幽靈無(wú)窮?。旱诙螖?shù)學(xué)危機(jī)

“對(duì)于數(shù)學(xué)，嚴(yán)格性不是一切，但是沒(méi)有了嚴(yán)格性就沒(méi)有了一切?！迸ｎD一生好斗，幾乎從未輸過(guò)，但他未曾料到，在他逝世后竟有人乘機(jī)揪起了他的“嚴(yán)格性”小辮子。

1734年，英國(guó)大主教貝克萊寫(xiě)了一本書(shū),對(duì)當(dāng)時(shí)的微積分一連發(fā)出67問(wèn)，直搗微積分的基礎(chǔ)，攻擊的對(duì)象正是無(wú)窮小量在解釋上所帶來(lái)的致命“嚴(yán)格性”缺陷。

在古典世界里，牛頓他們賦予了導(dǎo)數(shù)和微分一種直觀通俗的意義，導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)微小變量的比值：dx/dy，dy和dx都是無(wú)窮小量。例如，在求函數(shù)y=x2的導(dǎo)數(shù)時(shí),計(jì)算如下：

虔誠(chéng)的基督徒貝克萊毫不客氣地諷刺牛頓在處理無(wú)窮小量時(shí)簡(jiǎn)直是睜著眼睛說(shuō)瞎話(huà)，第一步，把無(wú)窮小量dx當(dāng)作分母進(jìn)行除法(分母不能為0)，并將分母dx約分；第二步,又把無(wú)窮小量dx看作0，以去掉那些包含它的項(xiàng)，+dx中的dx被直接忽略了。所以，無(wú)窮小量究竟是不是0？

一會(huì)兒為0，一會(huì)兒又不能為0，這不是前后矛盾嗎？不僅如此，在當(dāng)時(shí)的人看來(lái)，無(wú)窮小量比任何大于0的數(shù)都小，卻不是0，這不是違背了阿基米德公理嗎？

阿基米德公理又稱(chēng)為阿基米德性質(zhì)，也稱(chēng)實(shí)數(shù)公理，是一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)性質(zhì)的基本原理。如果阿基米德公理是錯(cuò)的，那么整個(gè)數(shù)學(xué)界大概都無(wú)法建立。其定義為:對(duì)任一正數(shù)ε,有自然數(shù)n滿(mǎn)足1/n<ε。而無(wú)窮小量的解釋似乎是在闡述“不存在自然數(shù)n滿(mǎn)足1/n<ε”。

這樣一個(gè)被人詬病的無(wú)窮小量，真的能支撐起微積分這項(xiàng)偉大的成果嗎？這個(gè)矛盾，史稱(chēng)貝克萊悖論，當(dāng)時(shí)不少學(xué)者其實(shí)也認(rèn)識(shí)到了無(wú)窮小量帶來(lái)的麻煩。但是，這樣一個(gè)悖論，不僅牛頓解釋不清，萊布尼茨解釋不清，整個(gè)數(shù)學(xué)界也沒(méi)人能解釋得清。

這樣一個(gè)人為的概念，使數(shù)學(xué)的基本對(duì)象—實(shí)數(shù)結(jié)構(gòu)變得混亂，數(shù)學(xué)界和哲學(xué)界甚至為此引發(fā)了長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭(zhēng)論，它造成了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

現(xiàn)代理論的特點(diǎn)之一就是“敘述邏輯清晰,概念內(nèi)涵明確，不能有含糊，”而微積分的誕生并不是嚴(yán)格按照“邏輯線路”線性發(fā)展而是通過(guò)實(shí)際應(yīng)用歸納推理產(chǎn)生的，這就很難經(jīng)得起演繹推理的邏輯推敲。所以，在牛頓和萊布尼茨之后，數(shù)學(xué)家們?yōu)榇俗龀隽藷o(wú)數(shù)努力，最終由柯西和魏爾斯特拉斯等人解決了這個(gè)問(wèn)題。

解決辦法就是，拋卻微分的古典意義，基于極限的概念，重新建立了微積分。

19世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西確立了以極限理論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析體系，用現(xiàn)代極限理論說(shuō)明了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)，他將導(dǎo)數(shù)明確定義為一個(gè)極限表達(dá)式。

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)f的某鄰域內(nèi)有定義，令x=x+△x，△y=f(x+△x)-f(x)。若極限 lim y=limf(x0+△x)-f(x)=f(x)存在

且有限,則稱(chēng)函數(shù)y=(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，并稱(chēng)該極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x)；否則，則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處不可導(dǎo)。

極限的概念使數(shù)學(xué)家們對(duì)無(wú)窮小量的爭(zhēng)議逐漸偃旗息鼓。直觀通俗的古典微分定義也被重新詮釋?zhuān)辉倬窒抻谖⑿∽兞浚跇O限助攻下成了一個(gè)線性函數(shù)，用來(lái)表達(dá)函數(shù)的變化意義。

不過(guò)也有人抨擊極限lim的模棱兩可，但當(dāng)“現(xiàn)代分析學(xué)之父”魏爾斯特拉斯用ε-δ語(yǔ)言一舉克服了“l(fā)imit困難”后，那些質(zhì)疑的聲音也都不再具有任何威懾力。

魏爾斯特拉斯為極限量身打造了一套精確完美的定義。

設(shè)函數(shù)f(x)在x的某個(gè)“去心鄰域”內(nèi)有定義,則任意給定一個(gè)ε>0，存在一個(gè)δ>0，使得當(dāng)0<|x-xo|<δ時(shí),不等式|f(x)-A|<ε都成立，則稱(chēng)A是函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于x時(shí)的極限，記成

lim f(x)= A

至此，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)圓滿(mǎn)度過(guò)。

那個(gè)一心想推翻整個(gè)微積分理論的頑固主教貝克萊，無(wú)論如何也想不到自己最終卻促進(jìn)了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，微積分也由此穩(wěn)坐數(shù)學(xué)界的“霸主”地位。