教學目標：了解第二次數學危機及其發(fā)生與解決。體會數學的發(fā)展不是一帆風順的，同時，數學的發(fā)展也要經歷從不完善到完善的過程。

教學過程　

一、導入

經歷了第一次數學危機，數學就一帆風順地發(fā)展下來了嗎？不是的。　　　

二、第二次數學危機

1、芝諾悖論引發(fā)微積分的產生　　　　　

十七、十八世紀關于微積分發(fā)生的激烈的爭論，被稱為第二次數學危機。從歷史或邏輯的觀點來看，它的發(fā)生也帶有必然性。

這次危機的萌芽出現在大約公元前450年，芝諾注意到由于對無限性的理解問題而產生的矛盾，提出了關于時空的有限與無限的四個悖論：

“兩分法”：向著一個目的地運動的物體，首先必須經過路程的中點，然而要經過這點，又必須先經過路程的1/4點……，如此類推以至無窮?！Y論是：無窮是不可窮盡的過程，運動是不可能的。

“阿基里斯(《荷馬史詩》中的善跑的英雄)追不上烏龜”：阿基里斯總是首先必須到達烏龜的出發(fā)點，因而烏龜必定總是跑在前頭。這個論點同兩分法悖論一樣，所不同的是不必把所需通過的路程一再平分。

“飛矢不動”：意思是箭在運動過程中的任一瞬時間必在一確定位置上，因而是靜止的，所以箭就不能處于運動狀態(tài)。

“操場或游行隊伍”：A、B兩件物體以等速向相反方向運動。從靜止的C來看，比如說A、B都在1小時內移動了2公里，可是從A看來，則B在1小時內就移動了4公里。運動是矛盾的，所以運動是不可能的。

芝諾揭示的矛盾是深刻而復雜的。前兩個悖論詰難了關于時間和空間無限可分，因而運動是連續(xù)的觀點，后兩個悖論詰難了時間和空間不能無限可分，因而運動是間斷的觀點。芝諾悖論的提出可能有更深刻的背景，不一定是專門針對數學的，但是它們在數學王國中卻掀起了一場軒然大被。它們說明了希臘人已經看到“無窮小”與“很小很小”的矛盾，但他們無法解決這些矛盾。其后果是，希臘幾何證明中從此就排除了無窮小。

經過許多人多年的努力，終于在17世紀晚期，形成了無窮小演算——微積分這門學科。牛頓和萊布尼茲被公認為微積分的奠基者，他們的功績主要在于：把各種有關問題的解法統(tǒng)一成微分法和積分法；微分法和積分法有明確的計算步驟；互為逆運算。由于運算的完整性和應用的廣泛性，微積分成為當時解決問題的重要工具。

說白了，微積分是一種數學思想，“無限細分”就是微分，“無限求和”就是積分，無限就是極限。極限思想是微積分的基礎，它是用一種運動的思想看待問題。比如,子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，子彈每個瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念。

其實，作為微積分基礎的極限思想，在中國古老的著作《莊子》中就出現過，《莊子》天下篇中有“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”的無窮思想，魏晉時期數學家劉徽在為《九章算術》作注時創(chuàng)立的“割圓術”中也有極限思想：“割之彌細,所失彌少,割之又割，以至于不可割,則與圓合體而無所失矣?！?/p>

只不過，中國人沒有覺得這有什么，也就沒有去研究。

微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。它使數學從初等數學“進化”到了高等數學。

2、第二次數學危機的產生　

運用微積分雖然可解決無限細分和無限求和這樣的問題，但微積分的主要創(chuàng)始人牛頓在一些典型的推導過程中，運用了自相矛盾的思想：一方面，他用了無窮小量作分母進行除法，這時候的無窮小量不能為零；另一方面，他把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到所要的公式。雖然力學和幾何學的應用證明了這些公式是正確的，但它的數學推導過程卻在邏輯上自相矛盾。焦點是：無窮小量是零還是非零？如果是零，怎么能用它做除數？如果不是零，又怎么能把包含著無窮小量的那些項去掉呢？

無窮小量究竟是不是零？兩種答案都會導致矛盾。牛頓對它曾作過三種不同解釋：1669年說它是一種常量；1671年又說它是一個趨于零的變量；1676年它被“兩個正在消逝的量的最終比”所代替。但是，他始終無法解決上述矛盾。萊布尼茲曾試圖用和無窮小量成比例的有限量的差分來代替無窮小量，但是他也沒有找到從有限量過渡到無窮小量的橋梁。

雖在牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分之后的大約一百年中，很少有人注意到從邏輯上加強這門學科的基礎，但絕不是對薄弱的基礎沒有人批評。對有缺陷的基礎強有力的批評來自一位非數學家，這就是著名的英國唯心主義哲學家、大主教貝克萊。1734年，貝克萊發(fā)表《分析學家或者向一個不信正教數學家的進言》，矛頭指向微積分的基礎----無窮小的問題，提出了所謂貝克萊悖論。由此圍繞微積分基礎的大論戰(zhàn)便開始了。數學家、哲學家和神學家都紛紛卷入其中，被稱為第二次數學危機。

３、第二次數學危機的解決　

18世紀的數學思想的確是不嚴密的、直觀的，強調形式的計算而不管基礎的可靠。其中特別是沒有清楚的無窮小概念，從而導數、微分、積分等概念不清楚；無窮大概念不清楚；發(fā)散級數求和具有任意性等等；符號的不嚴格使用；不考慮連續(xù)性就進行微分，不考慮導數及積分的存在性以及函數可否展成冪級數等等?！?/p>

歷史要求給微積分以嚴格的基礎。

第一個為補救第二次數學危機提出真正有見地的意見的是達朗貝爾。他在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當時使用的粗糙的極限理論。但是他本人未能提供這樣的理論。最早想象使微積分嚴謹化的是拉格朗日，為了避免使用無窮小推斷和當時還不明確的極限概念，拉格朗日曾試圖把整個微積分建立在泰勒式的基礎上。但是，這樣一來，考慮的函數范圍太窄了，而且不用極限概念也無法討論無窮級數的收斂問題。所以，拉格朗日的以冪級數為工具的代數方法也未能解決微積分的奠基問題。

到了十九世紀，出現了一批杰出的數學家，他們積極地為微積分學的奠基工作而努力。首先要提到的是捷克的哲學家和數學家波爾查諾。他開始將嚴格的論證引入導數學分析中。1816年他在二項展開公式的證明中，明確地提出了級數收斂的概念。同時對極限、連續(xù)、變量有了較深入的理解。特別是他曾寫出《無窮的悖論》一書，書中包含許多真知灼見?？上В谒ナ纼赡旰笤摃诺靡猿霭?。

分析學的奠基人，公認為法國多產的數學家柯西。柯西在數學分析和置換群理論方面做了開拓性的工作，是最偉大的近代數學家之一。他在1821年——1823年間出版的《分析教程》和《無窮小計算講義》是數學史上劃時代的著作。在那里他給出了數學分析一系列基礎概念的精確定義，例如，他給出了精確的極限定義，然后用極限定義連續(xù)性、導數、微分、定積分、無窮級數的收斂性。這些定義基本上就是我們今天微積分課本中使用的定義，不過現在寫的更加嚴格一點。

經歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數學分析奠定了嚴格的基礎。