本文較為硬核，請酌情跳過部分內(nèi)容。

介紹麥克斯韋方程組的科普作品有很多，其他答主的回答也都還行。筆者也沒必要再贅述那些千篇一律的內(nèi)容。

本文就來談一談其他人沒說過的事情：

從麥克斯韋方程組走向理論物理的巔峰！

（以下內(nèi)容建立在其他回答作品的基礎(chǔ)上，請確保自己已經(jīng)對麥克斯韋方程組有了基本的了解。評論區(qū)里會(huì)附上其它作品的鏈接。）

返璞歸真

現(xiàn)在常見的麥克斯韋方程組是被赫維賽德(O.Heaviside)和吉布斯(J.W.Gibbs)改寫后的方程組。

說實(shí)話，這種形式的麥克斯韋方程組已經(jīng)沒有“生命力”了。

反倒是麥克斯韋(J.C.Maxwell)最初寫下的那些方程有著旺盛的“生命力”，銜接著量子力學(xué)以及目前理論物理學(xué)的巔峰之作。

回到靜態(tài)電場和靜態(tài)磁場的方程

電荷給靜態(tài)電場提供散度，電流給靜態(tài)磁場提供旋度。

靜態(tài)電場的旋度是零，靜態(tài)磁場的散度是零。

（其它介紹麥克斯韋方程組的作品應(yīng)該已經(jīng)把散度和旋度介紹地很清楚了，我就不提了。）

這個(gè)方程組看起來還是很和諧的，簡潔有力地描述了靜態(tài)電場和靜態(tài)磁場的規(guī)律。

不過，為了引出本文的“重頭戲”，需要把這一組方程改寫一下。

電場強(qiáng)度與電勢

（默認(rèn)大家知道“電勢”這個(gè)概念。）

可以用電場強(qiáng)度E來描述電場，也可以用電勢φ來描述電場。

電勢是單位正電荷在電場中具有的勢能，通常用φ來表示電勢。

（注意一下“電勢是單位正電荷在電場中具有的勢能”這句話，后面再次提到它的時(shí)候，你會(huì)對它的理解更深刻。）

可以形象地用電場線來表示電場強(qiáng)度，也可以形象地用等勢面來表示電勢。

電場線越密的地方，電場強(qiáng)度越大；等勢面越密的地方，電勢差越大。

空間中的每一點(diǎn)的電勢都不同，所以電勢是關(guān)于三個(gè)空間坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。由于電勢是標(biāo)量，所以空間中的電勢構(gòu)成了一個(gè)標(biāo)量場。相應(yīng)的，空間中的電場強(qiáng)度構(gòu)成了一個(gè)矢量場。

不知道大家有沒有注意到一件事：

電場線越密的地方，等勢面也會(huì)越密！

這意味著電場強(qiáng)度和電勢之間有著某種關(guān)系，這種關(guān)系可以寫成一個(gè)公式：

（下面會(huì)解釋這個(gè)公式。）

也可以用電場強(qiáng)度的三個(gè)分量來表示：

左邊是電場強(qiáng)度，這沒什么可說的。

而右邊是電勢的負(fù)梯度。一個(gè)倒三角后面緊跟著電勢，就是電勢的梯度，前面再加上負(fù)號就是電勢的負(fù)梯度。

什么是梯度？

梯度的大小也就是電勢在空間中變化的快慢程度，也就是對空間坐標(biāo)求導(dǎo)數(shù)。

（其它介紹麥克斯韋方程組的作品應(yīng)該也已經(jīng)把導(dǎo)數(shù)介紹地很清楚了，我就不提了。）

直觀地說，等勢面越密的地方，電勢的梯度越大。

為什么公式中是負(fù)梯度，不是梯度？

因?yàn)殡妶鰪?qiáng)度是有方向的，梯度也是有方向的。

電勢的梯度的方向是電勢增加得最快的方向，而電場強(qiáng)度的方向是電勢減小得最快的方向，所以電場強(qiáng)度是電勢的負(fù)梯度。

這個(gè)公式有什么用嗎？

當(dāng)然有用！

梯度有一個(gè)性質(zhì)：對梯度求旋度，結(jié)果一定是零。

可以借助這張圖片來理解這個(gè)性質(zhì)：

（這種階梯不存在，如果有階梯式的下降，就不能構(gòu)成循環(huán)。）

這自動(dòng)滿足了靜電場的旋度為零的性質(zhì)。

所以，如果用電勢來描述靜態(tài)電場，只需要一個(gè)方程：

補(bǔ)充一下：

磁感應(yīng)強(qiáng)度與磁矢勢

有電勢，那有沒有磁勢呢？

很多書上會(huì)說：磁場的旋度不是零，沒有與電場的電勢對應(yīng)的磁勢。

不過，這只是說我們不能用“標(biāo)量勢”去描述磁場，也就是說我們不能把磁感應(yīng)強(qiáng)度B看成是某個(gè)標(biāo)量場的梯度。

但這不代表我們不能用“矢量勢”去描述磁場?。?/strong>

矢量勢？

這確實(shí)是個(gè)奇怪的概念，不過真的有這個(gè)概念，可以把這個(gè)矢量勢叫做“磁矢勢”，通常用A來表示。

（麥克斯韋構(gòu)建動(dòng)態(tài)電磁場方程的工作，就是從磁矢勢A入手的。）

（左邊是磁感應(yīng)強(qiáng)度，右邊是磁矢勢的旋度。）

開爾文勛爵(W.Thomson)在1851年提出了這個(gè)公式。

（每次提到為麥克斯韋方程組奠基的人，幾乎所有人都遺忘了開爾文，遺忘了這位提出磁矢勢的巨匠。）

空間中的每一點(diǎn)的磁矢勢都不同，所以磁矢勢是關(guān)于三個(gè)空間坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。由于磁矢勢是矢量，所以空間中的磁矢勢構(gòu)成了一個(gè)矢量場。相應(yīng)的，空間中的磁感應(yīng)強(qiáng)度也構(gòu)成了一個(gè)矢量場。

引入磁矢勢有什么用？

和梯度一樣，旋度也有一個(gè)性質(zhì)：對旋度求散度，結(jié)果一定是零。

可以借助這張圖片來理解這個(gè)性質(zhì)：

（形成首尾相接的環(huán)，就無法發(fā)散到其它區(qū)域。）

這自動(dòng)滿足了靜態(tài)磁場的散度為零的性質(zhì)。

和電勢一樣，用磁矢勢來描述靜態(tài)磁場，也只需要一個(gè)方程：

補(bǔ)充一下，有這樣一個(gè)數(shù)學(xué)公式：

可能有人會(huì)問：

電勢還有個(gè)物理意義，是單位正電荷在電場中具有的勢能。

磁矢勢有什么物理意義嗎？

這就尷尬了，在靜態(tài)磁場中，看不出磁矢勢有什么物理意義，可以把磁矢勢當(dāng)成純粹的數(shù)學(xué)技巧。

但是，在動(dòng)態(tài)電磁場中，磁矢勢會(huì)大放光彩！

接下來自然要介紹動(dòng)態(tài)電磁場的方程，不過在此之前，先整理一下靜態(tài)電場方程和靜態(tài)磁場方程的新形式：

不過，為了防止下面出現(xiàn)過于復(fù)雜的方程，筆者仍用四個(gè)方程來表示電磁場的方程：

渦旋電場與電磁動(dòng)量

上面都是在談靜態(tài)電場和靜態(tài)磁場，接下來進(jìn)入動(dòng)態(tài)電磁場。

提到動(dòng)態(tài)電磁場，就不得不提法拉第(M.Faraday)的“電緊張態(tài)”，這是動(dòng)態(tài)電磁場理論的開端，不過就像“磁矢勢”一樣，“電緊張態(tài)”被遺忘了。

法拉第認(rèn)為磁場處于“電緊張態(tài)”，也就是說磁感線有沿著磁感線的方向收縮、并向垂直于磁感線的方向擴(kuò)張的趨勢。

麥克斯韋把法拉第的“電緊張態(tài)”和開爾文的“磁矢勢”聯(lián)系在了一起，為電場和磁場構(gòu)建了“分子渦旋模型”，就像下圖一樣：

（“分子渦旋模型”非常復(fù)雜，筆者就不介紹了。）

借助“分子渦旋模型”，麥克斯韋得到了這個(gè)公式：

（左邊是電場強(qiáng)度，右邊是磁矢勢的負(fù)的變化率。）

麥克斯韋當(dāng)初就是用這個(gè)公式表示電磁感應(yīng)定律，把這種電場稱為“渦旋電場”，這個(gè)公式也是麥克斯韋對電磁學(xué)的第一個(gè)貢獻(xiàn)。

至于這個(gè)渦旋電場究竟是不是電場，要看我們對電場的定義是什么。

麥克斯韋認(rèn)為只要電荷在某個(gè)場中受到的力的方向與場的方向平行，這個(gè)場就是“電場”。渦旋電場確實(shí)符合這個(gè)定義。

（相應(yīng)的，如果電荷在某個(gè)場中受到的力的方向與場的方向垂直，這個(gè)場就是“磁場”。）

有很多資料這樣表示渦旋電場，把渦旋電場的電場線畫成閉合的曲線：

這種表示方法其實(shí)不太嚴(yán)謹(jǐn)，后面會(huì)解釋原因，而現(xiàn)在還不是解釋的時(shí)候。

順便提一句，麥克斯韋從來沒說過“變化的磁場產(chǎn)生渦旋電場”，因?yàn)榇艌龅淖兓K究是由電荷的變化引起的，麥克斯韋只承認(rèn)電荷是唯一的場源。

不能因?yàn)槿藗兿劝l(fā)現(xiàn)電荷周圍存在磁場，再發(fā)現(xiàn)電荷周圍存在渦旋電場，就說磁場和渦旋電場之間有著因果關(guān)系。

而且，求解麥克斯韋方程組，會(huì)發(fā)現(xiàn)自由空間中電場的變化和磁場的變化是同步進(jìn)行的！

想知道磁矢勢有什么物理意義嗎？

首先回憶一下電場力的公式：

我們可以在電磁感應(yīng)定律的等號兩邊乘上電荷量：

力等于某個(gè)物理量的變化率（先別管負(fù)號），這個(gè)公式像哪個(gè)公式？

答案是：

牛頓第二定律！

（力等于動(dòng)量的變化率）

所以，麥克斯韋也將磁矢勢稱為“電磁動(dòng)量”，表示單位正電荷在電磁場中具有的潛在的動(dòng)量！

電磁感應(yīng)定律等號右邊的負(fù)號表示潛在的動(dòng)量減小時(shí)，帶電粒子的動(dòng)量增加。

電勢與磁矢勢是一對概念。

電勢表示單位正電荷在電磁場中具有的勢能（潛在的能量）。

磁矢勢表示單位正電荷在電磁場中具有的潛在的動(dòng)量。

前面說過，靜態(tài)電場有這個(gè)方程：

可以把靜態(tài)電場和渦旋電場的方程合并起來：

這樣就向動(dòng)態(tài)電磁場的方程邁進(jìn)了一步，得到了這樣的方程組：

位移電流與傳導(dǎo)電流

很多人都對位移電流有誤解，因?yàn)楹芏嗳硕紱]看過《電磁通論》。

麥克斯韋從來沒說過“位移電流是變化的電場”，他將位移電流和傳導(dǎo)電流都稱為“真實(shí)的電流”。

也就是：電荷的運(yùn)動(dòng)！

傳導(dǎo)電流就是我們平時(shí)說的導(dǎo)體中的電流，位移電流則是電介質(zhì)中的電流。

電介質(zhì)是可以讓電場通過的介質(zhì)?？梢院唵蔚卣J(rèn)為某種介質(zhì)如果不是導(dǎo)體，就是電介質(zhì)。

電介質(zhì)內(nèi)部沒有自由電子或自由離子，不能導(dǎo)電，但這不代表電介質(zhì)內(nèi)部沒有電荷。

麥克斯韋首先考慮的是電介質(zhì)的極化。

這會(huì)讓電介質(zhì)內(nèi)部的電荷發(fā)生微小的位移，可以用電位移矢量D來描述這種微小的位移。

電位移矢量D和電場強(qiáng)度E有這樣的關(guān)系：

這個(gè)公式其實(shí)是在借鑒胡克定律：

麥克斯韋也將電位移矢量D和電場強(qiáng)度E的關(guān)系稱為“電彈性方程”。

如果電介質(zhì)中的電荷的位移隨時(shí)間變化，也就是說電介質(zhì)被反復(fù)極化，那么：

所以麥克斯韋把電位移矢量D隨時(shí)間的變化率（導(dǎo)數(shù)）稱為位移電流。

（還是那句話，麥克斯韋只承認(rèn)電荷是唯一的場源。）

靜態(tài)磁場的方程中提到過，傳導(dǎo)電流具有磁效應(yīng)：

位移電流也應(yīng)該有磁效應(yīng)：

可以把這兩個(gè)方程合寫在一起：

可以把電位移矢量D用電場強(qiáng)度E表示，寫成：

然后就有人開始玩“雙標(biāo)”了，說這是“變化的電場產(chǎn)生磁場”。

我們要知道，傳導(dǎo)電流J和電場強(qiáng)度E也有關(guān)系：

這個(gè)公式其實(shí)是在借鑒固體在流體中的運(yùn)動(dòng)速度與阻力的關(guān)系：

所以我們也可以把電流的磁效應(yīng)表示成：

來看一個(gè)典型的“雙標(biāo)”操作，不知道大家對此有何看法：

另外，也可以認(rèn)為引入位移電流是電荷守恒定律的必然要求。其它介紹麥克斯韋方程組的科普作品基本上也都介紹過，具體內(nèi)容筆者在此略過。

但是，電荷守恒也和所謂的“變化的電場產(chǎn)生磁場”不沾邊，筆者實(shí)在是不知道所謂的“電場生磁場，磁場生電場”是從哪里傳出來的。

麥克斯韋方程組

整理一下，寫出完整的麥克斯韋方程組：

也可以把前兩個(gè)方程帶入后兩個(gè)方程，得到：

大家應(yīng)該可以發(fā)現(xiàn)，說了這么多，就是引出了兩個(gè)公式：

這兩個(gè)公式可謂是深不可測，銜接著規(guī)范場論！

規(guī)范變換與測量

物理學(xué)的精髓是測量與描述，規(guī)范場論更是測量的“產(chǎn)物”。

這要從磁矢勢A談起。

電場強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B都有確定的散度和旋度，但是磁矢勢A只有確定的旋度，那它的散度如何確定？

答案可能有點(diǎn)“毀三觀”：

你想讓它的散度是什么，它的散度就是什么。

磁矢勢A到底有什么特殊之處？

答案是：

磁矢勢A是一個(gè)不可測量的量！

而且，電勢φ也是一個(gè)不可測量的量！

（電場強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B是可測量的量。）

以電勢為例，我們可以隨意選取“零電勢點(diǎn)”（也就是“規(guī)范”），所以電勢是不可測量的，電勢差（電壓）才是可測量的。

磁矢勢也是同樣的道理。

“重頭戲”來了！

觀察一下用磁矢勢A表示磁感應(yīng)強(qiáng)度B的公式：

我們可以玩一些數(shù)學(xué)技巧，給原本的磁矢勢A加上一個(gè)標(biāo)量場的梯度，形成一個(gè)新的磁矢勢：

那么磁感應(yīng)強(qiáng)度B會(huì)變成：

（前面說過，梯度的旋度一定是零。）

磁感應(yīng)強(qiáng)度B沒有變化！

對不可測量的量做一個(gè)變換后，可測量的量不變，所以我們可以做這樣的變換。

但是，別忘了磁矢勢A也出現(xiàn)在了渦旋電場的公式中：

磁矢勢的散度也可以隨意選取，那豈不是說渦旋電場的散度也可以隨意選取？

沒錯(cuò)，渦旋電場的散度確實(shí)可以隨意選取。

渦旋電場的電場強(qiáng)度是不可測量的量！

我知道有人會(huì)問：

上面不是說過，電場強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B是可測量的量嗎？

注意，渦旋電場和靜電場合成后的電場強(qiáng)度確實(shí)是可測量的量，但是我們無法測量單獨(dú)的渦旋電場！

測量帶電粒子在動(dòng)態(tài)電磁場中受到的力，能測到的只有一個(gè)力，就是各種力的合力。而不是先測靜電場的力、再測渦旋電場的力、再測磁場的力。

說到底，這還是測量的問題，不懂測量的意義，是學(xué)不好物理的。

所以說，總的電場的電場強(qiáng)度是不能隨意選取的。

但是，如果我們對磁矢勢A做了上面的變換，確實(shí)會(huì)改變總的電場強(qiáng)度E：

這似乎說明我們不能對磁矢勢A做變換。

但是，電勢φ也是一個(gè)不可測量的量，如果我們對電勢φ也做一個(gè)相應(yīng)的變換：

就能保證電場強(qiáng)度E不變：

（因?yàn)榭梢詫﹄妱荭兆鲎儞Q，所以電磁場方程里的φ未必是靜電場的電勢，還可能是靜電場與渦旋電場的電勢之和。）

所以我們可以對電勢φ和磁矢勢A這些不可測量的量做一套變換：

這一套變換不會(huì)改變電場強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B這些可測量的量。

對不可測量的量做的這一套變換就是：

規(guī)范變換！

規(guī)范變換不會(huì)改變可測量的物理量，我們也可以說：

可測量的物理量具有規(guī)范變換不變性（規(guī)范不變性）！

換言之，具有規(guī)范變換不變性的物理量才是可測量的物理量。

規(guī)范場是與物理規(guī)律的規(guī)范變換不變性相聯(lián)系的場。

電磁場是最簡單的規(guī)范場，麥克斯韋方程組描述了這種規(guī)范場。

回到這個(gè)老問題：

我們可以選擇一些規(guī)范，來得到磁矢勢的散度。

比如庫侖規(guī)范（外爾規(guī)范）：

此時(shí)，渦旋電場的散度就是零，可以把渦旋電場的電場線畫成閉合的曲線：

再比如洛倫茲規(guī)范：

此時(shí)，渦旋電場的散度不是零，不能把渦旋電場的電場線畫成閉合的曲線：

順便展示一下分別使用庫侖規(guī)范和洛倫茲規(guī)范的麥克斯韋方程組：

值得一提的是，使用洛倫茲規(guī)范的麥克斯韋方程組在形式上是完全對稱的！

從矢量到張量

為了更好地銜接相對論，可以用張量表示麥克斯韋方程組。

（上面提到的麥克斯韋方程組是用矢量表示的。）

下面來看一看用張量表示的麥克斯韋方程組。

張量過于復(fù)雜，大家看一看張量方程的樣子，能從“不知道自己不知道”變成“知道自己不知道”就行了。

麥克斯韋方程組的物理意義是不變的。

電磁感應(yīng)定律和高斯磁定律可以合寫成一個(gè)公式：

高斯定律和全電流定律也可以合寫成一個(gè)公式：

所以，麥克斯韋方程組的張量形式是：

注意：

楊-米爾斯方程

上面說過，電磁場是最簡單的規(guī)范場，麥克斯韋方程組描述了這種規(guī)范場。

如果要描述更加復(fù)雜的規(guī)范場，就要用到楊-米爾斯方程。

還是那句話，大家能從“不知道自己不知道”變成“知道自己不知道”就行了。

可以用張量表示出電磁場的拉格朗日量，把麥克斯韋方程組寫成：

拉格朗日量就是一個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)能與勢能之差。

L=T-U

T：動(dòng)能、U：勢能

（提拉格朗日量是為了讓大家在最后的圖片上認(rèn)出麥克斯韋方程組。）

咱們再來看一看楊-米爾斯方程長什么樣：

是不是和麥克斯韋方程組有些像？

像就對了！

楊-米爾斯方程就是基于麥克斯韋方程組提出的，是對麥克斯韋方程組的推廣，可以描述更加復(fù)雜的規(guī)范場。

比如傳遞弱核力的場、傳遞強(qiáng)核力的場。

由此可以引出粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型！

粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型已經(jīng)算是目前的理論物理的巔峰了，它的框架起源于麥克斯韋方程組。

或者說，麥克斯韋方程組是粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型的“第一塊拼圖”。

最后，在粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型里面標(biāo)記一下麥克斯韋方程組

粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型的拉格朗日量：