康托爾集合論-羅素悖論-公理化集合論-不完全性定理
1. 第二次數(shù)學(xué)危機的解決---集合論成了全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

(第二次數(shù)學(xué)危機詳細(xì)見參考中三次數(shù)學(xué)危機.) 
19世紀(jì)，柯西詳細(xì)而有系統(tǒng)地發(fā)展了極限理論?？挛髡J(rèn)為把無窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發(fā)生矛盾。無窮小量應(yīng)該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質(zhì)上它是變量，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無窮小的概念，另外Weistrass創(chuàng)立了 極限理論，19世紀(jì)70年代初，外爾斯特拉斯、狄德金、康托等人獨立地建立了實數(shù)理論，而且在實數(shù)理論的基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理.從而把無窮小量從形而上學(xué)的束縛中解放出來，第二次數(shù)學(xué)危機基本解決。從而使數(shù)學(xué)分析建立在實數(shù)理論的嚴(yán)格基礎(chǔ)之上。而嚴(yán)密的實數(shù)理論可以由集合論推出。集合論是19世紀(jì)70-80年代由德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立，它建立在一種無限觀——“實無限”的基礎(chǔ)上。所謂“實無限”，即把“無限”作為一個已經(jīng)完成了的觀念實體來看待。例如，在集合論中用N={n：n是自然數(shù)}表示全體自然數(shù)的集合就是如此。需要指出的是，在此之前的幾千年數(shù)學(xué)發(fā)展史中，占主導(dǎo)地位的是另一種無限觀，即古希臘哲學(xué)家亞里士多德所主張的“潛無限”觀念。所謂“潛無限”，是把“無限”作為一個不斷發(fā)展著的、又永遠(yuǎn)無法完成的過程來看待。例如，把自然數(shù)看成一個不斷延伸的無窮無盡的序列1，2，3，…，n，…就是如此。 集合論是數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)方法上的一次革命性變革，由于它在解釋舊的數(shù)學(xué)理論和發(fā)展新的數(shù)學(xué)理論方面都極為方便，因而逐漸為許多數(shù)學(xué)家所接受。實數(shù)理論奠定在集合論的基礎(chǔ)上，而且各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念都可以用“集合”概念定義出來，而各種數(shù)學(xué)理論又都可以“嵌入”集合論之內(nèi)。因此，集合論就成了全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而且有力地促進(jìn)了各個數(shù)學(xué)分支的發(fā)展?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)幾乎所有的分支都會用到集合這個概念。

2. 康托爾集合論(現(xiàn)在有人也稱之為樸素集合論)面料挑戰(zhàn).
從康托爾創(chuàng)立了數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的“集合論”，用集合論中的觀點來詮釋各個數(shù)學(xué)概念之間的邏輯關(guān)系，真可謂是“天衣無縫”。因此集合論被譽為“數(shù)學(xué)大廈的基石”。然而事情并非總是順利的。1900年左右，正當(dāng)康托爾的思想逐漸被人接受，并成功地把集合論應(yīng)用到了許多別的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中去，大家認(rèn)為數(shù)學(xué)的“絕對嚴(yán)格性”有了保證的時候，一系列完全沒有想到的邏輯矛盾，在集合論的邊緣被發(fā)現(xiàn)了。開始，人們并不直接稱之為矛盾，而是只把它們看成數(shù)學(xué)中的奇特現(xiàn)象。1897年意大利數(shù)學(xué)家布拉里.福爾蒂揭示了集合論的第一個悖論。1899年，康托爾發(fā)現(xiàn)了 “康托爾悖論”，亦稱“最大基數(shù)悖論”。福爾蒂和康托的悖論只涉及到集合論中的結(jié)果，沒有引起當(dāng)時數(shù)學(xué)家們的足夠重視。但羅素于1901年5月發(fā)現(xiàn)了一個悖論。它除了涉及集合概念本身外不需要別的概念。此后又有其他樸素集合論的悖論出現(xiàn), 例如理查德悖論, 培里悖論, 格瑞林和納爾遜悖論等. 集合論的現(xiàn)代悖論與邏輯的幾個古代悖論還有關(guān)系。例如，公元前4世紀(jì)的歐伯利得悖論：“我現(xiàn)在正在做的這個陳述是假的。”埃皮門尼德（公元前6世紀(jì)，克利特人）悖論：“克利特人總是說謊的人。”
 

3. 羅素悖論和理發(fā)師悖論
羅素悖論的數(shù)學(xué)表達(dá)：設(shè)性質(zhì)P(x)表示“x不屬于x ”，現(xiàn)假設(shè)由性質(zhì)P確定了一個類A----也就是說“A全集P(x)(x屬于A 與 x不屬于A 性質(zhì)不能同時成立 )”。那么現(xiàn)在的問題是：A屬于A 是否成立？首先，若A屬于A ，則A是A的元素，那么A具有性質(zhì)P，由性質(zhì)P知A不屬于A ；其次，若A不屬于A ，也就是說A具有性質(zhì)P，而A是由所有具有性質(zhì)P的類組成的，所以A不屬于A 。
羅素悖論的普通表達(dá):“一切不包含自身的集合所形成的集合是否包含自身？”答案如果說是，即包含自身，屬于這個集合，那么它就不包含自身；如果說否，它不包含自身，那么它理應(yīng)是這個集合的元素，即包含自身。
可能有人看不懂羅素悖論，沒關(guān)系，羅素本人就用通俗的“理發(fā)師悖論”作了比喻；理發(fā)師自稱，他給所有自己不刮胡子的人刮胡子，但不給任何自己刮胡子的人刮胡子。試問理發(fā)師該不該給自己刮胡子？如果他從來不給自己刮胡子，就屬于“自己不刮胡子的人”。根據(jù)他的自稱，他就應(yīng)該給自己刮胡子，但是，一旦他給自己刮胡子，他就成了“自己刮胡子的人”了。還是根據(jù)他的自稱，他就不應(yīng)該給自己刮胡子。所以不管理發(fā)師的胡子由誰來刮，都會產(chǎn)生矛盾。

羅素悖論的詳細(xì)解釋:把集合分成兩類，凡是不以自身作為元素的集合稱為正常集P(x) 表示“x不屬于x ”.(或稱一種叫自吞的,一種叫非自吞的,或說自包含的,非自包含的.或說正常的,非正常的.)，（例如，自然數(shù)集合N本身不是自然數(shù), 數(shù)學(xué)表達(dá)N不屬于N. 因此N是正常集。再例如:所有彩虹網(wǎng)友的集合不是彩虹網(wǎng)友. 所有男人的集合不是男人）凡是以自身作為元素的集合稱為異常集。（例如，所有的非生物的集合F并非生物，數(shù)學(xué)表達(dá)F屬于F.因此F是異常集。所有非植物的集合不是植物.所有非質(zhì)數(shù)的集合不是質(zhì)數(shù).等等）每個集合或者為正常集或者為異常集。設(shè)A為全體正常集(性質(zhì)P)所組成的集合，那么A是不是正常集？
如果A是正常集，由正常集P的定義知A不屬于A，又因A是全體正常集的集合，所以正常集A屬于A.但這說明A不是正常集，是異常集；反之，如果A不是正常集，是異常集，那么由異常集的定義知A屬于A，這說明A是全體正常集組成的集合A的元素，因而A又應(yīng)該是正常集。

4. 公理化集合論的建立和完善.
集合論中悖論的存在，明確地表示某些地方出了毛病。自從悖論被發(fā)現(xiàn)之后，關(guān)于這一課題發(fā)表了大量的文章，為解決它們作過了大量的嘗試。
激進(jìn)的是以荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾為代表的直覺主義學(xué)派，他們對集合論采取了全盤否定的態(tài)度，并認(rèn)為“實無限”的觀念是集合論悖論產(chǎn)生的根源。
還有以羅素為代表的邏輯主義.
特別突出的是以希爾伯特為代表的形式主義數(shù)學(xué)學(xué)派。這方面的代表性成果是公理集合論，它已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支。公理集合論采用公理化的方法來刻畫集合和集合的運算，并對康托爾集合論中的“概括原則”作了修正。
就數(shù)學(xué)而論，看來有一條容易的出路：人們只要把集合論建立在公理化的基礎(chǔ)上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。第一次這樣的嘗試是策梅羅于1908年做出的。以后還有多人進(jìn)行加工。但是，此種方式曾受到批評，因為它只是避開了某些悖論，而未能說明這些悖論；此外，它不能保證將來不出現(xiàn)別種悖論。
策梅羅的公理化集合理論中，集合這個概念一直不加定義，而它的性質(zhì)就由公理反映出來。他不說什么是集合，而只講從數(shù)學(xué)上怎樣來處理它們，他引進(jìn)七條公理：決定性公理(外延公理)、初等集合公理(空集公理、單元素公理、對集公理)、分離公理、冪集公理、并集公理、選擇公理、無窮公理(稍稍改變一下原來形式)。 
受到的批評：
1)、為了討論集合，我們必須從對象“域”開始，也就是用某種方法構(gòu)成的域；2)、策梅羅關(guān)于確定的命題要有一個定義使得它精確化；3)、在所有完全的公理化中，集合論的概念不可避免地是相對的；4)、策梅羅的公理系統(tǒng)不足以提供通常集合論的基礎(chǔ)；5)、當(dāng)人們打算證明公理的無矛盾時，謂語句所引起的困難；6)、對象域B的不唯一性；7)、數(shù)學(xué)歸納法對于抽象給出的公理系統(tǒng)的必要性；8)、選擇公理的問題。 
蘭克爾改進(jìn)的策梅羅集合論公理系統(tǒng)，再加上選擇公理是足夠數(shù)學(xué)發(fā)展所需的，但是還需要加一條限制性的公理，即除了滿足這些公理的集合之外沒有其他的集合。 
為排除一個悖論涉及所謂基礎(chǔ)集合，為了排除這種集合，馮·諾依曼引進(jìn)公理9(基礎(chǔ)公理). 
對改進(jìn)后的ZF集合論公理系統(tǒng)的批評:
這樣施加限制有點不必要地過分嚴(yán)格，使得數(shù)學(xué)家在論證過程中失掉一些有時有用的論證方式，而這些論證方式似乎是沒有惡性循環(huán)的。
仍然存在許多問題，例如：不可達(dá)基數(shù)和序數(shù)是不是存在？；連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是否能夠證明；公理系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性和獨立性，……從三十年代之后，為了解決這些問題，公理集合論掀開了新的一頁。

5.公理系統(tǒng)的最后努力遇到了不完全性定理:
1930年前，整個數(shù)學(xué)界是非常樂觀的：希爾伯特的思想占統(tǒng)治地位；數(shù)學(xué)是建立在集合論和數(shù)理邏輯兩塊基石之上；康托爾的樸素集合論已被公理集合論所代替，從而消除了悖論；選擇公理是一個很好的工具，數(shù)學(xué)中許多部門都要用到它；連續(xù)統(tǒng)假設(shè)仍然是懸案，不過希爾伯特多次覺得自己已接近解決這個難題，看來前景是樂觀的；大部分?jǐn)?shù)學(xué)可以建立在謂詞演算的基礎(chǔ)上，而一階謂詞演算的公理系統(tǒng)是無矛盾的，盡管其完全性仍有待證明；整個數(shù)學(xué)的基本理論是自然數(shù)的算術(shù)和實數(shù)理論，它們都已經(jīng)公理化。這些公理系統(tǒng)應(yīng)該是無矛盾的、完全的，如果它們能夠得證，并且集合論公理系統(tǒng)也能得到同樣的結(jié)果，那么整個數(shù)學(xué)就比較牢靠了。

為了不使一小撮直覺主義者指手劃腳、評頭品足，希爾伯特提出他的計劃：把理論系統(tǒng)形式化，然后通過有限多步證明它們沒有矛盾。他信心十足，在1930年9月東普魯士哥尼斯堡的科學(xué)會會議上，他批判了不可知論。
1928年希爾伯特提出四個問題：
1)、分析的無矛盾性。1924年阿克曼和1927年馮·諾依曼的工作使希爾伯特相信只要一些純算術(shù)的初等引理即可證明。1930年夏天，哥德爾開始研究這個問題，他不理解希爾伯特為什么要直接證明分析的無矛盾性。哥德爾認(rèn)為應(yīng)該把困難分解：用有限主義的算術(shù)證明算術(shù)的無矛盾性，再用算術(shù)的無矛盾性證明分析的無矛盾性，哥德爾由此出發(fā)去證明算術(shù)的無矛盾性而得出不完全性定理。
2)、更高級數(shù)學(xué)的無矛盾性，特別是選擇公理的無矛盾性。這個問題后來被哥德爾在1938年以相對的方式解決。
3)、算術(shù)及分析形式系統(tǒng)的完全性。這個問題在1930年秋天哥尼斯堡的會議上，哥德爾已經(jīng)提出了一個否定的解決，這個問題的否定成為數(shù)理邏輯發(fā)展的轉(zhuǎn)折點。
4)、一階謂詞邏輯的完全性。這個問題已被哥德爾在1930年完全解決。
這樣一來，哥德爾的工作把希爾伯特的方向扭轉(zhuǎn)，使數(shù)理邏輯走上全新的道路。

哥德爾的不完全性定理：這是數(shù)理邏輯最重大的成就之一，是數(shù)理邏輯發(fā)展的一個里程碑和轉(zhuǎn)折點。哥德爾在研究過程中直接考慮悖論及解決悖論的方法，從而把第三次數(shù)學(xué)危機引導(dǎo)至另外一個方向上。
哥德爾證明不完全性定理是從考慮數(shù)學(xué)分析的協(xié)調(diào)性問題開始的。1930年秋在哥尼斯堡會議上，他宣布了第一不完全性定理：一個包括初等數(shù)論的形式系統(tǒng)，如果是協(xié)調(diào)的，那就是不完全的。不久之后他又宣布：如果初等算術(shù)系統(tǒng)是協(xié)調(diào)的，則協(xié)調(diào)性在算術(shù)系統(tǒng)內(nèi)不可證明。
哥德爾的證明使用了“算術(shù)化”的方法。哥德爾說：“一個系統(tǒng)的公式……從外觀上看是原始符號的有窮序列……。不難嚴(yán)格地陳述，哪些原始符號的序列是合適公式，哪些不是；類似地，從形式觀點看來，證明也只不過是(具有某種確定性質(zhì)的)一串公式的有窮序列”。因此，研究一個形式系統(tǒng)實際上就是研究可數(shù)個對象的集合。我們給每個對象配上一個數(shù)，這種把每一個對象配上一個數(shù)的方法稱為“哥德爾配數(shù)法”。哥德爾通過這些數(shù)反過來看原來形式系統(tǒng)的性質(zhì)。
哥德爾研究了46種函數(shù)和謂詞，哥德爾證明了他的前45個函數(shù)和謂詞都是原始遞歸的。但第46個謂詞為“X是一個可證公式的哥德爾數(shù)”。在對哥德爾配數(shù)的系統(tǒng)中，可以得到一個公式，它相當(dāng)于：我是不可證的。所以這個句子是不可證的且是真的。所以系統(tǒng)中存在真語句而又不可證，也就是系統(tǒng)不完全。
哥德爾的論文在1931年發(fā)表之后，立即引起邏輯學(xué)家的莫大興趣。它開始雖然使人們感到驚異不解，不久即得到廣泛承認(rèn)，并且產(chǎn)生巨大的影響：
哥德爾的證明對希爾伯特原來的計劃是一個巨大的打擊，因此把整個數(shù)學(xué)形式化的打算是注定要失敗的，因而邏輯主義和形式主義的原則是不能貫徹到底的；“希爾伯特計劃”中證明論的有限主義觀點必須修正，從而使證明論的要求稍稍放寬。1936年甘岑在容許超窮歸納的條件下證明了算術(shù)的無矛盾性，而倡導(dǎo)有限構(gòu)造主義的直覺主義也不能解決問題；哥德爾的工具遞歸函數(shù)促進(jìn)了遞歸函數(shù)論的系統(tǒng)研究，同時推動了不可判定問題的研究，開始出現(xiàn)遞歸論的新分支。

哥德爾不完全定理的證明結(jié)束了關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的爭論不休的時期，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的危機不那么突出表現(xiàn)出來。數(shù)理邏輯形成了一個帶有強技巧性的獨立學(xué)科，而絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)家仍然把自己的研究建立在樸素集合論或ZF公理集合論的基礎(chǔ)上。
盡管集合論中存在矛盾，但這些矛盾大部分均可回避。研究這些矛盾，特別是集合論的矛盾變成數(shù)理邏輯學(xué)家的事業(yè)。因為矛盾也好、危機也好，根源在于無窮，但是數(shù)學(xué)中畢竟少不了無窮。歸根結(jié)蒂，數(shù)學(xué)終究是研究無窮的科學(xué)。

6. 哥德爾第一不完全性定理
哥德爾第一不完全性定理：一個包括初等數(shù)論的形式系統(tǒng)，如果是協(xié)調(diào)的，那就是不完全的。不久之后他又宣布：如果初等算術(shù)系統(tǒng)是協(xié)調(diào)的，則協(xié)調(diào)性在算術(shù)系統(tǒng)內(nèi)不可證明。
哥德爾不完備定理，將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的哲學(xué)意義，揭示得更加明顯。哥德爾不完備定理是說：當(dāng)一個演繹系統(tǒng)是自足的（不矛盾的），總有至少一個或幾個前提是在系統(tǒng)內(nèi)不能證明的。例如，在相對論中，光速C恒定且最大這個前提，就是不能在相對論演繹系統(tǒng)中證明的。
如果我們要證明數(shù)學(xué)理論的相容性或完備性（這兩者被視為數(shù)學(xué)真理性的要求），必須要依靠該數(shù)學(xué)理論以外的論據(jù)，也就是說我們需要更大的系統(tǒng)來說明理論本身是真的，在此之前，我們還需要更更大的系統(tǒng)來說明那個被擴大的系統(tǒng)是真的……到了最后，無一處是獨立的真理，因為每一個系統(tǒng)的真理性都依賴於其它系統(tǒng)的真理性，這個特徵不僅表現(xiàn)在數(shù)學(xué)之中，也表現(xiàn)在人類的所有語言形式之中。
　　對於一個足夠復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論，并非所有的真命題在系統(tǒng)內(nèi)都是可證的，就連其一致性在系統(tǒng)內(nèi)也是不可證。某個程度可以這樣說，當(dāng)我們指出某個理論系統(tǒng)是真理性的，最低限度有其信念的成分，在那些不能完全證明的地方，我們?nèi)匀幌嘈潘?/strong>