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蒙日 北京師范大學(xué) 趙擎寰 蒙日，G．(Monge，Gaspard)1746年5月10日生于法國博恩；1818年7月28日卒于巴黎．幾何學(xué)、數(shù)學(xué)分析、化學(xué)、物理學(xué)、機(jī)械制造、科學(xué)技術(shù)教育． aune)的一戶窮苦人家，祖父務(wù)農(nóng)，父親為小販和磨刀人．蒙日弟兄三人，他是長子． 蒙日先在家鄉(xiāng)一所天主教所設(shè)的學(xué)堂學(xué)習(xí)，后轉(zhuǎn)學(xué)里昂，18歲畢業(yè)，留校教物理課．這年夏天回家，他自制測繪工具，畫了一幅大比例的博恩平面圖，得到一位工程兵軍官的賞識，推薦他去梅濟(jì)耶爾皇家工程學(xué)校學(xué)習(xí)．此校培養(yǎng)設(shè)計(jì)軍事工程的軍官，因?yàn)樗皇琴F族子弟，只能接納他做一名繪圖員兼技工，繪制防御區(qū)的平面圖，制作建筑的模型．這使他失望，但沒有自餒，他勤學(xué)苦練，并聽些允許聽的課，他的繪圖能力進(jìn)步很快．不到一年，他請求參加一項(xiàng)防御工事掩蔽體的設(shè)計(jì)，他不用當(dāng)時(shí)慣用的計(jì)算法，而采取圖解法，迅速地完成了任務(wù)．經(jīng)過審核，確認(rèn)他的方法嚴(yán)密，結(jié)果正確．這是他邁向畫法幾何學(xué)的第一步，第二年他就擔(dān)任了數(shù)學(xué)課的輔導(dǎo)教師．1769年，23歲的蒙日以普通教師的身份，接替數(shù)學(xué)教授C．博敘(Bossut)任教，但對于設(shè)計(jì)制圖方法，限制他只準(zhǔn)在課堂內(nèi)講述，對外保密．同年，他的第一篇關(guān)于微分幾何學(xué)的論文寫成(1771年在科學(xué)院宣讀)．1770年他兼教該校的另一基礎(chǔ)課——物理實(shí)驗(yàn)．1772年，被巴黎科學(xué)院選為通訊研究員．1775年，皇家工程學(xué)校正式授予他“皇家數(shù)學(xué)和物理學(xué)教授”學(xué)銜．1776年，他在科學(xué)院與 A．T．范德蒙得(Van dermonde)、A．L．拉瓦錫(Lavoisier)等作了多種物理化學(xué)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證當(dāng)時(shí)新的理化知識．1777年他和C．于阿爾(Huart)結(jié)婚(后生三女)．因管理妻子的鍛造廠而對鍛冶發(fā)生興趣，又由于化學(xué)工作的需要，他在學(xué)校逐步建起一座化學(xué)實(shí)驗(yàn)室．略后于拉瓦錫，他以簡陋的設(shè)備使氫和氧合成水，并首次液化空氣、二氧化硫(硫酐)成功．1780年，蒙日當(dāng)選為科學(xué)院的幾何學(xué)副研究員，并被任命為巴黎盧弗爾(Louvre)流體動(dòng)力學(xué)講座的教授，于是他移居巴黎．皇家工程學(xué)校的課程由旁人接替，他只領(lǐng)導(dǎo)化學(xué)研究．1783年他被任命為法國海軍學(xué)員的主考官．次年，完全離開了皇家工程學(xué)校．蒙日在此校的18年間，由一名中等文化程度的青年，通過勤奮自學(xué)，成為一位既有科學(xué)理論，又有理化實(shí)驗(yàn)技術(shù)和設(shè)計(jì)制圖本領(lǐng)的科學(xué)家． 海軍學(xué)員的主考官，負(fù)有指導(dǎo)海軍學(xué)校業(yè)務(wù)的責(zé)任，這些學(xué)校是當(dāng)時(shí)法國進(jìn)行科學(xué)教育的學(xué)府．蒙日視察了每一個(gè)港口，調(diào)查了鐵礦場、鑄造廠和制造廠，了解到許多鍛冶和加工技術(shù)問題．1786年在海軍學(xué)校開展的教學(xué)改革，為他在大革命時(shí)期的科學(xué)技術(shù)教育革新措施，提供了經(jīng)驗(yàn)． 1786年，他與C．貝特萊(Berthollet)、范德蒙得合作寫出論文“論不同金屬狀態(tài)下的鐵”(Mèmoire sur le fer considéré dan-sses différents états métalliques，1786)．為海軍學(xué)員所編的《靜力學(xué)基礎(chǔ)教程》于1788年出版．此書包括了力偶理論、任意二正交力系等，是19世紀(jì)法國的名著．1846年由蒙日的學(xué)生著名數(shù)學(xué)家A．柯西(Cauchy)補(bǔ)注出版［3］． 法國大革命開始，蒙日是科學(xué)院的積極參加者，1790年加入了雅各賓俱樂部．當(dāng)時(shí)他在科學(xué)院制定、推行公制計(jì)量單位委員會(huì)工作．1792年共和國成立，蒙日擔(dān)任海軍部長．他以過于溫和而遭到反對，任職八個(gè)月后辭職，回到科學(xué)院繼續(xù)研究計(jì)量單位問題，并參加科學(xué)普及委員會(huì)、保護(hù)藝術(shù)品和文物的委員會(huì)．由所著《畫法幾何學(xué)》(Géométrie descriptive)對雕刻、色彩的論述，及參加保護(hù)藝術(shù)品和文物工作，可看出他有對藝術(shù)品的鑒賞能力．1793年9月為抵御外侮，蒙日參加了軍械委員會(huì)，與貝特萊等寫了關(guān)于鍛造與表面硬化鋼方面的論文(見他們“就制鋼問題致煉鐵工人書”(Avis aux ouvriers en fer sur la fabrication de lácier，1793))，為軍械廠制訂操作規(guī)程，編寫大炮技術(shù)文件．他還研究了硝的萃取和提純及軍用氣球的制造，對于法國短期內(nèi)解決軍火生產(chǎn)技術(shù)，起了很大作用．他同時(shí)關(guān)心改革科學(xué)技術(shù)教育問題，提出建立學(xué)校培養(yǎng)技工和工程師的建議和方案．1794年他被委派組織委員會(huì)籌建中央公共工程學(xué)校，即后來成立的綜合工科學(xué)校(為法國著名的理工大學(xué))．此校體現(xiàn)了蒙日的科學(xué)技術(shù)教育思想，使理論科學(xué)與技術(shù)科學(xué)相結(jié)合，成為以后各國理工科大學(xué)的模式．蒙日在校任教多年并任校長，培養(yǎng)出大批人才，其中許多是世界知名的學(xué)者． 蒙日建議成立學(xué)校培養(yǎng)中等學(xué)校師資．1795年元月世界第一所高等師范學(xué)校開學(xué)(現(xiàn)名巴黎高等師范學(xué)校)，蒙日講授畫法幾何學(xué)(géométrie descriptive，由蒙日命名)，并輔導(dǎo)作業(yè)．學(xué)生1200多名，來自全國各地．助教為著名的科學(xué)家J．傅里葉(Fourier)和S．F．拉克魯瓦(Lacroix)．講授內(nèi)容的速記稿隨后在該校?？l(fā)表，但對外保密．6月，綜合工科學(xué)校成立，蒙日任教畫法幾何學(xué)和數(shù)學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)講授內(nèi)容，當(dāng)時(shí)以未裝訂的活頁散發(fā)，正式出版時(shí)，書名為《分析應(yīng)用于幾何論稿》(Feui-lles d'analyse appliqée à la géométrie，1801)． 1795年12月蒙日參加了籌建法蘭西研究院的工作，研究院成立，他成為研究員．1797年被任命為綜合工科學(xué)?？偙O(jiān)(校長)． 1798年7月蒙日隨拿破侖(Napoleon)去埃及，曾籌建埃及研究院并任院長．在埃及對沙漠中所見“海市蜃樓”現(xiàn)象，作出解釋．同年，《畫法幾何學(xué)》的保密令經(jīng)他的學(xué)生們的吁請而取消，在研究院公開出版．1799年10月他回國繼續(xù)任綜合工科學(xué)?？偙O(jiān)． 拿破侖霧月政變，任命蒙日為元老院終身議員，后任議長．1800年，蒙日創(chuàng)辦國家工業(yè)獎(jiǎng)勵(lì)會(huì)．同年，拿破侖提議設(shè)立榮譽(yù)勛位團(tuán)，以高級勛位與勛章授予蒙日等科學(xué)家． 1804年拿破侖稱帝，學(xué)生不往祝賀，拿破侖震怒，蒙日為學(xué)生緩頰而得到寬?。闷苼鲆髮W(xué)校實(shí)行軍事組織，遭到蒙日的抵制． 1808年蒙日被封為佩呂斯伯爵(佩呂斯(Péluse)為埃及古文化遺址地名)．1809年，他因關(guān)節(jié)炎癥，課程由他的學(xué)生、著名科學(xué)家F．阿拉貢(Arago)接替．拿破侖失敗，波旁王朝復(fù)辟，革除了蒙日的職務(wù)．1818年蒙日病歿．學(xué)生和校友不顧阻止往墓地獻(xiàn)了花圈，并捐款建立墓碑．1846年蒙日誕辰100周年，法蘭西研究院舉行紀(jì)念會(huì)，建立塑像；200周年(1946)時(shí)，蘇聯(lián)科學(xué)院舉行紀(jì)念活動(dòng)，出版《畫法幾何學(xué)》俄譯本和紀(jì)念文集；240周年(1986)時(shí)，中國工程圖學(xué)學(xué)會(huì)譯《蒙日畫法幾何學(xué)》出版，邀法國科學(xué)史學(xué)會(huì)會(huì)長參加舉行紀(jì)念會(huì)，出版紀(jì)念論文專輯． 蒙日在1794年籌建中央公共工程學(xué)校時(shí)，把畫法幾何學(xué)列為“革命科目”．它的意義可從《畫法幾何學(xué)》公開出版時(shí)蒙日所寫緒言(或“綱領(lǐng)”(Programme))中看出：是為使法國擺脫長期對外國工業(yè)的依賴，普及工業(yè)進(jìn)步不可缺少的知識，利用機(jī)器減輕手工勞動(dòng)，提高產(chǎn)品的精確度．他還認(rèn)為畫法幾何的學(xué)習(xí)，適合于鍛煉人的聰明才智．他希望本學(xué)科的知識能夠普及到國民教育中去，它不僅為設(shè)計(jì)、施工的人所需要，而且為參與制作機(jī)器零部件的技師以及使物體具備一定形伏的所有工人必不可少．熟悉畫法幾何學(xué)知識，可以“使自然力在人們的各種活動(dòng)中發(fā)揮作用”． 蒙日《畫法幾何學(xué)》起初的版本，包括五個(gè)部分，即畫法幾何學(xué)的目的、方法及基本問題，曲面的切平面和法線，曲面的交線，曲面相貫線作圖方法在解題中的應(yīng)用，雙曲率曲線的曲率和曲面的曲率．最后一部分是結(jié)合微分幾何學(xué)基本知識論述的．1811年第三版由他的學(xué)生J．N．P．阿歇特(Hachette)作了注釋．1820年第四版由B．布里松(Brisson)根據(jù)蒙日的手稿整理增入陰影理論和透視理論兩個(gè)部分．畫法幾何學(xué)公開后不脛而走，傳入各國，起初是軍工學(xué)校，以后普通理工院校相繼開設(shè)這一科目(如布拉格1801年，意大利1804年，俄國1809年，維也納1815年，美國1816年，德國1830年)．他們先用法文原本為教材，后用譯木和自編的教材．畫法幾何學(xué)的推廣應(yīng)用，對各國工業(yè)的發(fā)展作用很大．由于各國學(xué)者的研究，畫法幾何學(xué)在深度廣度上都有所發(fā)展，但有的在蒙日書中已有萌芽．1813年，德國數(shù)學(xué)家C．F．高斯(Causs)看到此書，認(rèn)為它簡明扼要，課題由易而難，內(nèi)容新穎并有發(fā)展，體現(xiàn)了“真正的幾何精神”，是“智慧的滋補(bǔ)品”．建議德國科學(xué)家也學(xué)習(xí)此書，彌補(bǔ)過于偏重解析法、忽視幾何直覺想象的流弊，提高感覺的嚴(yán)密性和清晰性． 蒙日《畫法幾何學(xué)》的圖法，主要是用二正交投影面定位的正投影法，有人稱為“蒙日法”。但這種圖法并非蒙日首創(chuàng)．歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的1525年，德國的A．迪勒(Dürer)已應(yīng)用互相垂直的三畫面畫過人腳、人頭的正投影圖和剖面圖．17世紀(jì)末，意大利人A．波茨措(Pozzo)所著《透視圖與建筑》(Prospective depettorie akchitti，Vol．Ⅰ，1692；Vol．Ⅱ，1697)中介紹了先畫物體的二正投影圖，然后根據(jù)正投影圖畫透視圖的方法．此書不久傳入中國，1729年由我國畫家年希堯節(jié)譯編成《視學(xué)》一書，這種圖法在蒙日誕生前已為我國人所知．蒙日在論述畫法幾何學(xué)的目的時(shí)，也明確指出，這種圖法是“長期實(shí)際經(jīng)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的方法步驟”．至于他不用互相垂直的三投影面，是因“在畫法幾何學(xué)中，很久以來，大多數(shù)人以及珍惜時(shí)間的人，都使用更加簡便的方法步驟，只用兩個(gè)平面上的投影取代三個(gè)平面．”他還說明：在方便時(shí)也可用不垂直的二投影面，不過習(xí)慣上是假定一為水平一為垂直而已． 在資本主義初期西方國家的圖樣遺存中，可看到許多用兩個(gè)、三個(gè)畫面分別由各方面觀察物體畫出視圖，綜合起來表達(dá)物體形狀的圖樣．可知長期以來，有些人已掌握了這方面的一些知識．不過應(yīng)當(dāng)看到，這些知識不是系統(tǒng)的，而是零散的．蒙日的最大貢獻(xiàn)，在于用“投影”(或“射影”)的觀點(diǎn)對這些知識進(jìn)行了幾何的分析，從中找到規(guī)律，形成體系，使經(jīng)驗(yàn)上升為理論；同時(shí)使作圖方法也形成了體系．利用這種體系，不僅圖形精確了，難畫的容易畫出了，而且可“由已知通向未知”，尋求“真相”，即可用來圖解空間幾何性質(zhì)問題．現(xiàn)在則不僅用來幫助人們“圖示”、“圖解”，而且發(fā)展到輔助人們“設(shè)計(jì)”需要的形體．蒙日把這種體系視為“語言”．現(xiàn)今計(jì)算機(jī)時(shí)代，這種“語言”仍在積極地發(fā)揮著作用． 蒙日慣用實(shí)例說明方法．《畫法幾何學(xué)》中的實(shí)例都是他在長期教學(xué)和科研中積累的，有的至今仍有生命力，為人們所采用．書中包括了他在近世綜合(純正)幾何學(xué)上新發(fā)現(xiàn)的定理的論證，如人們稱為“蒙日定理”的三球公切平面定理(球心不共線的三球，公切平面過三外相似心，或過二內(nèi)相似心和一外相似心)．也包括運(yùn)用他對于空間曲線、曲面形成的理論(與解析幾何、微分幾何一致)的作圖方法．顯著的是用他定義的跡線表示“面”(平面、曲面)，研究截交線、相貫線、表面展開及表面上截交線的展開等的作圖．他把畫法幾何作圖與代數(shù)運(yùn)算相比較，指出：“畫法幾何學(xué)的任何作圖法，解析法都能表達(dá)”，“每一解析運(yùn)算，在畫法幾何學(xué)中都可看作是一個(gè)畫法步驟．”他建議：“最好同時(shí)學(xué)習(xí)兩種科學(xué)，把畫法幾何學(xué)的直觀性引進(jìn)復(fù)雜的解析運(yùn)算中，同時(shí)把解析法的普遍性引進(jìn)畫法幾何學(xué)中．”阿歇特在注釋中，介紹了蒙日關(guān)于求作三元一次方程組所表示的三相交平面交點(diǎn)的解析運(yùn)算法同圖解法相互對照．由此可以看出當(dāng)年蒙日是怎樣運(yùn)用他的幾何觀點(diǎn)研究同一問題的畫法幾何圖解和解析幾何運(yùn)算的． 畫法幾何學(xué)出現(xiàn)于18世紀(jì)末，固然是由于生產(chǎn)發(fā)展的需要(如軍事工程、機(jī)械制造)，同時(shí)也是由于數(shù)學(xué)(特別是幾何)的發(fā)展具備了可能的條件．沒有G．德扎爾格(Desargues)、R．笛卡兒(Descartes)、P．費(fèi)馬(Fermat)、A．克萊羅(Clairaut)等前人的業(yè)績和啟發(fā)，蒙日就不會(huì)有在解析幾何、微分幾何、偏微分方程等分支上的新成就，也不可能創(chuàng)立這門對科學(xué)和技術(shù)有深遠(yuǎn)影響的畫法幾何學(xué)，蒙日用“descriptive”命名本學(xué)科，也有深長的用意，在當(dāng)時(shí)是得到J．L．拉格朗日(Lagrange)、P．S．拉普拉斯(Laplace)、博敘等人承認(rèn)的．我國清末初譯稱“圖法幾何學(xué)”，后經(jīng)著名科學(xué)家薩本棟和教育家蔡元培于1920年譯稱“畫法幾何學(xué)”，學(xué)科名稱從此確定．現(xiàn)在新出現(xiàn)的四維、多維畫法幾何、非線性投射畫法幾何、畫法微分幾何、計(jì)算機(jī)畫法幾何等，使蒙日的幾何思想得到新的發(fā)展，在理論上則與射影幾何學(xué)的結(jié)合越加密切． 蒙日對于空間解析幾何學(xué)也有重大貢獻(xiàn)，寫過多篇論文．主要成就載于他和他的學(xué)生阿歇特合寫的《代數(shù)在幾何中的應(yīng)用》(Application d’algèbreà la géometrie)一書．此書于1805年正式出版．笛卡兒在解析幾何學(xué)上主要論述的是平面曲線，關(guān)于空間曲線，只設(shè)想過利用曲線上的點(diǎn)在二正交平面上的垂足形成的曲線研究空間曲線；克萊羅關(guān)于雙曲率曲線的研究，指出描述一條空間曲線需用兩個(gè)曲面方程．他給出了一些曲面的方程，利用垂直于投影面的柱面方程，確定空間曲線的投影方程．蒙日發(fā)展了這些思想，研究出空間曲線圖形的描繪方法．他證明：二次曲面的截交線是二次曲線，截平面平行則截交線是相似的二次曲線；單葉雙曲面和雙曲拋物面是直紋面，即由二直線族構(gòu)成．這些突出的貢獻(xiàn)，使數(shù)學(xué)史家認(rèn)為他和拉格朗日、L．歐拉(Euler)是使空間解析幾何學(xué)真正發(fā)展的推動(dòng)者，也由于他們的努力使解析幾何學(xué)成為獨(dú)立且富有活力的幾何學(xué)分支． 在1639年同一年內(nèi)，射影幾何學(xué)出現(xiàn)了兩大定理：德扎爾格定理和 B．帕斯卡(Pascal)定理．不過當(dāng)時(shí)人們熱衷于解析幾何學(xué)方面的研究，對射影幾何學(xué)沒有重視．蒙日講授的畫法幾何學(xué)內(nèi)容包涵著射影幾何學(xué)的因素，如透視的中心投影、陰影的平行投影，而且探討綜合幾何新問題．從他的數(shù)學(xué)課內(nèi)容和科研課題可以看出他的希望是幾何法能與解析法相輔相成．在他的鼓勵(lì)和影響下，他的學(xué)生中涌現(xiàn)了一批使射影幾何學(xué)得以復(fù)興的學(xué)人，他們的成就一直影響到現(xiàn)在．其中有軍事工程學(xué)校的 L．N．M．卡諾(Carnot，物理學(xué)家 S．卡諾(Carnot)之父)，綜合工科學(xué)校的 J．V．彭賽列(Poncelet)、C． J．布里昂雄(Brianchon)、C．迪潘(Dupin)、M．夏斯萊(Chasles)等人． 蒙日和他的學(xué)生對微分幾何學(xué)、微分方程作了大量的研究工作．蒙日的一篇論文是“關(guān)于雙曲率曲線的漸屈線表面、曲率半徑和不同形式的回折”(Sur les surfaces développées，les rayons de courbure et les différents genres d’inflexions des courbes à double courbure，1785)．以后他把相繼發(fā)表的論文系統(tǒng)地加以擴(kuò)充，增加新成果，用活頁印發(fā)給學(xué)生，正式出版時(shí)稱為《分析應(yīng)用于幾何論稿》．1807年又加入代數(shù)在幾何中的應(yīng)用的內(nèi)容，重新整理，后來成為另一巨著《分析法在幾何中的應(yīng)用》(Application de l'analyse à la géométrie，1805)．這是微分幾何學(xué)的第一本教材．全書27章，附錄有關(guān)于三變量一階偏微分方程的積分方程的論述．此書連續(xù)使用40多年．至1850年由他的學(xué)生M．劉維爾(Liouville)校訂并加注釋，印出第五版．他在微分幾何學(xué)上接受了克萊羅、歐拉等人關(guān)于三維微分幾何的一些理論，同時(shí)用幾何和分析加以研究，并將曲線曲面的各種性質(zhì)用微分方程表示．一族具有共同性質(zhì)的曲面，應(yīng)滿足一個(gè)偏微分方程．關(guān)于可展曲面的研究，給出了求任何單參數(shù)平面族的包絡(luò)的法則，此法則也適用于單參數(shù)曲面族．他得出可展曲面的“脊線”的方程．空間曲線的配極可展曲面，其脊線就是曲線曲率中心的軌跡．蒙日在一篇論曲面類型的論文中論述了可展曲面是直紋面(反之不真)，他列出可展曲面的方程和滿足的偏微分方程，然后證明可展曲面是一種特殊的直紋面．蒙日關(guān)于滿足非線性和線性的一階、二階以至三階偏微分方程的曲面族的研究，對偏微分方程有重要的意義．他應(yīng)用特征理論給出參數(shù)變值法的幾何解釋，從而導(dǎo)出諸如特征曲線、積分曲線、特征錐等的概念．人們稱“特征錐”為“蒙日錐”．把關(guān)于極小曲面方程積分法中的非線性方程，稱為“蒙日方程”． 蒙日受人尊敬，還在于他培養(yǎng)了一批優(yōu)秀的學(xué)生，如 J．B．梅斯尼埃(Meusnier)、E．L．馬勒斯(Molus)、M．A．朗克雷(Lancret)、G．拉梅(Lamé)、S．D．泊松(Poisson)、迪潘、劉維爾、傅里葉、拉克魯瓦、柯西等人．人稱他們?yōu)槊扇諏W(xué)派． 在其他領(lǐng)域的著名科學(xué)家如 A．M．安培(Ampère)、S．卡諾(Carnot)、J．L．蓋-呂薩克(Gay-Lussac)等，也都受過蒙日畫法幾何學(xué)和微分幾何學(xué)的薰陶． 由本文提到的蒙日的學(xué)生們的響亮姓名，聯(lián)想他們在科學(xué)技術(shù)上的成就，就可看出蒙日在科學(xué)技術(shù)教育改革上的貢獻(xiàn)．他不僅是一位在多方面有創(chuàng)造貢獻(xiàn)的科學(xué)家、工程師，而且是一位教育家． |
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