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三大數(shù)學(xué)流派之形式主義學(xué)派 形式主義的形成 形式主義理論體系是在非歐幾何產(chǎn)生之后，在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)哲學(xué)研究中彌漫的“重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的氣氛中形成的。 當(dāng)非歐幾何得到人們的承認(rèn)，亦即當(dāng)?shù)贸龌ハ嗝艿亩ɡ淼膬煞N幾何都證明了不自相矛盾的時(shí)候，人們便要問(wèn)：數(shù)學(xué)的真理體現(xiàn)在那里?試想，一種幾何說(shuō)，過(guò)直線外一點(diǎn)只能作一條直線不與原有的直線相交；另一種幾何說(shuō)，過(guò)直線外一點(diǎn)至少可作兩條直線不與原有的直線相交；還有一種幾何說(shuō)：過(guò)直線外一點(diǎn)不可以做任何直線于原有的直線不相交。這三種幾何不是互相打架了嗎?理應(yīng)至少有兩個(gè)是錯(cuò)誤的，為什么三個(gè)幾何都成立呢? 德國(guó)著名數(shù)學(xué)家希爾伯特主張，保衛(wèi)經(jīng)典數(shù)學(xué)和經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法，并且發(fā)展他們。他認(rèn)為，經(jīng)典數(shù)學(xué)，包括由于集合論的出現(xiàn)而發(fā)展起來(lái)的新的數(shù)學(xué)方向，都是人類最有價(jià)值的精神財(cái)富；為了在數(shù)學(xué)中避免出現(xiàn)悖論，就設(shè)法絕對(duì)的證明數(shù)學(xué)的無(wú)矛盾性，使數(shù)學(xué)奠定在嚴(yán)格的公理化的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)的公理和邏輯推理就像天文學(xué)家手中的望遠(yuǎn)鏡那樣重要，是不能丟棄的。為了實(shí)現(xiàn)這一目的，希爾伯特在1922 年提出了著名的希爾伯特計(jì)劃。 形式主義的基本思想 希爾伯特計(jì)劃的主要思想就是：奠定一門數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，應(yīng)該嚴(yán)格的、數(shù)學(xué)的證明這門數(shù)學(xué)的協(xié)調(diào)性（即無(wú)矛盾性或一致性、相容性）；希爾伯特計(jì)劃的數(shù)學(xué)內(nèi)容就是數(shù)理邏輯中的證明論。 希爾伯特與貝爾奈斯合著的兩卷《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》是希爾伯特計(jì)劃的代表作。希爾伯特計(jì)劃，將各門數(shù)學(xué)形式化，構(gòu)成形式系統(tǒng)，然后用一種初等方法證明各個(gè)形式系統(tǒng)的相容性，即無(wú)矛盾性，從而導(dǎo)出全部數(shù)學(xué)的無(wú)矛盾性。 他區(qū)分了3 種數(shù)學(xué)理論： 1.直觀的非形式化的數(shù)學(xué)理論； 2.將第一種數(shù)學(xué)理論形式化，構(gòu)成一個(gè)形式系統(tǒng)，把直觀數(shù)學(xué)理論中的基本概念轉(zhuǎn)換為形式系統(tǒng)中的初始符號(hào)，命題轉(zhuǎn)換為符號(hào)公式，推演規(guī)則轉(zhuǎn)換為符號(hào)公式之間的變形關(guān)系，證明轉(zhuǎn)換為符號(hào)公式的有窮序列； 3.是描述和研究第二種數(shù)學(xué)理論的，稱為元數(shù)學(xué)、證明論或元理論。元數(shù)學(xué)是以形式系統(tǒng)為研究對(duì)象的一門新數(shù)學(xué)，它包括對(duì)形式系統(tǒng)的描述、定義，也包括對(duì)形式系統(tǒng)性質(zhì)的研究。 形式主義的提出是數(shù)學(xué)發(fā)展史上最重要的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，它標(biāo)志著元數(shù)學(xué)的建立。從此，數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)入研究形式系統(tǒng)的新階段。 這里我們要說(shuō)明一點(diǎn)：形式主義和邏輯主義一樣，都從公理系統(tǒng)出發(fā)，不同點(diǎn)是：邏輯主義者當(dāng)追到邏輯公理系統(tǒng)時(shí)，不再持有原來(lái)的對(duì)公理體系的觀點(diǎn)，而要求邏輯公理系統(tǒng)具有內(nèi)容，而且想方設(shè)法探求邏輯規(guī)律的真理性究竟體現(xiàn)在什么地方，形式主義者則不然，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)的公理系統(tǒng)或邏輯的公理系統(tǒng)，其中基本概念都是沒(méi)有意義的，其公理也只是一行行的符號(hào)，無(wú)所謂真假，只要能夠證明該公理系統(tǒng)是相容的，不互相矛盾的，該公理系統(tǒng)便得承認(rèn)，它便代表某一方面的真理。連邏輯公理系統(tǒng)也認(rèn)為是沒(méi)有內(nèi)容的，不能由內(nèi)容方面保證其真理性，于是便只留下“相容性”即“不自相矛盾性”作為真理所在了。 希爾伯特原來(lái)設(shè)想，數(shù)學(xué)的相容性證明可以限于有窮的構(gòu)造性方法范圍之內(nèi)。但是研究表現(xiàn)，這個(gè)范圍應(yīng)當(dāng)加以擴(kuò)充。哥德?tīng)柕牟煌陚湫远ɡ碚f(shuō)，“任何一個(gè)相容的數(shù)學(xué)形式化理論中，只要它強(qiáng)到足以在其中定義自然數(shù)的概念，就可以在其中構(gòu)造在體系中既不能證明也不能否證的命題。” “任何相容的形式體系不能用于證明它本身的相容性”。這個(gè)定理徹底粉碎了希爾伯特的形式主義理想。但是希爾伯特的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)思想?yún)s發(fā)展了元數(shù)學(xué)，這就把形式心理學(xué)向前推進(jìn)了一步，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展?，F(xiàn)在，元數(shù)學(xué)（證明論）已發(fā)展為數(shù)理邏輯的四大分支之一。 形式主義的代表人物有美國(guó)數(shù)學(xué)家魯濱遜和柯恩等人。他們認(rèn)為：數(shù)學(xué)應(yīng)該被看作一種純粹的紙上符號(hào)游戲，對(duì)這種形式的唯一要求是不會(huì)導(dǎo)致矛盾。但是，這種形式主義思想顯然與希爾伯特的主張是不同的。 三大數(shù)學(xué)流派之邏輯主義學(xué)派 羅素的集合悖論： 集合可以分為兩類：第一類集合的特征是，集合本身又是集合中的元素，例如當(dāng)時(shí)人們經(jīng)常說(shuō)的“所有集合所成的集合”；第二類集合的特征是，集合本身不是集合的元素，例如直線上點(diǎn)的集合。顯然，一個(gè)集合必須是并且只能是這兩類集合中的一類?，F(xiàn)在假定R是所有第二類集合所成的集合。那么，R是哪一類的集合呢? 羅素悖論一個(gè)通俗的說(shuō)法是理發(fā)師悖論： 在某個(gè)城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽(yù)滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對(duì)各位表示熱誠(chéng)歡迎!”來(lái)找他刮臉的人絡(luò)繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人?？墒牵幸惶?，這位理發(fā)師從鏡子里看見(jiàn)自己的胡子長(zhǎng)了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢?如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢?他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。 集合論中為什么會(huì)產(chǎn)生矛盾這個(gè)非常根本的問(wèn)題，涉及數(shù)學(xué)邏輯推理的可信性和數(shù)學(xué)命題的真理性問(wèn)題，屬于數(shù)學(xué)哲學(xué)的范疇。 從1900年到1930年的30年間，許多數(shù)學(xué)家卷入了一場(chǎng)關(guān)于數(shù)學(xué)哲學(xué)基礎(chǔ)的討論，并逐漸形成不同的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)派的爭(zhēng)論，主要有邏輯主義、形式主義和直覺(jué)主義三個(gè)學(xué)派。 邏輯主義的歷史淵源 邏輯主義的形成究其本原可以追溯到萊布尼茲時(shí)代，他把邏輯學(xué)想象成一種普遍的科學(xué)，這種科學(xué)包括構(gòu)成其它所有科學(xué)的基礎(chǔ)的一些原則，這種邏輯學(xué)先于一切科學(xué)的觀點(diǎn)，即是邏輯主義思想原則的萌芽。但他并未能開(kāi)展這一方面的工作。到了19 世紀(jì)，戴德金、弗雷格和皮亞諾等人繼承萊氏先志，逐步發(fā)揮，并且都取得了不小的成就。 邏輯主義的基本思想 邏輯主義的主要代表人物是英國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家和邏輯學(xué)家羅素，他與懷特海于1913年完成了邏輯主義的經(jīng)典代表作《數(shù)學(xué)原理》。作者企圖在這3卷本的數(shù)學(xué)巨著中向人們說(shuō)明：全部數(shù)學(xué)可以以一個(gè)邏輯公理系統(tǒng)嚴(yán)格推導(dǎo)出來(lái)，也就是說(shuō)可以從邏輯概念出發(fā)用明顯的定義得出數(shù)學(xué)概念；由邏輯命題開(kāi)始用純邏輯的演繹推得數(shù)學(xué)定理。從而，使全部數(shù)學(xué)都可以從基本的邏輯概念和邏輯規(guī)則而推導(dǎo)出來(lái)。這樣，就可以把數(shù)學(xué)看成是邏輯學(xué)延伸或分支。所以，羅素說(shuō)：“邏輯學(xué)是數(shù)學(xué)的青年時(shí)代，而數(shù)學(xué)是邏輯學(xué)的壯年時(shí)代。”“數(shù)學(xué)即邏輯” 羅素在他的《數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論》一書中進(jìn)一步的闡述了他的主張：“通過(guò)分析來(lái)達(dá)到越來(lái)越大的抽象性和邏輯簡(jiǎn)單性，要研究我們能否找到更為一般的思想原則，以這些思想和原則出發(fā)能使現(xiàn)在作為出發(fā)點(diǎn)的東西得以被定義和演繹出來(lái)”。那么是什么樣的思想原則呢?羅素接著說(shuō)：“應(yīng)當(dāng)以一些已被普遍承認(rèn)了的邏輯的前提出發(fā)，再經(jīng)過(guò)演繹而達(dá)到那些明顯的屬于數(shù)學(xué)的結(jié)果。”即把數(shù)學(xué)化歸于邏輯，這是他的基本觀點(diǎn)。 在《數(shù)學(xué)原理》中，羅素和懷特海曾通過(guò)純邏輯的途徑再加上集合論的選擇公理和無(wú)窮公理把當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)嚴(yán)格的推導(dǎo)了出來(lái)，獲得成功。故羅素宣稱：“從邏輯中展開(kāi)純數(shù)學(xué)的工作，已由懷特海和我在《數(shù)學(xué)原理》中詳細(xì)的做了出來(lái)。” 但是，事實(shí)并非如此，羅素從一個(gè)邏輯系統(tǒng)推導(dǎo)數(shù)學(xué)時(shí)使用了集合論的選擇公理和無(wú)窮公理，這是不可缺的，否則不能完成。不用無(wú)窮公理則自然數(shù)系統(tǒng)就無(wú)法構(gòu)造，更不要說(shuō)全部數(shù)學(xué)了。所以，羅素并沒(méi)有將數(shù)學(xué)化歸為邏輯，而是化歸為集合論。 要從邏輯推出全部數(shù)學(xué)，就必須發(fā)展集合論，而集合論是自相矛盾的，沒(méi)有相容性的，但是，在邏輯系統(tǒng)中是不允許有矛盾的，因此，必須排除悖論?？珊髞?lái)羅素與懷特海所做的工作并沒(méi)有很好的解決這個(gè)問(wèn)題，進(jìn)而遭遇了不少困難。 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)家一般都不接受“數(shù)學(xué)就是邏輯”的觀點(diǎn)；同樣也不能接受“一切數(shù)學(xué)思維都是邏輯思維”的說(shuō)法。但是，盡管如此。羅素與懷特海合著的《數(shù)學(xué)原理》一書在20世紀(jì)的科學(xué)技術(shù)發(fā)展中影響很大。它以當(dāng)時(shí)最嚴(yán)格的形式化的符號(hào)語(yǔ)言來(lái)陳述作者建立的邏輯體系、定義和定理，從而標(biāo)志符號(hào)邏輯方法的成功。并顯示了數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)研究的意義，因而進(jìn)一步的顯示了現(xiàn)代邏輯的科學(xué)意義。 《數(shù)學(xué)原理》一書成為名著。盡管邏輯主義的主張不能實(shí)現(xiàn)，邏輯主義的數(shù)學(xué)觀不能為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)者所廣泛接受，但此書在方法論上的意義是不可忽視的。他們相當(dāng)成功的把古典數(shù)學(xué)納入了一個(gè)統(tǒng)一的公理系統(tǒng)，使之能從幾個(gè)邏輯概念和公理出發(fā)，再加上集合論的無(wú)窮公理就能推出康托集合論、一般算術(shù)和大部分?jǐn)?shù)學(xué)來(lái)。這把邏輯推理發(fā)展到前所未有的高度，使人們看到，在數(shù)理邏輯演算的基礎(chǔ)上能夠推演出許多數(shù)學(xué)內(nèi)容來(lái)，形成了集合論公理系統(tǒng)的邏輯體系，這在邏輯史上是一件大事，對(duì)數(shù)理邏輯后來(lái)的發(fā)展起了決定作用，是近代公理方法的一個(gè)重要起點(diǎn)。
三大數(shù)學(xué)流派之直覺(jué)主義學(xué)派 直覺(jué)主義的歷史根源 直覺(jué)主義的思想可以追溯到亞里士多德時(shí)期，亞里士多德是歷史上第一位反對(duì)實(shí)無(wú)窮，只承認(rèn)潛無(wú)窮的哲學(xué)家。直覺(jué)主義的哲學(xué)觀點(diǎn)則是直接淵源于康德和布勞威爾的自然數(shù)源于“原始直覺(jué)”，即康德的“自然數(shù)是從時(shí)間的直覺(jué)推演出來(lái)”的主張。 19世紀(jì)的克羅內(nèi)克強(qiáng)調(diào)能行性，說(shuō)當(dāng)時(shí)好些定理都只是符號(hào)的游戲，沒(méi)有實(shí)際意義。他認(rèn)為：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，別的都是人造的。而整數(shù)在直觀上是清楚的，故可以接受，其他則是可疑。” 其意是說(shuō)，只有自然數(shù)是真實(shí)存在，其余都只是人為做出的一些文字符號(hào)罷了。他還主張?jiān)谧匀粩?shù)的基礎(chǔ)上來(lái)構(gòu)造整個(gè)數(shù)學(xué)。 20 世紀(jì)初，龐加萊亦持自然數(shù)為最基本的直觀及潛無(wú)窮的主張。其他如包瑞爾、勒貝格、魯金等半直覺(jué)主義或法國(guó)經(jīng)驗(yàn)主義亦強(qiáng)調(diào)能行性的觀念。 他們公開(kāi)否認(rèn)選擇公理，認(rèn)為根據(jù)選擇公理而作的集合，根本沒(méi)有能行性，不能承認(rèn)其存在。他們提出能行性的概念，沒(méi)有能行性的便不承認(rèn)其存在。他們都是直覺(jué)主義的先驅(qū)。所有這一切，都為布勞威爾的直覺(jué)主義提供了直接的前提，布勞威爾集其先驅(qū)們之大成，系統(tǒng)的提供了直覺(jué)主義的主張。 直覺(jué)主義的數(shù)學(xué)觀思想 直覺(jué)主義的奠基人和代表人物是荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾，從1907 年布勞威爾的博士論文《數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)》開(kāi)始，直覺(jué)主義者逐步系統(tǒng)的闡述了他們的數(shù)學(xué)觀和重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的主張。 他的數(shù)學(xué)觀包括以下幾個(gè)方面： (1) 他對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的觀點(diǎn)。 他提出一個(gè)著名的口號(hào)：“存在即是被構(gòu)造。”他認(rèn)為，人們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)不依賴于邏輯和語(yǔ)言經(jīng)驗(yàn)，而是“原始直覺(jué)”（即人皆有的一種能力），純粹數(shù)學(xué)是“心智的數(shù)學(xué)構(gòu)造自身”、是“反身的構(gòu)造”，它“開(kāi)始于自然數(shù)”，而不是集合論。這種數(shù)學(xué)構(gòu)造之成為構(gòu)造，與這種構(gòu)造物的性質(zhì)無(wú)關(guān)，與其本身是否獨(dú)立于人們的知識(shí)無(wú)關(guān)，與人們所持的哲學(xué)觀點(diǎn)也無(wú)關(guān)。構(gòu)造物應(yīng)該怎樣就怎樣，數(shù)學(xué)判斷應(yīng)該是永恒的真理。 因此，布勞威爾不承認(rèn)有客觀存在的、封閉的和已完成的實(shí)無(wú)窮體系。 實(shí)無(wú)窮論者認(rèn)為“ 自然數(shù)全體” 就是指自然數(shù)集{1，2，3，……} ，這是一個(gè)確實(shí)存在了的完成了的集合，可以而且應(yīng)該作為數(shù)學(xué)研究的對(duì)象。 潛無(wú)窮論者否認(rèn)實(shí)無(wú)窮，認(rèn)為無(wú)窮只是潛在的，并不是已完成了的封閉實(shí)體，只是就其發(fā)展來(lái)說(shuō)是無(wú)窮的。在他們看來(lái)，自然數(shù)1，2，3，……只能是永遠(yuǎn)處于不斷被構(gòu)造和生成的過(guò)程，而不是完成了的、封閉實(shí)體。 所以，諸如“自然數(shù)全體”這樣的概念是沒(méi)有意義的。 (2)對(duì)數(shù)學(xué)所用的邏輯的觀點(diǎn)。 布勞威爾對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的觀點(diǎn)直接導(dǎo)出了他對(duì)數(shù)學(xué)所用的邏輯觀點(diǎn)，認(rèn)為“邏輯不是發(fā)現(xiàn)真理的絕對(duì)可靠的工具”，并認(rèn)為，在真正的數(shù)學(xué)證明中不能使用排中律，因?yàn)榕胖新珊推渌?jīng)典邏輯規(guī)律是從有窮集抽象出來(lái)的規(guī)律，因此不能無(wú)限制的使用到無(wú)窮集上去，同樣不能使用反證法。 直覺(jué)主義對(duì)20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生很大的影響。本世紀(jì)30年代以后，由于哥德?tīng)柕墓ぷ鳎S多數(shù)學(xué)家開(kāi)始重視直覺(jué)主義。數(shù)學(xué)家們紛紛嘗試用構(gòu)造法建立實(shí)數(shù)理論、數(shù)學(xué)分析以至全部數(shù)學(xué)，得出不少重要結(jié)果。 構(gòu)造性數(shù)學(xué)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)科學(xué)中一個(gè)重要的數(shù)學(xué)學(xué)科群體，與計(jì)算機(jī)科學(xué)密切相關(guān)。1967年，美國(guó)數(shù)學(xué)家畢肖普完成并出版《構(gòu)造性分析》一書，開(kāi)始了直覺(jué)主義學(xué)派的構(gòu)造主義時(shí)期。 歷史證明，三大流派都有各自的優(yōu)點(diǎn)和缺陷，但是他們彌補(bǔ)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的很多不足，為數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性提供了更加精確的符號(hào)和語(yǔ)言。用G. H. Hardy的一句話來(lái)說(shuō)就是：“Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics.” 責(zé)任編輯：藍(lán)風(fēng) 本文來(lái)自馬博士教育網(wǎng)，轉(zhuǎn)載請(qǐng)標(biāo)明出處：http://ls./sx/sxgj/sxsh/sxzd_s_/51335.html |
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來(lái)自： 西窗聽(tīng)雨 > 《數(shù)學(xué)》
