本講適用于初二、初三，因為我們的奧數(shù)講解主要帶著學(xué)生學(xué)習(xí)有深度、新穎、競賽性的奧數(shù)知識和題目，所以只要有課堂上基本的知識儲備，都可以一起來學(xué)習(xí)，相信對你的奧數(shù)、數(shù)學(xué)思維，解題思路都大有裨益。

一、知識點解析

因式分解是一種重要的恒等變形，雖然它是初中階段學(xué)習(xí)的內(nèi)容，在高中階段也有著非常廣泛的應(yīng)用，比如，比較大小，判斷函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式，解高次方程、超越方程等，因此，因式分解歷來是“高考”和數(shù)學(xué)競賽著重考察的熱點問題。

1. 基本知識

因式分解：把一個多項式分解成幾個非常數(shù)的多項式或單項式的積的形式叫做多項式的因式分解。多項式的因式分解是在給定的數(shù)域上進(jìn)行的，即要求各因式分解的系數(shù)是給定數(shù)域上的數(shù)。因此，一個多項式在某個數(shù)域上可能不能分解因式，而在另外的（更廣的）數(shù)域上也許是可以分解的。一般地，如果沒有特別指定的數(shù)域，則因式分解通常都是在有理數(shù)域上進(jìn)行的。

既約多項式：如果一個多項式在某數(shù)域上不能再分解，則稱它是此數(shù)域上的既約多項式。

因式分解的常用公式：

2. 基本方法

      初中教材中介紹了提取公因式法、逆用乘法公式法、配方法、分組分解法、十字相乘法、求根法，這些都是非常重要的基本方法，要牢固地掌握和靈活地運用。此外，在數(shù)學(xué)競賽中，還要掌握和運用如下一些方法：

（1）換元法：將待分解的多項式中某些特殊部分看作一個整體，用一個新的字母表示，使原來復(fù)雜的結(jié)構(gòu)簡化。

（2）雙十字相乘法：對于二元二次多項式的分解，可先用“十字相乘法”將二次項進(jìn)行分解，然后將局部分解的因式看成一個整體（字母），連同后面的一次項和常數(shù)項再采用十字相乘法進(jìn)行分解。

（3）待定系數(shù)法：將待分解的多項式表示成若干個含有待定系數(shù)的多項式的積的形式，得到一個恒等式。然后根據(jù)多項式恒等的性質(zhì)，比較對應(yīng)項的系數(shù)，或令變未知數(shù)取一些特殊值，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程組，解方程組求出待定系數(shù)，進(jìn)而得到多項式的分解。這種方法叫做待定系數(shù)法。

（4）主元法：對于多元多項式的分解，我們可選擇其中一個字母當(dāng)作變量，而將其他字母看成常數(shù)，其中當(dāng)作變通的字母稱為“主元”。這樣，多項式就變成了關(guān)于“主元”的一元多項式，這種選擇主元進(jìn)行多項式分解的方法叫做主元法。

3. 基本問題

（1）一元二次多項式的因式分解，常用的方法有：十字相乘法、配方法、求根法等。

（2）一元高次多項式的因式分解，常用的方法有：配方法、逆用乘法公式法、換元法、分組分解法等。

（3）二元二次多項式的因式分解，常用的方法有：主元法、分組分解法、雙十字相乘法、待定系數(shù)法等。

（4）多元（通常是二元、三元）高次多項式的因式分解，常用的方法有：配方法、逆用乘法公式法、換元法、分組分解法等。

這部分主要考察學(xué)生的對因式分解的了解及掌握，因式分解是后續(xù)奧數(shù)題基礎(chǔ)，屬于基本功。這部分題型種類繁多，要學(xué)好基礎(chǔ)知識，才能保證在因式分解方面的學(xué)習(xí)上超過別人，讓我們在例題和解答中一起學(xué)習(xí)吧。

二、例題

例1

分析：主元法

解答：

例2 （昆明市初中數(shù)學(xué)競賽題）

分析：主元法

解答：

例3

設(shè)n為正整數(shù)，因式分解：

例4

因式分解：

例5

因式分解：