在國(guó)家法定計(jì)量單位所采用的國(guó)際單位制(SI)中，除了7個(gè)基本單位外，還有兩個(gè)輔助單位，一個(gè)是平面角(一般簡(jiǎn)稱(chēng)角度)，一般記為希臘小寫(xiě)字母α等，單位為弧度，記為rad，另一個(gè)是立體角，記為大寫(xiě)希臘字母Ω，單位為球面度，記為sr。

立體角涉及光度學(xué)、電磁輻射、球面天文學(xué)等許多領(lǐng)域的基本概念，如(熱、光或其它電磁波、聲音或其它機(jī)械波的)輻射通量、星座所占天球區(qū)域的“面積”(實(shí)際為立體角)大小等等，因此立體角概念本身的重要意義和實(shí)用價(jià)值不言而喻，可謂理解客觀(guān)世界的空間形式和許多科學(xué)原理的一把鑰匙。

通常的初等數(shù)學(xué)教育對(duì)平面角講得很詳盡，但對(duì)立體角的介紹則遠(yuǎn)不充足。對(duì)三維空間、立體幾何有興趣者，不妨讀讀本文，希望您有所獲益。您斧正拙文之謬誤、拓展和深化拙文所涵蓋的內(nèi)容，尤為筆者所企冀。

平面上，多邊形內(nèi)角和可表為(n-2)π，那么相應(yīng)地，多面體內(nèi)立體角之和如何？答曰：它在一定區(qū)間內(nèi)變化，關(guān)于這一點(diǎn)，以后再展開(kāi)敘述。

1、立體角定義與量度

1.1立體角的概念

當(dāng)我們看到遠(yuǎn)處的兩個(gè)物體，欲表達(dá)其相對(duì)方位時(shí)，用從這兩個(gè)物體到眼睛的視線(xiàn)之間的夾角這個(gè)概念。例如，可以選擇月亮的上邊緣頂點(diǎn)與下邊緣頂點(diǎn)，由人眼到這兩個(gè)點(diǎn)的視線(xiàn)之間的夾角較為穩(wěn)定，可以稱(chēng)為月亮的“視直徑”。

而當(dāng)形容“掛在樹(shù)梢上的月亮像月餅這么大”時(shí)，人們就一面犯了錯(cuò)誤，一面已經(jīng)在冥冥之中與立體角概念的幽靈相接近。月亮、月餅當(dāng)然不一樣大，而且大小相差懸殊，但是當(dāng)月餅與人眼之間為一定距離時(shí)，看起來(lái)它的確跟月亮“差不多一般大”。月餅比月亮小得多，但當(dāng)把月餅放在眼前時(shí)，它卻能完全擋住月亮，這樣就清楚了，隨著距離變遠(yuǎn)，形象就變小。這不僅是“視直徑”的變化，其實(shí)也是另一個(gè)量，“立體角”的變化。

假設(shè)制作一個(gè)代表立體直角坐標(biāo)系的三維“十字架”，使之穿過(guò)兩個(gè)半徑相差一倍的同心球面，球心在坐標(biāo)系原點(diǎn)，自球心發(fā)出無(wú)數(shù)條射線(xiàn)，這些射線(xiàn)在球面上的投影點(diǎn)形成一條連續(xù)的閉合的曲線(xiàn)，那么這樣的一條曲線(xiàn)在小球面上所限定的面積為在大球面上所限定面積的1/4。進(jìn)一步假設(shè)，若人眼在球心處，向曲線(xiàn)所包的一部分球面看，無(wú)疑大小球面上的這兩塊面積將完全重合。這就是說(shuō)，盡管這兩塊面積不等，但他們所對(duì)應(yīng)的空間區(qū)域的大小卻完全相同，都以上述那無(wú)數(shù)條射線(xiàn)為界。我們就說(shuō)，這兩塊面積所對(duì)應(yīng)的立體角一樣大。即使你使其中一個(gè)球面繞球心轉(zhuǎn)動(dòng)，也不會(huì)改變這一點(diǎn)。

現(xiàn)在可以給立體角下一個(gè)定義了：錐面(射平面或射曲面)所圍成的空間區(qū)域稱(chēng)為立體角。在以錐的頂點(diǎn)為心，半徑為1單位的球面上，錐面所截得的面積大小就準(zhǔn)確地度量了立體角的大小。以球心為頂點(diǎn)的錐面在球的表面切割出的、面積等于球半徑平方的區(qū)域，所張的立體角的大小，被定義為立體角的基本度量單位，是立體角的國(guó)際單位，是三維的弧度，稱(chēng)為平方弧度，或平方弳，亦稱(chēng)球面度，符號(hào)記作sr，英文steridian，是希臘語(yǔ)立體(stereos)和弧度(radian)的合成詞。

再?gòu)牧硪粋€(gè)起點(diǎn)出發(fā)來(lái)考察“立體角”。正如平面上一個(gè)直角坐標(biāo)系把平面分為4個(gè)象限一樣，立體解析幾何上，把由一個(gè)笛卡爾三維直角坐標(biāo)系所確定的歐式空間剖分為8個(gè)卦限，一個(gè)卦限是這樣一個(gè)立體角：其大小占整個(gè)空間的1/8，其邊界在球面上的投影是一個(gè)三邊相互垂直的球面三角形。完全相同的推廣是：一個(gè)象限占去1/4個(gè)平面，一個(gè)卦限占去1/8個(gè)(歐氏)空間；象限可分為100或90等分，每等分稱(chēng)為一度，而8個(gè)卦限共可分為4π個(gè)等分，每等分稱(chēng)為一“平方弳”(球面度)；等等。球表面積為4πr2，因此整個(gè)球面有4π個(gè)球面度。

在平面上定義一段弧微分ds與其矢量半徑r的比值為其對(duì)應(yīng)的圓心角，記作 θ=ds/r； 所以整個(gè)圓周對(duì)應(yīng)的圓心角就是2π；和平面角的定義類(lèi)似，定義立體角為曲面上面積微元ds與其矢量半徑的二次方的比值為此面微元對(duì)應(yīng)的立體角，記作Ω=ds/r2；由此可得，閉合曲面的立體角都是4π。