  對理性主義者來說，十九世紀末至二十世紀初無疑是一段令人懷念的美妙時光。人們相信，無論是以經(jīng)典力學、電磁學和熱力學為代表的物理學或是以《德國民法典》為代表的大陸法系都已接近完備。而在數(shù)學上，康托爾（Georg Cantor）集合論讓人類第一次可以有意義地談論各種不同的無窮；弗雷格（GottlobFrege）的概念文字使數(shù)學得以擺脫來自自然語言的模糊性；希爾伯特（David Hilbert）號召建立完備的形式系統(tǒng)一勞永逸地解決經(jīng)典數(shù)學（包括康托爾集合論）的基礎問題：一切明確的數(shù)學問題都必然有一個確切的解答。我們甚至可以說，某種樂觀的理性主義是那個時代的主流。 理性主義者認為，存在某類知識，它們不是通過一個個經(jīng)驗案例得到的，而只能依賴于某種來自于理性的能力的直接把握。他們進一步宣稱，人類的理性足夠把握這些知識。  注：圖為萊布尼茲 萊布尼茲是這種樂觀的理性主義的代表人物。其樂觀的理性主義最集中的體現(xiàn)，同時也是對后來的數(shù)學基礎研究產(chǎn)生重要影響的是他畢生關于通用文字的設想：“我認為有可能發(fā)展出一種一般的文字，可以像代數(shù)在數(shù)學中那樣確鑿無疑地記錄所有領域的研究?！比R布尼茲的設想被認為是現(xiàn)代邏輯的先聲。 在下文中，我們將分析，在理解了弗雷格與希爾伯特的失敗后，哥德爾所能夠主張的是怎樣一種樂觀的理性主義（第2節(jié)）；以及作為哥德爾綱領在當代最有代表性的執(zhí)行者，武丁的終極L理論遇到了哪些挑戰(zhàn)（第3節(jié)）。 無論弗雷格的邏輯主義綱領還是希爾伯特的形式主義綱領都謀求一勞永逸地解決數(shù)學基礎問題。在今天看來，這些研究綱領至少在表面上都失敗了。 弗雷格的邏輯主義綱領謀求將全部數(shù)學建立在邏輯的基礎之上。誠然，羅素悖論是對弗雷格計劃的重大打擊，但它并不構成對邏輯主義綱領本身的否定?？梢悦鞔_的是，羅素的發(fā)現(xiàn)讓人們意識到無論是弗雷格的（二階）邏輯、羅素本人的分支類型論抑或集合論作為數(shù)學的基礎，無論它們是否被稱作邏輯，仍然可能會出問題，它們安全性仍然是有待檢驗的。  希爾伯特自始至終是經(jīng)典數(shù)學（包括康托爾集合論）的捍衛(wèi)者?？赡苁鞘艿綆缀螌W公理化傳統(tǒng)的影響以及直覺主義者的步步緊逼，希爾伯特在數(shù)學基礎上選擇了形式主義的立場。希爾伯特試圖回避任何哲學上的糾纏，僅僅用數(shù)學結果為數(shù)學做辯護。希爾伯特要求：（1）找到包含經(jīng)典數(shù)學的形式化的公理系統(tǒng)；（2）證明該公理系統(tǒng)的一致性；（3）證明該公理系統(tǒng)的完全性。以上工作只能使用有窮主義方法（finitary method）。此即所謂的希爾伯特綱領。假設希爾伯特綱領實現(xiàn)，我們至少可以確信經(jīng)典數(shù)學是安全的，更進一步，所有數(shù)學命題都可以在一個有窮的公理系統(tǒng)中被判定。這看似是一個可以被接受的，一勞永逸的解決方案。 然而，哥德爾不完全性定理表明，希爾伯特計劃在很強的意義上是無法實現(xiàn)的。希爾伯特式形式主義的根本問題在于，它不是一個一以貫之的數(shù)學哲學立場。由此，形式主義者將數(shù)學分成了兩部分：有意義的真的因而不需要一致性證明的那部分（如有窮主義數(shù)學）以及更多的純形式的需要一致性證明的那部分。他們要求用較少的有意義的那部分數(shù)學證明更多數(shù)學的一致性。因此，當人們發(fā)現(xiàn)一個給定系統(tǒng)的一致性證明總需要比那個系統(tǒng)更多的東西時，就會認為一切一致性證明就實現(xiàn)希爾伯特綱領而言是無意義的。  注：圖為希爾伯特 相比一致性問題，對于作為理性主義者的哥德爾來說，更迫切的是面對不完全性現(xiàn)象。不完全性定理帶來的沖擊如此之大，以至于即使集合論公理化已經(jīng)取得了明顯的進展，人們不再像弗雷格或希爾伯特那樣謀求一個完全的數(shù)學基礎。樂觀的理性主義逐漸退出時代精神的主流。然而，哥德爾本人卻是一個相比弗雷格或希爾伯特更樂觀的理性主義者。 哥德爾在1938年證明了連續(xù)統(tǒng)假設相對于ZFC公理系統(tǒng)的一致性，也即從ZFC無法證明連續(xù)統(tǒng)假設是不成立的（假設ZFC本身是一致的）。哥德爾猜想連續(xù)統(tǒng)假設可能是獨立于ZFC的：“康托爾的假設先天的有三種可能：或者它可以被證明，或者被否證，或者是獨立的。第三種情形最有可能，……尋找其獨立性的證明?！备绲聽柕牟孪朐?963年被科恩（PaulCohen）證明。連續(xù)統(tǒng)假設的獨立性相比不完全性定理對數(shù)學基礎問題的影響可能更大。連續(xù)統(tǒng)假設是一個自然且明確的數(shù)學問題，它是希爾伯特第1問題。數(shù)學家可以宣稱見證哥德爾不完全性定理的那些命題都是人造的，缺乏自然的數(shù)學意義。然而，連續(xù)統(tǒng)假設獨立性的發(fā)現(xiàn)意味著數(shù)學家必須直面不完全性問題。除非他們退回構造主義數(shù)學劃下的牢籠中，宣稱關于實無窮的理論是虛構的。抑或退回形式主義的避難所（如科恩本人以及許多意識到這個問題的數(shù)學家）。而根據(jù)之前的分析，并不存在徹底的形式主義，所謂的形式主義總是某種意義上的構造主義。  注：圖為哥德爾 正是在這里，哥德爾宣稱要為集合論（也即數(shù)學）尋找新的公理以判定諸如連續(xù)統(tǒng)假設這樣的獨立命題：“不僅今天人們所知的集合論公理系統(tǒng)是不完全的，而且能夠以確定的方式補充新的公理，這些新公理不過是我們一直在用的公理的自然延續(xù)。”。這就是所謂的“哥德爾綱領”。關于哥德爾綱領歷史及有關研究現(xiàn)狀的更詳細的介紹可以參見郝兆寬的《哥德爾綱領》。在下一節(jié)中，我們將分析武丁計劃對哥德爾綱領的實踐及其遇到的困難。  郝兆寬教授在《哥德爾綱領》一書中寫道：
注意，由于版本（1）的哥德爾綱領不存在所謂的徹底實現(xiàn)，郝兆寬教授所主張的必須是某種版本（2）的哥德爾綱領。而這里的徹底實現(xiàn)指的是武?。╓.HughWoodin）關于終極L的研究計劃。 哥德爾在預言了連續(xù)統(tǒng)假設的獨立性后就提議通過比不可達基數(shù)或瑪洛基數(shù)更強的大基數(shù)公理來判定連續(xù)統(tǒng)假設問題。然而，科恩的方法適用于包含任何已知大基數(shù)的公理系統(tǒng)。單憑大基數(shù)公理是無法判定連續(xù)統(tǒng)假設的。 注：左圖為W·HughWoodin，右圖為郝兆寬教授 以武丁和斯蒂爾為代表的加州學派的一項長期的研究計劃是通過內模型理論為大基數(shù)公理的一致性提供佐證。這些大基數(shù)的內模型（例如包含一個可測基數(shù)的模型L[U]）具有凝聚性（Condensation）等良好的性質，使其在力迫擴張中保持絕對。因而力迫法無法證明某個命題獨立于諸如“ZF+V=L[U]+LCA”的公理系統(tǒng)，其中“V=L[U]”表示集合論宇宙就是這個內模型，LCA表示相應的大基數(shù)公理。 問題是，對應更強大基數(shù)的內模型極難構造，往往對應某個大基數(shù)的內模型可證地不含有更強的大基數(shù)。更強的大基數(shù)意味著更強的解釋力，實在論者希望公理系統(tǒng)包含更強的大基數(shù)從而不會在解釋力上有所損失。而武丁證明了一旦我們找到超緊致基數(shù)的內模型，那么它將自動成為所有通過類似方式定義的大基數(shù)的內模型——終極-L。由此，“ZF+V=終極-L+LCA”就成為一系列免疫于力迫法獨立性證明的“經(jīng)驗完全的”公理系統(tǒng)了。 注意，我們無法定義什么是大基數(shù)公理，否則我們總可以找到比“所有大基數(shù)存在”更強的大基數(shù)性質。武丁計劃就是找到終極-L的刻畫。由此，我們只需要通過加強大基數(shù)公理這一相對明確的路徑，就可以判定幾乎所有數(shù)學命題，除非有本質上不同于力迫法和哥德爾不完全性定理的新的獨立性證明方法出現(xiàn)。 武丁的計劃的確令人激動。它幾乎完美地對應了版本（2.2）的哥德爾綱領的要求。然而，即使作為哥德爾綱領實踐者的武丁的親密盟友如斯蒂爾、馮琦等學者對武丁的終極-L計劃的可能結果往往持保留意見：它或將遭受挫折，或即使成功也不會是一個“終結”。他們的理由很簡單，正如波斯特所說的，數(shù)學是不會終結的。顯然，這些學者主張的是版本（1）的哥德爾綱領。由于人們可能在關于哥德爾析取式采取不同立場的情況下支持版本（1）的綱領，我們很難確定他們是否持有與哥德爾同樣樂觀的立場。而我們幾乎可以確定武丁與郝兆寬持有與哥德爾相當甚至更強的樂觀立場。 事實上，真正樂觀的理性主義者總是試圖給出強而清晰的論斷，它們足夠清晰以至于是可以被證明為錯的，它們也幾乎全部被證明是錯的。弗雷格、希爾伯特、甚至哥德爾（寄希望于更強的大基數(shù)公理解決連續(xù)統(tǒng)假設問題而被科恩的方法證明為不可能的）概莫能外。然而，正是這些清晰明確的立場以及圍繞它們的工作，甚至對它們的否定，增加了人類對數(shù)學世界的認識。 而另一方面，對理性的樂觀不應盲目以至于無視一些已知的結果。正如哥德爾面對不完全性定理得出的析取式，它告訴我們不存在有窮信息的公理系統(tǒng)能把握全部客觀數(shù)學。如果科恩以后的集合論研究一再提示我們關于連續(xù)統(tǒng)假設的認識可能是不收斂的，更符合理性主義的選擇或許是跟隨王浩的建議：“正視我們所知的（doing justice to what we know）”。 本文選自《自然辯證法通訊》2020年第42卷第12期 |
|
|
