微分幾何學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展是和數(shù)學(xué)分析密切相連的。在這方面第一個(gè)做出貢獻(xiàn)的是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉。1736年他首先引進(jìn)了平面曲線的內(nèi)在坐標(biāo)這一概念，即以曲線弧長(zhǎng)這一幾何量作為曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，從而開始了曲線的內(nèi)在幾何的研究。十八世紀(jì)初，法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日首先把微積分應(yīng)用到曲線和曲面的研究中去，并于1807年出版了它的《分析在幾何學(xué)上的應(yīng)用》一書，這是微分幾何最早的一本著作。在這些研究中，可以看到力學(xué)、物理學(xué)與工業(yè)的日益增長(zhǎng)的要求是促進(jìn)微分幾何發(fā)展的因素。1827年，高斯發(fā)表了《關(guān)于曲面的一般研究》的著作，這在微分幾何的歷史上有重大的意義，它的理論奠定了現(xiàn)代形式曲面論的基礎(chǔ)。微分幾何發(fā)展經(jīng)歷了150年之后，高斯抓住了微分幾何中最重要的概念和帶根本性的內(nèi)容，建立了曲面的內(nèi)在幾何學(xué)。其主要思想是強(qiáng)調(diào)了曲面上只依賴于第一基本形式的一些性質(zhì)，例如曲面上曲線的長(zhǎng)度、兩條曲線的夾角、曲面上的某一區(qū)域的面積、測(cè)地線、測(cè)地線曲率和總曲率等等。他的理論奠定了近代形式曲面論的基礎(chǔ)。

1872年克萊因在德國(guó)埃爾朗根大學(xué)作就職演講時(shí)，闡述了《埃爾朗根綱領(lǐng)》，用變換群對(duì)已有的幾何學(xué)進(jìn)行了分類。在《埃爾朗根綱領(lǐng)》發(fā)表后的半個(gè)世紀(jì)內(nèi)，它成了幾何學(xué)的指導(dǎo)原理，推動(dòng)了幾何學(xué)的發(fā)展，導(dǎo)致了射影微分幾何、仿射微分幾何、共形微分幾何的建立。特別是射影微分幾何起始于1878年阿爾方的學(xué)位論文，后來(lái)1906年起經(jīng)以威爾辛斯基為代表的美國(guó)學(xué)派所發(fā)展，1916年起又經(jīng)以富比尼為首的意大利學(xué)派所發(fā)展。隨后，由于黎曼幾何的發(fā)展和愛因斯坦廣義相對(duì)論的建立，微分幾何在黎曼幾何學(xué)和廣義相對(duì)論中的得到了廣泛的應(yīng)用，逐漸在數(shù)學(xué)中成為獨(dú)具特色、應(yīng)用廣泛的獨(dú)立學(xué)科。

微分幾何學(xué)以光滑曲線(曲面)作為研究對(duì)象，所以整個(gè)微分幾何學(xué)是由曲線的弧線長(zhǎng)、曲線上一點(diǎn)的切線等概念展開的。既然微分幾何是研究一般曲線和一般曲面的有關(guān)性質(zhì)，則平面曲線在一點(diǎn)的曲率和空間的曲線在一點(diǎn)的曲率等，就是微分幾何中重要的討論內(nèi)容，而要計(jì)算曲線或曲面上每一點(diǎn)的曲率就要用到微分的方法。

在曲面上有兩條重要概念，就是曲面上的距離和角。比如，在曲面上由一點(diǎn)到另一點(diǎn)的路徑是無(wú)數(shù)的，但這兩點(diǎn)間最短的路徑只有一條，叫做從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的測(cè)地線。在微分幾何里，要討論怎樣判定曲面上一條曲線是這個(gè)曲面的一條測(cè)地線，還要討論測(cè)地線的性質(zhì)等。另外，討論曲面在每一點(diǎn)的曲率也是微分幾何的重要內(nèi)容。在微分幾何中，為了討論任意曲線上每一點(diǎn)鄰域的性質(zhì)，常常用所謂“活動(dòng)標(biāo)形的方法”。對(duì)任意曲線的“小范圍”性質(zhì)的研究，還可以用拓?fù)渥儞Q把這條曲線“轉(zhuǎn)化”成初等曲線進(jìn)行研究。

在微分幾何中，由于運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論，就可以在無(wú)限小的范圍內(nèi)略去高階無(wú)窮小，一些復(fù)雜的依賴關(guān)系可以變成線性的，不均勻的過程也可以變成均勻的，這些都是微分幾何特有的研究方法。

近代由于對(duì)高維空間的微分幾何和對(duì)曲線、曲面整體性質(zhì)的研究，使微分幾何學(xué)同黎曼幾何、拓?fù)鋵W(xué)、變分學(xué)、李群代數(shù)等有了密切的關(guān)系，這些數(shù)學(xué)部門和微分幾何互相滲透，已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的中心問題之一。微分幾何在力學(xué)和一些工程技術(shù)問題方面有廣泛的應(yīng)用，比如，在彈性薄殼結(jié)構(gòu)方面，在機(jī)械的齒輪嚙合理論應(yīng)用方面，都充分應(yīng)用了微分幾何學(xué)的理論。微分幾何學(xué)的研究對(duì)數(shù)學(xué)其他分支以及力學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等的影響是不可估量的。如：偽球面上的幾何與非歐幾何有密切關(guān)系；測(cè)地線和力學(xué)、變分學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等有著深刻的聯(lián)系，是內(nèi)容豐富的研究課題。而由歐式幾何到微分幾何的歷史變遷還要從以下說(shuō)起。

幾何是geometry的音譯。其詞頭geo是“土地”的意思,詞尾metry是“測(cè)量學(xué)”的意思,合起來(lái)是“土地測(cè)量學(xué)”的意思。這反映了幾何學(xué)起源于實(shí)際問題。

古希臘的歐幾里得寫了一本書，中文譯名為“幾何原本”，內(nèi)容包含平面幾何學(xué)、空間幾何學(xué)和數(shù)論，總結(jié)了古希臘的很多數(shù)學(xué)知識(shí)，可能是從古至今影響最大的科學(xué)著作。中學(xué)課本中的平面幾何學(xué)內(nèi)容大都來(lái)源于《幾何原本》,從中可以學(xué)到古希臘人用以邏輯為基礎(chǔ)的理性思維進(jìn)行科學(xué)研究的方法。愛因斯坦認(rèn)為一個(gè)人如果在年輕時(shí)對(duì)平面幾何從沒產(chǎn)生過興趣的話，恐怕很難在科學(xué)上做出重要發(fā)現(xiàn)。

幾何學(xué)的下一個(gè)進(jìn)展由哲學(xué)家笛卡爾取得，據(jù)說(shuō)他身體不好，經(jīng)常需要臥床休息，有一次看到在墻角織網(wǎng)的蜘蛛，受啟發(fā)引進(jìn)了坐標(biāo)的概念。由此產(chǎn)生了解析幾何學(xué)，使得代數(shù)方法可以在幾何問題中應(yīng)用。例如，圓周、橢圓、雙曲線、拋物線等古希臘人就開始研究的幾何對(duì)象有很簡(jiǎn)單的代數(shù)描述。

解析幾何學(xué)促進(jìn)了微積分的誕生。由牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立的這門學(xué)問在現(xiàn)代科學(xué)中的重要性是不用贅述的。將微積分應(yīng)用于幾何問題的研究就是所謂微分幾何。最初研究的是三維空間中的曲線、曲面。高斯于1827年寫的那本50頁(yè)左右的小書，研究曲面的微分幾何，包括大學(xué)學(xué)的微分幾何的主要內(nèi)容。這本書標(biāo)志著微分幾何學(xué)的誕生。高斯當(dāng)時(shí)主持一項(xiàng)土地測(cè)量的項(xiàng)目，他寫這本書是為了給這項(xiàng)工作提供一個(gè)理論基礎(chǔ)。

同高斯一樣，黎曼工作的主要領(lǐng)域也不是幾何學(xué)，而是單復(fù)變函數(shù)，但他是現(xiàn)代微分幾何與解析數(shù)論的創(chuàng)始人。在他為取得大學(xué)教授資格的公開講演中，黎曼提出了微分幾何學(xué)發(fā)展的新思想，其中包括流形、Riemann度量、Riemann曲率等重要概念。簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是用局部坐標(biāo)和坐標(biāo)變換來(lái)描述一個(gè)空間，用Riemann度量做最基本的幾何量，空間的幾何性質(zhì)如彎曲程度由度量用特定方式?jīng)Q定。

在我國(guó)，陳省身先生是20世紀(jì)重要的微分幾何學(xué)家，被譽(yù)為“微分幾何之父”。陳省身先生二十世紀(jì)三十年代在清華大學(xué)數(shù)學(xué)系讀碩士，抗日戰(zhàn)爭(zhēng)中在西南聯(lián)大任教授,后回南開大學(xué)。陳省身先生的工作建立了流形的局部幾何性質(zhì)與整體的拓?fù)湫再|(zhì)的關(guān)系。他引進(jìn)的陳示性類是幾何學(xué)發(fā)展的一個(gè)里程碑，以后的重要進(jìn)展無(wú)不建立在其基礎(chǔ)上，例如高維Riemann-Roch定理、指標(biāo)理論等等。陳先生1984年度的Wolf獎(jiǎng)的證書上寫到：“他在整體微分幾何上的卓越成就，其影響遍及整個(gè)數(shù)學(xué)?！?/span>