【原】微積分基本定理背后的直覺，將其推廣到高斯定理和斯托克斯定理
微積分基本定理我們?cè)诖髮W(xué)都學(xué)過的微積分基本定理，它是這樣的：該定理背后的直覺是非常簡(jiǎn)單的。函數(shù)從點(diǎn)a到點(diǎn)b的導(dǎo)數(shù)的積分是所有df變化的和，而不是它的離散級(jí)數(shù)的和：在上述和中，"中間 "項(xiàng)在每一輪求和之后都會(huì)相互抵消，最后只剩下 "邊界 "項(xiàng)，即第一個(gè)和最后一個(gè)。我們現(xiàn)在要討論的是，我們?nèi)绾卫蒙鲜龆ɡ淼闹庇X，以便在更深的層次上掌握高斯定理和斯托克斯定理？高斯定理高斯定理，又稱散度定理，一個(gè)向量場(chǎng)通過一個(gè)封閉的二維表面的向外流量等于這個(gè)場(chǎng)在整個(gè)表面上的散度之和。我們用數(shù)學(xué)的形式書寫成：誠(chéng)然，第一次看到這個(gè)定理時(shí)似乎有點(diǎn)令人生畏，但它背后的直覺其實(shí)很簡(jiǎn)單，它與微積分基本定理類似。我們知道，一個(gè)向量場(chǎng)在某一點(diǎn)的散度是衡量該向量場(chǎng)在該點(diǎn) 的發(fā)散程度。因此，上述定理左邊的三重積分，將向量場(chǎng)分散在整個(gè)體積V上的所有趨勢(shì)（散度）加起來(lái)，也就是曲面S所包圍的體積V。上述曲面積分中的點(diǎn)積在右手邊只 "用 "了矢量場(chǎng)的法向分量，即相對(duì)于封閉曲面的法向分量。在此基礎(chǔ)上，右手邊的表面積分計(jì)算出S表面上矢量場(chǎng)的總向外通量。上述兩個(gè)量，即邊界處的外向通量和體積內(nèi)所有點(diǎn)的發(fā)散量之和，之所以相等，其直覺和我們理解微積分基本定理的直覺一樣。當(dāng)上述所有散度加起來(lái)時(shí)，由于相反的散度，在體積的中間會(huì)有很多抵消，向量場(chǎng)中唯一“幸存”的部分是不能被抵消的部分，即沿表面邊界的法線部分，這是向外通量的另一個(gè)說(shuō)法。在理解這些定理時(shí)，應(yīng)該牢記以下的一般概念：一個(gè)導(dǎo)數(shù)（可以是標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)數(shù)，也可以是散度或旋度）在一個(gè)區(qū)域上的積分等于該區(qū)域邊界處的函數(shù)值。 我們將用這個(gè)思想來(lái)直觀地理解斯托克斯定理。斯托克斯定理斯托克斯定理說(shuō)，一個(gè)三維表面上的矢量場(chǎng)的總旋度等于該表面邊界上的場(chǎng)的環(huán)流。我們這樣寫：讓我們用一些更簡(jiǎn)單的詞來(lái)描述斯托克斯定理。就像高斯定理關(guān)注的是一個(gè)矢量場(chǎng)的散度，斯托克斯定理關(guān)注的是一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度。矢量場(chǎng)的旋度是衡量矢量場(chǎng)圍繞有關(guān)點(diǎn)的卷曲程度。因此，左邊的曲面積分將向量場(chǎng)沿特定三維曲面S旋度的所有趨勢(shì)相加。右邊的線積分有個(gè)名字。它被稱為向量場(chǎng)的環(huán)流，它是向量場(chǎng)圍繞有向曲線C（在這種情況下是曲面S的邊界）循環(huán)的程度的度量。到目前為止，向量場(chǎng)相對(duì)于一個(gè)曲面的環(huán)流和總旋度相等的原因應(yīng)該是顯而易見的。表面內(nèi)部“相反”的旋度趨勢(shì)相互抵消，最終留下的是場(chǎng)的環(huán)流，即場(chǎng)在表面邊界的旋度。
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