1.展開(kāi)放樣的基本思路
1) 什么是展開(kāi)放樣
    所謂展開(kāi)，實(shí)際是把一個(gè)封閉的空間曲面沿一條特定的線(xiàn)切開(kāi)后鋪平成一個(gè)同樣封閉的平面圖形。它的逆過(guò)程，即把平面圖形作成空間曲面，通常叫成形過(guò)程。實(shí)際生產(chǎn)工作中，往往是先設(shè)計(jì)空間曲面后再制作該曲面，而這個(gè)曲面的制造材料大都是平面板料。因此，用平板做曲面，先要求得相應(yīng)的平面圖形，即根據(jù)曲面的設(shè)計(jì)參數(shù)把平面坯料的圖樣畫(huà)出來(lái)。這一工藝過(guò)程就叫展開(kāi)放樣。實(shí)際工作中，有人把它簡(jiǎn)稱(chēng)為展開(kāi)，也有人把它簡(jiǎn)稱(chēng)為放樣，本書(shū)中采用前者的說(shuō)法。
2) 展開(kāi)的基本思路----換面逼近

圖2-1-0 換面逼近示意圖

   如圖2-1-0，我們按預(yù)先設(shè)定的經(jīng)緯網(wǎng)絡(luò)把曲面網(wǎng)格化，并在曲面上任取其一個(gè)四角面元abcd（A、B、C、D為其四個(gè)頂點(diǎn)，a、b、c、d為其四條邊界弧線(xiàn)）。連接它的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D和對(duì)角點(diǎn)B、C，將得到一個(gè)與四角面元abcd對(duì)應(yīng)的四邊形ABCD以及組成四邊形ABCD的兩個(gè)平面三角形△ABC和△BCD。為了簡(jiǎn)化我們的研究，我們以三角形△ABC和△BCD代替對(duì)應(yīng)的四角面元abcd，其中直線(xiàn)段AB、AC、CD、DB與a、b、c、d四條弧線(xiàn)分別對(duì)應(yīng)。對(duì)所有的網(wǎng)格都做同樣的替代處理，我們就可以得到一個(gè)與曲面貼近的，由眾多三角平面元構(gòu)成的多棱面。多棱面與原曲面當(dāng)然會(huì)存在差別，但是，只要網(wǎng)格數(shù)目足夠多，他們的誤差可以足夠小，小到我們?cè)试S的公差范圍內(nèi)。
    把曲面換成與之相近、由小平面組成的多棱面，再用多棱面的展開(kāi)圖去近似替代該曲面的理論展開(kāi)圖，這就是換面逼近的基本思路。多棱面的展開(kāi)是容易的，只要在同一平面上把這些小平面元按相鄰位置和共用邊逐個(gè)畫(huà)出來(lái)就得到了多棱面的展開(kāi)圖。需要指出的是，如何網(wǎng)格化是個(gè)中關(guān)鍵，這一部分將在講展開(kāi)方法時(shí)詳細(xì)介紹。
   以上講的是三角平面元替換，其實(shí)我們也可以采用其他形狀的小平面來(lái)?yè)Q面逼近。如梯形、六邊形等等。更進(jìn)一步，我們還可以用簡(jiǎn)單曲面，如圓柱面、正錐面等來(lái)作類(lèi)似的替換。實(shí)踐證明，這樣的替換逼近效果更好，既簡(jiǎn)化了手續(xù)，又保證了精度。以下圖例，可資說(shuō)明。

2.換面逼近的幾個(gè)例子
   第一個(gè)例子是共頂點(diǎn)三角形替換。
   請(qǐng)看圖2-1-1。換面逼近的大致步驟如下:

圖2-2-1  共頂點(diǎn)三角形替換

   首先分割：將圓錐底圓分外分為12等分，等分點(diǎn)為A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L；然后以過(guò)錐頂0與各分點(diǎn)的素線(xiàn)為界線(xiàn)將此圓錐面分為12個(gè)共一頂點(diǎn)的三角錐面元；其次換面：用平面三角形△0AB、△0BC、△0CD、…△0KL、△0LA替代對(duì)應(yīng)的三角錐面元；就總體而言，這種替換，也可以理解為用一個(gè)12棱錐的外表面來(lái)代替圓錐面；然后展開(kāi)：在同一平面上把這些三角形按照共用邊和共用頂點(diǎn)逐個(gè)畫(huà)出來(lái)，這樣就得到了12個(gè)共同一頂點(diǎn)并呈放射狀分布的三角形組成的平面圖形；我們用這個(gè)平面圖形模擬、逼近圓錐的理想展開(kāi)曲面。當(dāng)然，這只是一個(gè)近似展開(kāi)圖形，但是他們之間的誤差是可以控制的，例如我們只要增加底圓的等分點(diǎn)數(shù)N，其替代誤差隨著N的增加而減小，以至小到允許的公差范圍以?xún)?nèi)。
    以上即所謂共頂點(diǎn)三角形換面逼近。就工藝而言，這是一個(gè)可行的方法；從精度來(lái)看，關(guān)鍵是N的確定，實(shí)際中，N根據(jù)誤差大小、布點(diǎn)方式、加工工藝和材料性質(zhì)等因素通過(guò)實(shí)踐選擇。在各種錐面的展開(kāi)中，我們都采用這種換面逼近的思路，久而久之，便形成了一個(gè)成熟的展開(kāi)方法。由于它的展開(kāi)圖線(xiàn)由以頂點(diǎn)為中心呈放射狀布置，我們通常把它叫做放射線(xiàn)展開(kāi)法。

   第二個(gè)例子是梯形替換。這是一個(gè)用梯形面元替換對(duì)應(yīng)曲面元的例子

圖2-1-2  梯形替換

   如圖2-1-2 所示，本圖系斜口圓柱面展開(kāi)時(shí)進(jìn)行換面逼近的示意圖。象圓錐面展開(kāi)的思路一樣，用以取得圓柱微面元的方式仍然是素線(xiàn)分割，但此時(shí)的素線(xiàn)已不再相交而是相互平行了。由此得到的微面元是四角曲面，對(duì)應(yīng)的平面圖形是梯形。如圖所示，我們是用梯形AA′BB′去替換四角微面元AA′BB′，逐個(gè)替換以后，整個(gè)斜口圓柱面的展開(kāi)將用其內(nèi)接12邊形為底面的12棱柱面的展開(kāi)去近似它。
   以上即所謂梯形換面逼近。從這個(gè)思路出發(fā)，在展開(kāi)放樣中已形成了成熟的平行線(xiàn)展開(kāi)法。

   第三個(gè)例子是三角形替換，請(qǐng)看圖圖2-1-3。

圖2-1-3  三角形替換

   圖中斜口大小頭上下口均為圓，但直徑不同；上口圓中心在下口圓面的投影與下口圓中心同心；此外上下口所在平面之間有15°夾角。需要展開(kāi)的是以上、下口圓為邊界的周邊蒙面。
   本例是這樣換面和逼近的：
   首先，將上下口圓分別以對(duì)稱(chēng)中面為基準(zhǔn)各自等分為12等分，然后一上一下,依次連接各等分點(diǎn)，由此得到24條直線(xiàn)，即圖中aA、Ab、bB、Bc、cC、Cd、dD…La、aA；
    之后分別用每條直線(xiàn)和下口圓心確定的平面分割蒙面，得到24個(gè)三角曲面元；同時(shí)也得到與之對(duì)應(yīng)的24個(gè)平面三角形，即圖中△aAb、△AbB、△bBc、△BcC…△lLa、△LaA；其中12個(gè)三角形都有一條邊長(zhǎng)度為上口圓周長(zhǎng)的1/12，而另外12個(gè)三角形都有一條邊長(zhǎng)度為下口圓周長(zhǎng)的1/12；
   為了簡(jiǎn)化蒙面的展開(kāi)，我們?cè)賹⑦@24個(gè)三角形逐個(gè)替換對(duì)應(yīng)的三角曲面元，換言之，我們用一個(gè)多棱面來(lái)近似大小頭蒙面的展開(kāi)。這樣替換的結(jié)果無(wú)疑存在誤差,但它的誤差是可以控制的,例如增大等分點(diǎn)的數(shù)目就是減小誤差的途徑，不管你給出的公差多小，總可以設(shè)法使誤差不超過(guò)你的公差范圍。
   最后展開(kāi)。選定一個(gè)切開(kāi)線(xiàn)，如圖中Aa，并以之作為起始線(xiàn)在同一平面內(nèi)逐個(gè)畫(huà)出△aAb、△bAB、△Bbc、△cBC…△lLa、△Ala。這24個(gè)三角形共同組成了正確的近似展開(kāi)圖形。
   以上即所謂三角形換面逼近。從這個(gè)思路出發(fā)，在展開(kāi)放樣中已形成了成熟的三角形展開(kāi)法。

   第四個(gè)例子是曲面替換。（如圖2-1-4）
   所謂曲面替換是在換面逼近時(shí)，直接用已知的、易展開(kāi)曲面（如圓柱面、正圓錐面）的曲面元去替代復(fù)雜曲面的對(duì)應(yīng)曲面元，以取得更好的逼近效果，從而使復(fù)雜曲面的展開(kāi)工作更簡(jiǎn)便,更快捷。

圖2-1-4 曲面替換

   本圖以24條經(jīng)線(xiàn)與24緯線(xiàn)分劃球面，得到的曲面元是由相鄰的兩條經(jīng)線(xiàn)和相鄰的兩條緯線(xiàn)所圍成球面元。對(duì)這些曲面元，我們分別進(jìn)行平面元(梯形面元 三角面元)替換、柱面元替換和錐面元替換。
   圖中虛線(xiàn)線(xiàn)部分，采用橢圓柱面元替換。即以一個(gè)經(jīng)線(xiàn)處為原來(lái)弧線(xiàn)，緯線(xiàn)處由同一緯線(xiàn)兩端點(diǎn)所連直線(xiàn)，長(zhǎng)半徑為球半徑的橢圓柱面元去替代球面元；圖中粗線(xiàn)部分采用了平面替換，即用球面元四個(gè)頂點(diǎn)連線(xiàn)組成的梯形替代了球面元，它的四邊都是直線(xiàn)；圖中細(xì)線(xiàn)部分則采用了錐面替換，即以一個(gè)上下緯線(xiàn)為上下圓的圓錐臺(tái)面去替代球面元，這個(gè)錐面元的四邊，上下仍為弧線(xiàn)，對(duì)應(yīng)的經(jīng)線(xiàn)處則已變成了直線(xiàn)；略作比較，不難發(fā)現(xiàn)錐面替換、橢圓柱面替換比梯形替換逼近程度高。對(duì)于前述的共點(diǎn)三角形替換和梯形替換，我們實(shí)際展開(kāi)中不采用底圓等分點(diǎn)間的弦長(zhǎng)而是采用弧長(zhǎng)，就是貫徹曲面替換思想的結(jié)果。
   上述各種換面逼近在整個(gè)換面逼近過(guò)程中除替換面不同以外，其他情況類(lèi)似，大同小異，茲不贅述。需要強(qiáng)調(diào)的是：實(shí)際展開(kāi)中，對(duì)同一曲面的替換面元不必采用同一類(lèi)型，而是根據(jù)曲面的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和簡(jiǎn)捷方便的展開(kāi)原則靈活地混用各種替換面元。

3. 展開(kāi)放樣的一般過(guò)程
    設(shè)計(jì)圖是展開(kāi)放樣的依據(jù)，其表示方式是視圖。眾所周知，視圖上小面元的形狀及其組成線(xiàn)段是實(shí)物形狀、實(shí)際組成線(xiàn)段在該視圖上的投影，它們的長(zhǎng)度不一定反映實(shí)際長(zhǎng)度。而畫(huà)展開(kāi)圖必須是1：1的實(shí)際長(zhǎng)度，因此，怎樣通過(guò)各視圖上線(xiàn)段的投影去求得線(xiàn)段的實(shí)長(zhǎng)是展開(kāi)放樣至關(guān)重要的第一步。
  求實(shí)長(zhǎng)常用的方法，一是選擇與實(shí)際線(xiàn)段平行、投影反映實(shí)長(zhǎng)的投影面（先看基本視圖，后選向視圖），在該面視圖上對(duì)應(yīng)量??；二是通過(guò)相互關(guān)聯(lián)的幾個(gè)視圖上對(duì)應(yīng)投影之間的函數(shù)關(guān)系去設(shè)法求得。二者可以通過(guò)幾何作圖，也可以通過(guò)計(jì)算求得。
   第二步，畫(huà)展開(kāi)圖。展開(kāi)的重點(diǎn)是畫(huà)展開(kāi)曲線(xiàn)，即展開(kāi)圖樣的邊線(xiàn)。展開(kāi)曲線(xiàn)是一般平面曲線(xiàn)，要畫(huà)這種曲線(xiàn)，通常先在圖紙上求出曲線(xiàn)上一定數(shù)量的、足以反映其整體形狀的點(diǎn)；之后再圓滑連接各點(diǎn)，得出所求曲線(xiàn)“近似版”。此版盡管是近似的，卻可以設(shè)法達(dá)到事先要求的準(zhǔn)確度，因?yàn)榍€(xiàn)的準(zhǔn)確性跟點(diǎn)的數(shù)量有關(guān)，越多越準(zhǔn)。展開(kāi)時(shí)，為了作圖的方便，點(diǎn)的布置通常采用等分的辦法；在曲線(xiàn)變化急劇的區(qū)域，適當(dāng)插入一些更細(xì)的分點(diǎn)，以求得事半功倍的效果。