通過(guò) SAS 判定，我們是可以找到一對(duì)全等三角形的.我們也可以這樣理解，等腰三角形繞頂角頂點(diǎn)放縮旋轉(zhuǎn)角度，必然可以通過(guò)SAS找到一對(duì)全等三角形.這為后續(xù)的構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似提供了思路。

旋轉(zhuǎn)角度如果是特殊角（60°，90°，120°），會(huì)給計(jì)算求值帶來(lái)方便.三角形旋轉(zhuǎn)，可以先研究線段繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如圖，線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度，會(huì)形成邊長(zhǎng)比1:1:√2的等腰直角三角形，若旋轉(zhuǎn)60度會(huì)形成邊長(zhǎng)比為1:1:1的等邊三角形，若旋轉(zhuǎn)120度 ,會(huì)形成邊長(zhǎng)比為1:1:√3的等腰三角形。

例1：如圖，P為等邊三角形 ABC 內(nèi)的一點(diǎn)，且 P 到三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C 的距離分別為 3，4，5，則△ABC的面積為多少。

例2：如圖在正方形ABCD中外有一點(diǎn)P，且PA=3，PB=1，PC=√11，求∠APB的度數(shù)。

變式練習(xí)1：如圖，已知⊙O半徑為2，以弦AB為邊在⊙O內(nèi)作正方形ABCD，連接OD，則OD的最小值為多少。

我們通過(guò)旋轉(zhuǎn)的思路來(lái)理解手拉手，那么不等邊三角形放縮旋轉(zhuǎn)后有怎樣的規(guī)律呢？

如圖，ΔABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)趴s旋轉(zhuǎn)至ΔADE，發(fā)現(xiàn)全等沒(méi)有了，但我們可以找到2組相似三角形，ΔABD∽ΔACE，ΔABC∽ΔADE，也就是說(shuō)放大、縮小旋轉(zhuǎn)后本身有一對(duì)三角形相似，又增加了一對(duì)相似三角形，對(duì)應(yīng)邊成比例，這樣可以簡(jiǎn)單地稱為“旋轉(zhuǎn)一拖二”。