謝賢祖

(華南師大附中汕尾學校 516600)

摘 要：復數(shù)一直是高中數(shù)學聯(lián)賽和自主招生數(shù)學考試中的命題熱點，其中模長問題又是歷年考查的重點.而復數(shù)的模長與共軛復數(shù)聯(lián)系緊密，經(jīng)常聯(lián)袂出演，利用共軛復數(shù)解題可以起到四兩撥千斤的效果.復數(shù)的三角形式也進入了新教材，用三角形式解題可以減少計算量，洞悉題目本質(zhì).

關鍵詞：復數(shù)；共軛；模長；三角形式

一、源于教材，高于教材

在原來的舊教材人教A版選修2-2中，對復數(shù)的模長與共軛提及甚少，只是簡單的介紹，不太重視.而在2019年人教A版第二冊中，復數(shù)的地位得到提升，不僅給出了求復數(shù)模長的訓練題，還給出了與數(shù)形結(jié)合有關的思考題；在2019年全國Ⅰ卷數(shù)學試卷中，選擇題第2題復數(shù)也改變了以往的常規(guī)考法，創(chuàng)新了命題方式，2020年的全國Ⅰ卷理科15題也是.具體題目展示如下，由于題目簡單，詳細解答略.

例1 (2017人教A版第二冊72頁)在復平面內(nèi)z對應的點為Z，滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？(1)|z|=1;(2)1<|z|<2.

例2 (2019全國Ⅰ卷第2題)z滿足|z-i|=1，z在復平面內(nèi)對應的點為(x,y)，則( ).

A．(x+1)2+y2=1 B．(x-1)2+y2=1

C．x2+(y-1)2=1 D．x2+(y+1)2=1

在新教材2019年人教A版第二冊中則增加了復數(shù)的三角表示，而且內(nèi)容詳實，“三角表示”本是競賽數(shù)學的內(nèi)容，如今也漸漸走入教材，無不凸顯復數(shù)地位的提升. 復數(shù)本身就是溝通向量與三角函數(shù)的重要載體，所以對其進行深入學習，無論是對自招與競賽考試而言，還是對有志參加強基計劃的學生來說，都是大有裨益. 如果只是應對高考，課本知識足矣.但要應對更難的題目還遠遠不夠.下面補充一些課本未曾提及的復數(shù)模長與共軛的性質(zhì).

二、共軛復數(shù)的重要性質(zhì)

是實數(shù)是純虛數(shù)

三、自主招生與競賽真題解析

例3 (2019中科大)是純虛數(shù)，則|z2+z+3|的最小值是____.

點評 主動借助共軛復數(shù)去做題，看到純虛數(shù)要想到利用看到模長想到借助性質(zhì)這樣可以巧妙化簡，簡化計算.用同樣的方法可以解決下面的例4，詳細解答略.

例4 (2020江蘇預賽)是純虛數(shù)，則|z2-z+2|的最小值是____.

答案：

例5 (2017北大)是實數(shù)，則|z+i|的最小值是____.

解析或|z|2=2，若則z∈R，且z≠0，所以若|z|2=2，則在復平面內(nèi)z所對應的點在以原點為圓心，半徑為的圓上.而|z+i|=|z-(-i)|則表示圓上的點到點(0，-1)的距離，畫圖分析易知該距離的最小值為綜上所述 ，|z+i|的最小值是

總結(jié) 看到一個“復數(shù)式”為實數(shù)，就利用去化簡分析.此題要特別注意分類討論避免考慮不周.最后借助數(shù)形結(jié)合思想求最值是圓的最值問題中的常規(guī)題型，屬于高考范圍內(nèi)的要求.

例6 (2020浙江高中數(shù)學聯(lián)賽初賽)已知復數(shù)z滿足|z|=1，則當|1+z+3z2+z3+z4|取得最小值時，復數(shù)z=____.

解析 若使用對此題而言，計算量極大，下面轉(zhuǎn)化思路.借助|z|=1可得繼續(xù)變形，易知同理設z=cosθ+isinθ，則所以所以原式=|2cosθ+2cos2θ+3|=|4cos2θ+2cosθ+1|，當時，原式取最小值，此時復數(shù)

總結(jié) 看到復數(shù)的模長為1，想到設復數(shù)的三角形式，想到該復數(shù)與其共軛復數(shù)互為倒數(shù)，即筆者發(fā)現(xiàn)這些解題經(jīng)驗，屢試不爽.此題還用到下列結(jié)論，也是要重點總結(jié)的.那就是本題是屬于逆用公式.最后將原式化簡成了結(jié)構對稱的從而實現(xiàn)復數(shù)問題實數(shù)化，極大的簡化計算.下面再看運用復數(shù)三角形式解題的例子.

例7 (2020新疆高中數(shù)學聯(lián)賽預賽)復數(shù)z滿足|z|=1，則|1+iz+z|的最小值為____.

解析 設z=cosθ+isinθ，則所以

例8 (2016北大博雅計劃)設a,b,c為實數(shù)，a,c≠0，方程ax2+bx+c=0的兩個復數(shù)根為x1，x2，若為實數(shù)，則____.

解析 虛根總是成對存在的，而且互為共軛，即看到為實數(shù)，從而想到令x1=|x1|·(cosθ+isinθ)，則|x1|3·(cos3θ+isin3θ)=0.

因此所以令發(fā)現(xiàn)ω3=1.所以原式

總結(jié) 本題綜合性強，用到了很多豐富的結(jié)論，現(xiàn)總結(jié)如下.

(1)實系數(shù)一元n次方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的“虛根成對”，這是舊版教材和新教材都有介紹的知識，值得重視.

(2)形如的分式型復數(shù)可以采取上下同乘共軛來實現(xiàn)化簡的目的.

(3)本題還用到了常見結(jié)論：1-ωn=(1-ω)(1+ω+…+ωn-1)

(4)看到為單位復數(shù)，先思考它是幾次單位根，再用之解題可以“四兩撥千斤”.

(5)棣莫佛定理[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)也是重點公式.

復數(shù)的三角形式已經(jīng)進入新教材，高考對復數(shù)的考查難度也發(fā)生變化，未來復數(shù)在高考、自主招生、各類競賽中的地位會越來越高，值得我們重視.本文主要展示共軛與模長的“聯(lián)袂”解題以及復數(shù)三角形式的應用，而復數(shù)是溝通三角函數(shù)和向量的重要載體，它所包含的知識和性質(zhì)數(shù)不勝數(shù)，筆者的研究只是冰山一角，還需砥礪前行繼續(xù)研究，希望對讀者有所幫助，文中若有不正之處，還望同行批評指正.

參考文獻：

[1]劉詩雄.奧數(shù)教程高中第二分冊[M].上海：華東師范大學出版社，2018.

[2]章建躍.普通高中標準實驗教科書人教A版第二冊[M].北京：人民教育出版社，2017.

作者簡介：謝賢祖(1992.1-)，男，廣東省汕頭人，本科，中學二級教師，從事中學數(shù)學教學研究.