1735年，28歲的歐拉解決了一個(gè)百年難題，巴塞爾問(wèn)題。從當(dāng)時(shí)一大堆著名數(shù)學(xué)家中脫穎而出，牛頓，萊布尼茨，伯努利家族。。。都倒在這個(gè)問(wèn)題上。歐拉一戰(zhàn)成名，并且一發(fā)不可收拾，直到他完全統(tǒng)治了18世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué)界。我們來(lái)簡(jiǎn)單回顧一下巴塞爾級(jí)數(shù)的表現(xiàn)形式。

這個(gè)結(jié)果是怎么得來(lái)的，之前的歐拉神作系列已經(jīng)講解得非常細(xì)致了。不太熟悉求解過(guò)程的同學(xué)們都可以去瞧瞧。這是一個(gè)了不起的結(jié)論，歐拉自然想到，既然這里可以取到自然數(shù)的平方倒數(shù)和，那假如就是求全體自然數(shù)的倒數(shù)和呢？

這就是大名鼎鼎的調(diào)和級(jí)數(shù)，這個(gè)級(jí)數(shù)是發(fā)散的，既然發(fā)散的，求和就不可能了，但是仍然有性質(zhì)可挖。歐拉對(duì)于這個(gè)數(shù)列做的工作是，他得到了這個(gè)級(jí)數(shù)的一個(gè)非常好的調(diào)和級(jí)數(shù)的近似函數(shù)。

這里的γ是歐拉常數(shù)，約等于0.57721566490153286，于是人們以后再去求解調(diào)和級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和時(shí)，就完全不必一項(xiàng)一項(xiàng)累加，直接用這個(gè)非常精準(zhǔn)的估值公式即可。歐拉在研究了這兩個(gè)級(jí)數(shù)之后，開(kāi)始了更一般情況的考慮。

這里的k是自然數(shù)，如果k=1時(shí)，上面的式子是調(diào)和級(jí)數(shù)，k=2時(shí)，就是巴塞爾問(wèn)題。事實(shí)上，歐拉可以選擇繼續(xù)讓k=3,4,5...一直嘗試探究下去。但是這仿佛有點(diǎn)機(jī)械式處理的意思，歐拉可不干。歐拉及時(shí)調(diào)整了研究方向，并最終得到了一個(gè)堪稱金鑰匙的法寶。

我們重現(xiàn)一下歐拉的工作：

到了(5)式這里，我們暫且緩一緩，先來(lái)分析一下每步的意義。從(1)跳轉(zhuǎn)到(2)式，歐拉“故意”地給(1)式左邊增加一個(gè)負(fù)重，我們仿佛難以揣測(cè)歐拉做這一步的出發(fā)點(diǎn)在哪兒。但是這樣處理之后，用(1)式-(2)式之后，我們發(fā)現(xiàn)，(3)式里，已經(jīng)沒(méi)有了偶數(shù)項(xiàng)，只有奇數(shù)項(xiàng)。我們也可以這么理解，這么做，將所有2的倍數(shù)項(xiàng)都隱藏起來(lái)了。接下來(lái)的(3)-(4)之后，我們就可以在(5)右邊更加清晰地發(fā)現(xiàn)，這里已經(jīng)既沒(méi)有2的倍數(shù)，也沒(méi)有3的倍數(shù)了。

如果這兩步的過(guò)程我們能夠接受，那么(5)式，再進(jìn)行類似的步驟之后，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，式子的右邊會(huì)逐漸剔除，2,3,5,7...這些數(shù)字的倍數(shù)項(xiàng)。如果給你全體自然數(shù)，讓你逐步剔除2,3,5,7。。。這些數(shù)字的倍數(shù)，那么剩下的數(shù)字還會(huì)是什么？當(dāng)然就只會(huì)留下素?cái)?shù)了！

在這個(gè)數(shù)字被層層淘汰的過(guò)程像極了用篩子一遍遍過(guò)濾掉雜質(zhì)，最后得到結(jié)晶的過(guò)程。在素?cái)?shù)研究領(lǐng)域，有個(gè)古老又很有效的方法——埃拉托斯特尼篩法。開(kāi)創(chuàng)者是古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托斯特尼，他也是有史以來(lái)第一個(gè)測(cè)量出地球直徑的數(shù)學(xué)家。這個(gè)簡(jiǎn)單又有效找出一定范圍內(nèi)素?cái)?shù)的方法，其實(shí)大家可能都已經(jīng)遇到過(guò)了，這也是計(jì)算機(jī)編程初學(xué)者必須要掌握的方法了。

篩法的定義是：

給出要篩數(shù)值的范圍n，找出根號(hào)n以內(nèi)的素?cái)?shù)p1,p2,p3...

先用2去篩，即把2留下，把2的倍數(shù)剔除掉；再用下一個(gè)素?cái)?shù)，也就是3篩，把3留下，把3的倍數(shù)剔除掉；接下去用下一個(gè)素?cái)?shù)5篩，把5留下，把5的倍數(shù)剔除掉；不斷重復(fù)下去......,篩到最后留下數(shù)字就是我們要的素?cái)?shù)了。

好了，回到繼續(xù)歐拉的工作上來(lái)。我們繼續(xù)(5)式以后的過(guò)程。

請(qǐng)注意，這里的(7)式還不完全就是歐拉得到的金鑰匙。我們檢查一下上面的推導(dǎo)過(guò)程，雖然這里的k是從1,2延伸得來(lái)的，我們理所應(yīng)當(dāng)?shù)卣J(rèn)為后面的k也應(yīng)該都是自然數(shù)。然而縱觀這個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程，我們仿佛沒(méi)有用到k是自然數(shù)這個(gè)天然的限制條件，僅僅只是把k當(dāng)做一個(gè)數(shù)字進(jìn)行而已。歐拉顯然也注意到了這點(diǎn)，1737年，也就是在解決了巴塞爾級(jí)數(shù)問(wèn)題兩年之后，歐拉將這里的k改寫(xiě)成任意復(fù)數(shù)s，并且s的實(shí)部，即Re(s)>1,上式成立。于是金鑰匙終于現(xiàn)身，也就是：

這個(gè)公式也叫歐拉乘積公式，是以歐拉命名的公式里相當(dāng)出彩的一支。

既然這個(gè)公式號(hào)稱是金鑰匙，那我們就來(lái)小試牛刀來(lái)檢驗(yàn)一下成色。我們從全新的角度來(lái)證明“素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)”這個(gè)經(jīng)典的問(wèn)題。

這里，我們只是簡(jiǎn)單地使用了一下歐拉乘積公式在s=1的特殊情況，就解決了這個(gè)經(jīng)典的素?cái)?shù)問(wèn)題。我們都有個(gè)明顯的印象，很多跟素?cái)?shù)相關(guān)的，看似平淡無(wú)奇的猜想，動(dòng)不動(dòng)就是幾百年都沒(méi)有進(jìn)展。歐拉乘積公式好不容易也帶上了素?cái)?shù)的結(jié)論，不去攻克素?cái)?shù)方面的超級(jí)難題，那實(shí)在是太不應(yīng)該了。上面的方法來(lái)證明素?cái)?shù)無(wú)窮多個(gè)，其實(shí)并不比歐幾里得的方法復(fù)雜多少，這些推導(dǎo)過(guò)程同樣優(yōu)美典雅。

黎曼接過(guò)了歐拉的這個(gè)閃閃的金鑰匙，并且用自己的技術(shù)把這個(gè)工具推到極致。1859年，黎曼發(fā)表了一篇驚世駭俗的論文《論小于某給定值的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)》，在這個(gè)僅僅8頁(yè)里，黎曼重新研究了關(guān)于ζ(s)級(jí)數(shù)的性質(zhì)，并且將古往今來(lái)關(guān)于素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的研究推到頂峰，一百五十多年過(guò)去了，仍然是頂峰！

如果說(shuō)上面的素?cái)?shù)無(wú)窮多個(gè)的證明是小打小鬧，那黎曼的在歐拉的基礎(chǔ)上擴(kuò)展的工作就是專業(yè)上的絕對(duì)實(shí)力了。人們想象不到，素?cái)?shù)分布的全部奧秘會(huì)隱藏在這個(gè)極不起眼的級(jí)數(shù)中。黎曼的估計(jì)函數(shù)在大范圍內(nèi)與真實(shí)素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的吻合度簡(jiǎn)直令人咋舌！

高斯每次只把他認(rèn)為成為一家成熟的結(jié)論發(fā)表出來(lái)，并且會(huì)盡力地隱藏他得到成果的路徑。有人說(shuō)高斯就像是一只走完沙丘就用尾巴掃平痕跡的老狐貍，那黎曼就是發(fā)表什么都像是從天而降，你不但看不到他得出這個(gè)結(jié)論的手法，甚至，你壓根不能理解這樣的結(jié)論怎么會(huì)出現(xiàn)在那個(gè)時(shí)代。

且不說(shuō)他的研究領(lǐng)域基本上都沒(méi)啥關(guān)系，黎曼幾何，素?cái)?shù)分布，黎曼積分。。。就只說(shuō)在那篇8頁(yè)的論文里用到的許許多多類似“明顯地”，“顯而易見(jiàn)”，“容易得到”這些詞匯。這些很多在他看來(lái)根本不值得在論文里出現(xiàn)的重要推導(dǎo)過(guò)程被他一帶而過(guò)，但是他過(guò)高地認(rèn)為了同時(shí)代乃至后世的數(shù)學(xué)家能夠達(dá)到的水平。

論文一開(kāi)始發(fā)布的時(shí)候，人們那被這些“顯而易見(jiàn)”坑得不輕。開(kāi)始懷疑黎曼是不是真的已經(jīng)把研究進(jìn)行到了那種天人合一的境界，也許只是在跟世人開(kāi)個(gè)玩笑。但是他的研究太有吸引力了，無(wú)數(shù)的數(shù)學(xué)家沿著黎曼開(kāi)創(chuàng)的道路艱苦摸索，每隔幾十年，人們都會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)年黎曼用過(guò)某些“顯而易見(jiàn)”是對(duì)的，這絕不是隨手所得，而是經(jīng)過(guò)無(wú)比詳盡的推導(dǎo)之后，才能把最精華的內(nèi)容留在論文里。再到后來(lái)，人們發(fā)現(xiàn)了黎曼留下的殘存的手稿，甚至在黎曼去世幾十年之后，人們重新整理了他的手稿，并且從中出土了非常有效的求非平凡零點(diǎn)的公式。至此，黎曼躋身人類最偉大的數(shù)學(xué)家前五是毫無(wú)疑義的了。

歐拉從來(lái)都不是那種解決一個(gè)難題就放在一邊的快槍手，而是一個(gè)通過(guò)表面的研究來(lái)觸及問(wèn)題的根本。就像他發(fā)現(xiàn)的金鑰匙工具一樣，到了黎曼這里變成了核武器，成就了人類素?cái)?shù)研究領(lǐng)域的最高成就。