例如2000年，美國(guó)克雷數(shù)學(xué)研究所曾經(jīng)向全世界公布了七大數(shù)學(xué)難題，每個(gè)難題懸賞100萬(wàn)美元，黎曼猜想就是其中之一。由此引出這樣一個(gè)笑話：

“如何用最困難的方法掙100萬(wàn)美元？”

“去證明黎曼猜想?！?/span>

又如2018年9月，整個(gè)數(shù)學(xué)界以至整個(gè)科學(xué)界最轟動(dòng)的一件大事，就是有一位德高望重的前輩數(shù)學(xué)家宣稱自己證明了黎曼猜想，引起了全世界媒體的密集關(guān)注。這位前輩數(shù)學(xué)家叫做阿蒂亞（Michael Francis Atiyah），我們以后再來(lái)介紹他。

大多數(shù)人看到這種新聞，首先想問(wèn)的想必都是：

黎曼猜想是什么？

黎曼猜想是什么？

黎曼猜想是什么？

其實(shí)這個(gè)問(wèn)題也是我想問(wèn)的。以前我只聽(tīng)說(shuō)過(guò)黎曼猜想很重要，但對(duì)于它具體是什么內(nèi)容，以及它為什么很重要，我就一片茫然了。

于是借這個(gè)機(jī)會(huì)，我就好好學(xué)習(xí)了一下我能找到的關(guān)于黎曼猜想的資料。一學(xué)不得了，我發(fā)現(xiàn)這里面的水真的很深很深，關(guān)于黎曼猜想的有趣的事實(shí)在太多了。無(wú)論如何，看了一堆資料之后，在我理解的范圍之內(nèi)，我大致可以理出一個(gè)頭緒了。今天，我們就來(lái)講黎曼猜想。

在開(kāi)始之前，有兩個(gè)重要的心理建設(shè)，首先要做一下。

一提到數(shù)學(xué)，立刻就有許多讀者表示恐懼。有一句名言說(shuō)：每出現(xiàn)一個(gè)數(shù)學(xué)公式，都會(huì)嚇跑一半的讀者。但是我一直想強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是，這種玩笑在很大程度上是自己嚇唬自己。我們不應(yīng)該渲染數(shù)學(xué)多么恐怖，而應(yīng)該多講講數(shù)學(xué)多么有趣。

數(shù)學(xué)是所有科學(xué)的一個(gè)縮影。我的努力方向之一就是讓普通人克服對(duì)科學(xué)的畏難情緒，懂得欣賞科學(xué)的美妙。

有一個(gè)詞叫做“跳蚤效應(yīng)”，說(shuō)的是給跳蚤加個(gè)蓋子，讓它只能跳到某個(gè)高度，在拿掉蓋子以后，跳蚤也不會(huì)跳得超過(guò)原來(lái)蓋子的高度，因?yàn)樗J(rèn)為自己只能跳到這么高了。許多人也是如此，不敢去追求夢(mèng)想，因?yàn)樗麄冃睦锞湍J(rèn)了自己做不到。如果你認(rèn)為自己肯定做不到，那么你當(dāng)然就真的做不到了。但如果你勇敢地去做，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)許多事都是可以做到的，你取得的進(jìn)步會(huì)超出自己的預(yù)期。學(xué)習(xí)科學(xué)就是如此！

因此我們的第一個(gè)心理建設(shè)是：勇敢地去面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，打破跳蚤效應(yīng)！

再來(lái)看第二個(gè)心理建設(shè)。我們?cè)谇懊嬷v過(guò)三次“藍(lán)眼睛島問(wèn)題”，許多同學(xué)們被理性的藍(lán)眼睛島民繞得暈頭轉(zhuǎn)向。即使在我已經(jīng)條分縷析講得清清楚楚之后，還有不少同學(xué)陷在各種錯(cuò)誤里面。其實(shí)跟黎曼猜想這種真正的難題相比，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，藍(lán)眼睛島問(wèn)題純屬小兒科的，好像新手村送經(jīng)驗(yàn)的小怪跟終極大boss的對(duì)比。

所以，我們對(duì)黎曼猜想不講則已，要講就要好好講，讓同學(xué)們搞明白這個(gè)問(wèn)題的來(lái)龍去脈。同學(xué)們也應(yīng)該打點(diǎn)起十二分精神，認(rèn)真地聽(tīng)講，深入地思考，還應(yīng)該自己拿起紙筆做演算，——如果你真的想了解這個(gè)重大問(wèn)題的話。

黎曼猜想的內(nèi)容很多，如果我們只講一期，那么大致就只能像你看到的那些新聞報(bào)道一樣，浮光掠影地講幾個(gè)結(jié)論，然后你還是不知所云。所以我們打算分幾期來(lái)講。今天這第一期，要講的是黎曼猜想的背景。

黎曼猜想的背景是什么？一言以蔽之，是質(zhì)數(shù)（prime number）的分布。你可能已經(jīng)在許多媒體上看到這個(gè)說(shuō)法了，但這句話實(shí)際是什么意思，大多數(shù)人很可能還是茫然不知所措。聽(tīng)完這一期，我想你就會(huì)對(duì)這句話獲得一個(gè)相當(dāng)深入的理解了。

首先，什么叫做質(zhì)數(shù)？

學(xué)過(guò)小學(xué)數(shù)學(xué)的同學(xué)們都知道，質(zhì)數(shù)就是那些只能被1和自己整除的自然數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。跟質(zhì)數(shù)相對(duì)的叫做合數(shù)（composite number），即那些不但能被1和自己整除，還能被更多的自然數(shù)整除的自然數(shù)。

根據(jù)定義，1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。從1往后看，2是質(zhì)數(shù)，3是質(zhì)數(shù)，4是合數(shù)，因?yàn)?/span>

4 = 2 × 2，

5是質(zhì)數(shù)，6是合數(shù)，因?yàn)?/span>

6 = 2 × 3，

7是質(zhì)數(shù)，8是合數(shù)，因?yàn)?/span>

8 = 2 × 2 × 2，

9是合數(shù)，因?yàn)?/span>

9 = 3 × 3，

如此等等。

然后，我們對(duì)質(zhì)數(shù)的認(rèn)識(shí)有一個(gè)明顯的缺陷，就是我們還不知道質(zhì)數(shù)的分布規(guī)律。也就是說(shuō)，我們沒(méi)有一個(gè)有用的質(zhì)數(shù)通項(xiàng)公式。

這話是什么意思呢？跟其他的數(shù)的種類對(duì)照一下就知道了。我們來(lái)問(wèn)，第n個(gè)偶數(shù)是什么？回答很明顯，就是2n。我們?cè)賮?lái)問(wèn)，第n個(gè)奇數(shù)是什么？回答也很明顯，就是2n - 1。我們還可以問(wèn)，第n個(gè)平方數(shù)是什么？回答也很明顯，就是n的平方。

那么，第n個(gè)質(zhì)數(shù)是什么？回答就一點(diǎn)都不明顯了，實(shí)際上到現(xiàn)在都沒(méi)有快速的算法。這樣一說(shuō)，你立刻就可以明白，人類對(duì)質(zhì)數(shù)的了解還非常有限，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于對(duì)偶數(shù)、奇數(shù)或者平方數(shù)的了解。

假如我們對(duì)質(zhì)數(shù)有了一個(gè)通項(xiàng)公式，那么可想而知，立刻會(huì)造成許多驚人的后果，極大地推動(dòng)數(shù)學(xué)和許多相關(guān)應(yīng)用的進(jìn)步。

例如許多人都知道哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture），它說(shuō)的是：任何一個(gè)大于2的偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和。例如

4 = 2 + 2，

6 = 3 + 3，

56 = 3 + 53，

100 = 3 + 97

等等。中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)對(duì)哥德巴赫猜想有巨大的貢獻(xiàn)，但仍然沒(méi)有徹底解決這個(gè)問(wèn)題。假如我們有質(zhì)數(shù)的通項(xiàng)公式，那么也許我們很快就能對(duì)任何一個(gè)偶數(shù)寫(xiě)出它如何分解為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和，只要做一些簡(jiǎn)單的代數(shù)計(jì)算就行了。

又如另一個(gè)廣為人知而迄今沒(méi)有解決的數(shù)學(xué)難題，叫做孿生質(zhì)數(shù)猜想（twin prime conjecture）。相差為2的一對(duì)質(zhì)數(shù)叫做孿生質(zhì)數(shù)，例如3和5、5和7、11和13、137和139等等。孿生質(zhì)數(shù)猜想說(shuō)的就是：存在無(wú)限多對(duì)孿生質(zhì)數(shù)。

中國(guó)數(shù)學(xué)家張益唐對(duì)孿生質(zhì)數(shù)猜想有巨大的貢獻(xiàn)，但仍然沒(méi)有徹底解決這個(gè)問(wèn)題。假如我們有質(zhì)數(shù)的通項(xiàng)公式，那么也許我們很快就能確定哪些質(zhì)數(shù)跟它的下一個(gè)質(zhì)數(shù)只相差2，只要做一些簡(jiǎn)單的代數(shù)計(jì)算就行了。

現(xiàn)在你看出來(lái)了吧，許多關(guān)于質(zhì)數(shù)的經(jīng)典難題都是由于我們對(duì)質(zhì)數(shù)的分布了解得太少。假如我們對(duì)質(zhì)數(shù)有了一個(gè)通項(xiàng)公式，世界將會(huì)變得多么美好！黎曼猜想，就是通向這個(gè)宏大目標(biāo)的重要一步。

搞清楚了這個(gè)背景，我們就可以來(lái)考察下一個(gè)問(wèn)題了：如何研究質(zhì)數(shù)的分布？

嘿嘿，從這里開(kāi)始，難度就陡然上升了。如果說(shuō)前面的內(nèi)容你輕輕松松就能聽(tīng)懂的話，那么這里你就必須寫(xiě)一些公式，做一些演算，才能理解妙處所在。

研究質(zhì)數(shù)分布的基本工具，是偉大的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard Euler，1707 - 1783）提出來(lái)的，叫做歐拉乘積公式：

這個(gè)公式左邊的n指的是所有的自然數(shù)，1、2、3、4、5等等，右邊的p指的是所有的質(zhì)數(shù)，2、3、5、7、11等等。公式中的s是一個(gè)變量。我們可以證明，對(duì)于任何一個(gè)大于1的實(shí)數(shù)s，歐拉乘積公式都成立。這個(gè)證明，我們待會(huì)來(lái)講。

為了節(jié)約篇幅，數(shù)學(xué)家經(jīng)常用大寫(xiě)的希臘字母Σ來(lái)表示求和，用大寫(xiě)的希臘字母Π來(lái)表示連乘。此外，學(xué)過(guò)初中數(shù)學(xué)的同學(xué)們都知道指數(shù)為負(fù)的乘方是什么意思，a的-b次方就等于a的b次方的倒數(shù)，即1除以a的b次方。因此，我們可以把歐拉乘積公式簡(jiǎn)寫(xiě)成下面這樣：

如果你對(duì)這個(gè)簡(jiǎn)寫(xiě)的形式感到暈頭轉(zhuǎn)向，沒(méi)關(guān)系，回到上面的擴(kuò)展形式就能看明白了。

歐拉乘積公式為什么是正確的？為什么左邊的一個(gè)對(duì)自然數(shù)的求和可以變成右邊的一個(gè)對(duì)質(zhì)數(shù)的乘積？現(xiàn)在我們就來(lái)證明它。

首先，讓我們觀察一下右邊，都是1 / (1 – x)這種形式。這讓我們想到一個(gè)基本的展開(kāi)式，即當(dāng)|x| < 1時(shí)，

1 / (1 – x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + …

學(xué)過(guò)等比數(shù)列和微積分的人，都能理解這是為什么。因?yàn)橛疫叺膎項(xiàng)之和等于(1 – xn+1) / (1 – x)，而當(dāng)n趨于無(wú)窮時(shí)，xn+1趨于0，所以右邊的無(wú)窮項(xiàng)之和就是1 / (1 – x)。

好，用這個(gè)展開(kāi)式把歐拉乘積公式中右邊的分式全都寫(xiě)成級(jí)數(shù)，就得到

1 / (1 – 2-s) = 1 + 2-s + 2-2s + 2-3s + 2-4s + …

1 / (1 – 3-s) = 1 + 3-s + 3-2s + 3-3s + 3-4s + …

1 / (1 – 5-s) = 1 + 5-s + 5-2s + 5-3s + 5-4s + …

如此等等，走遍所有的質(zhì)數(shù)。

現(xiàn)在我們來(lái)問(wèn)，把所有這些級(jí)數(shù)乘起來(lái)會(huì)得到什么？

在所有的級(jí)數(shù)中都取第一項(xiàng)1，乘出來(lái)就是1，這是左邊的第一項(xiàng)。

在第一個(gè)級(jí)數(shù)中取第二項(xiàng)2-s，在其他所有的級(jí)數(shù)中取第一項(xiàng)1，乘出來(lái)就是2-s，這是左邊的第二項(xiàng)。

在第二個(gè)級(jí)數(shù)中取第二項(xiàng)3-s，在其他所有的級(jí)數(shù)中取第一項(xiàng)1，乘出來(lái)就是3-s，這是左邊的第三項(xiàng)。

在第一個(gè)級(jí)數(shù)中取第三項(xiàng)2-2s，在其他所有的級(jí)數(shù)中取第一項(xiàng)1，乘出來(lái)就是4-s，這是左邊的第四項(xiàng)。

如此等等。你很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)，所有這些級(jí)數(shù)相乘得到的某個(gè)通項(xiàng)是(2a3b5c7d…)-s，其中a、b、c、d等等都是0或自然數(shù)。

真正的重點(diǎn)來(lái)了：這些2a3b5c7d…是什么？它們就是所有的自然數(shù)?。?/span>

因?yàn)橛幸粋€(gè)小學(xué)生都知道的基本定理：任何一個(gè)大于1的自然數(shù)，都或者是一個(gè)質(zhì)數(shù)，或者可以表示成若干個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，而且這種質(zhì)因數(shù)分解是唯一的。這個(gè)命題有個(gè)超級(jí)高大上的名稱，叫做算術(shù)基本定理（fundamental theorem of arithmetic）。

這樣一來(lái)，歐拉乘積公式的左邊就全都出來(lái)了。它的每一項(xiàng)都對(duì)應(yīng)右邊這些級(jí)數(shù)的某一項(xiàng)乘積，對(duì)應(yīng)的規(guī)則就是這個(gè)自然數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解。例如，左邊的12-s這一項(xiàng)就來(lái)自右邊關(guān)于2的級(jí)數(shù)中的2-2s這一項(xiàng)乘以關(guān)于3的級(jí)數(shù)中的3-s這一項(xiàng)，因?yàn)?2 = 22 × 3。

由此可見(jiàn)，歐拉乘積公式的左邊等于右邊，證畢。

同學(xué)們是不是很開(kāi)心??？

歐拉乘積公式的重要性在于，對(duì)于全體質(zhì)數(shù)的某種運(yùn)算可以轉(zhuǎn)移成對(duì)于全體自然數(shù)的某種運(yùn)算。這樣一來(lái)，通過(guò)研究左邊那個(gè)對(duì)于自然數(shù)的求和Σn n-s，我們就有可能對(duì)質(zhì)數(shù)獲得深刻的認(rèn)識(shí)。由于這個(gè)求和非常重要，所以它獲得了一個(gè)專門(mén)的名稱：黎曼ζ函數(shù)（ζ是一個(gè)希臘字母，發(fā)音zeta）。

咦，這個(gè)函數(shù)明明是歐拉提出來(lái)的，怎么叫做黎曼ζ函數(shù)了？這就涉及到黎曼對(duì)這個(gè)函數(shù)所做的工作了，我們下回分解。