中學(xué)代數(shù)式的問題，可以概括為四大類：計算，求值，化簡，論證．解代數(shù)式問題的關(guān)鍵是通過代數(shù)運(yùn)算，把代數(shù)作恒等變形．代數(shù)式恒等變形的重要手段之一是因式分解．它貫穿、滲透在各種代數(shù)式問題之中．

因式分解是在學(xué)習(xí)有理數(shù)和整式四則運(yùn)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行的．它為以后學(xué)習(xí)分式運(yùn)算、解方程和方程組及代數(shù)式和三角函數(shù)式的恒等變形提供必要的基礎(chǔ)．所以因式分解是中學(xué)代數(shù)教材的一個重要內(nèi)容．它具有廣泛的基礎(chǔ)知識的功能．

由于進(jìn)行因式分解時要靈活綜合運(yùn)用學(xué)過的有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，并且因式分解的途徑多，技巧性強(qiáng)，逆向思維對中學(xué)生來講具有一定的深廣度，所以因式分解又是發(fā)展學(xué)生智能、培養(yǎng)能力、深化學(xué)生逆向思維的良好載體．正因?yàn)橐蚴椒纸饩哂辛己玫呐囵B(yǎng)能力和思維的功能，所以因式分解又是中學(xué)代數(shù)教材的一個難點(diǎn)．

本章的因式分解的內(nèi)容是多項(xiàng)式因式分解中一部分最基本的知識和基本的方法，它包括因式分解的有關(guān)概念，整式乘法與因式分解的區(qū)別和聯(lián)系，因式分解的四種基本方法，即提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法．教材最后歸納給出因式分解的一般步驟．

多項(xiàng)式因式分解是代數(shù)式中一部分重要內(nèi)容，它與前一章整式和后一章分式聯(lián)系極為密切，因式分解的教學(xué)是在整式四則運(yùn)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因式分解方法的理論依據(jù)就是多項(xiàng)式乘法的逆變形．這部分內(nèi)容在將分式通分和約分時有著直接的應(yīng)用．因式分解在解方程以及將三角函數(shù)式進(jìn)行恒等變形等方面也經(jīng)常用到．因此，在教學(xué)中對這部分內(nèi)容應(yīng)給予足夠的重視．

因式分解的概念是把一個多項(xiàng)式化成幾個整式的積的形式．教材在引言中是結(jié)合本章前面的插圖闡述這一概念的，也可以與小學(xué)數(shù)學(xué)里因數(shù)分解的概念類比予以說明．在教學(xué)時對因式分解這一概念不宜要求學(xué)生一次徹底了解，應(yīng)該在講授因式分解的四種基本方法時，結(jié)合具體例題的分解過程和分解結(jié)果，說明這一概念的意義，以達(dá)到逐步了解這一概念的教學(xué)目的．

提公因式法是因式分解的最基本的也是最常用的方法．它的理論依據(jù)就是乘法的分配律．運(yùn)用這個方法，首先要對欲分解的多項(xiàng)式進(jìn)行考察，提出字母系數(shù)的公因數(shù)以及公有字母或公共因式中的最高公因式．

關(guān)于運(yùn)用公式法，教材講了最常用的五個公式．運(yùn)用公式法的關(guān)鍵是熟悉各公式的形式和特點(diǎn)．對于初學(xué)者來說，如何根據(jù)要分解的多項(xiàng)式的形式和特點(diǎn)，來選擇應(yīng)該運(yùn)用什么公式，往往不很容易．這也是運(yùn)用公式法的難點(diǎn)．教材注意分析實(shí)例，指明思路，交代方法，以便克服難點(diǎn)．

分組分解法是前兩種方法的綜合運(yùn)用．教材中分兩類．一類是分組后能直接提公因式的，一類是分組后能運(yùn)用公式的．由于多項(xiàng)式的形式各異，分組的方法也有所不同，要具體問題具體分析；并且要預(yù)見到分組后分解整個多項(xiàng)式的可能性．因此，相對來說，分組分解法較前面兩種方法難些．教學(xué)時，要根據(jù)教材的層次，先易后難，最后再講略帶綜合性的因式分解的題目．

十字相乘法是適用于分解某些二次三項(xiàng)式的一種方法．教材分兩個層次安排這部分內(nèi)容．第一部分是二次三項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)為1的情況，第二部分是二次三項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)不為1的情況．這樣層次分明、條理清楚，十字相乘法靈活性強(qiáng)，難度較大，教學(xué)上要嚴(yán)格控制教學(xué)要求，不要隨意增加內(nèi)容和提高要求．

綜合運(yùn)用以上四種方法進(jìn)行多項(xiàng)式因式分解的內(nèi)容安排在本章的最后．對這部分內(nèi)容的教學(xué)，要根據(jù)不同的題目，進(jìn)行具體分析，靈活地綜合運(yùn)用各種方法來分解因式．這部分內(nèi)容是教學(xué)的難點(diǎn)．要從教學(xué)要求和學(xué)生的學(xué)習(xí)水平實(shí)際出發(fā)安排，不宜要求過高．

因式分解的一般步驟是總結(jié)各種分解方法后講述的．教學(xué)時要強(qiáng)調(diào)結(jié)合題目的形式和特點(diǎn)來選擇確定采用哪種方法．四種方法是彼此有聯(lián)系的，并不是一種類型的多項(xiàng)式就只能用一種方法來分解因式．教學(xué)時要讓學(xué)生學(xué)會具體問題具體分析的方法．

新知識點(diǎn)

(1)因式分解：把一個多項(xiàng)式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個多項(xiàng)式分解因式．

(2)公因式：一個多項(xiàng)式每一項(xiàng)都含有的相同的因式叫做這個多項(xiàng)式的公因式．

(3)確定公因式的方法：公因數(shù)的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的．

(4)提公因式法：一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式可以把這個公因式提到括號外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．

(5)提出多項(xiàng)式的公因式以后，另一個因式的確定方法是：用原來的多項(xiàng)式除以公因式所得的商就是另一個因式．

(6)如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“-”號，使括號內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的，在提出“-”號時，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號．

(7)因式分解和整式乘法的關(guān)系：因式分解和整式乘法是整式恒等變形的正、逆過程，整式乘法的結(jié)果是整式，因式分解的結(jié)果是乘積式．

(8)運(yùn)用公式法：如果把乘法公式反過來，就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法．

(9)平方差公式：兩數(shù)平方差，等于這兩數(shù)的和乘以這兩數(shù)的差，字母表達(dá)式：a2-b2=(a+b)(a-b)

(10)具備什么特征的兩項(xiàng)式能用平方差公式分解因式

①系數(shù)能平方，(指的系數(shù)是完全平方數(shù))

②字母指數(shù)要成雙，(指的指數(shù)是偶數(shù))

③兩項(xiàng)符號相反．(指的兩項(xiàng)一正號一負(fù)號)

(11)用平方差公式分解因式的關(guān)鍵：把每一項(xiàng)寫成平方的形式，并能正確地判斷出a，b分別等于什么．

(l2)完全平方公式：兩個數(shù)的平方和，加上(或者減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或者差)的平方．字母表達(dá)式：a2±2ab+b2=(a±b)2

(13)完全平方公式的特點(diǎn)：

①它是一個三項(xiàng)式．

②其中有兩項(xiàng)是某兩數(shù)的平方和．

③第三項(xiàng)是這兩數(shù)積的正二倍或負(fù)二倍．

④具備以上三方面的特點(diǎn)以后，就等于這兩數(shù)和(或者差)的平方．

(14)立方和與立方差公式：兩個數(shù)的立方和(或者差)等于這兩個數(shù)的和(或者差)乘以它們的平方和與它們積的差(或者和)．


(15)利用立方和與立方差分解因式的關(guān)鍵：能把這兩項(xiàng)寫成某兩數(shù)立方的形式．

(16)具備什么條件的多項(xiàng)式可以用分組分解法來進(jìn)行因式分解：如果一個多項(xiàng)式的項(xiàng)分組并提出公因式后，各組之間又能繼續(xù)分解因式，那么這個多項(xiàng)式就可以用分組分解法來分解因式．

(17)分組分解法的前提：熟練地掌握提公因式法和公式法，是學(xué)好分組分解法的前提．

(18)分組分解法的原則：分組后可以直接提出公因式，或者分組后可以直接運(yùn)用公式．

(19)在分組時要預(yù)先考慮到分組后能否繼續(xù)進(jìn)行因式分解，合理選擇分組方法是關(guān)鍵．

(20)對于一個一般形式的二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式x2+px+q，如果將常數(shù)項(xiàng)q分解成兩個因數(shù)a，b，而a+b等于一次項(xiàng)系數(shù)P，那么它就可以分解因式．

即x2+px+q=x2+(a+b)x+ab

=(x+a)(x+b)

這里的關(guān)鍵：掌握a，b與原多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系，這個關(guān)系主要是：ab=q，a+b=p

(21)十字相乘法：借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法．

(22)十字相乘法分解因式：主要用于某些二次三項(xiàng)式的因式分解．

(23)對于一個一般形式的二次項(xiàng)的系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式ax2＋bx＋c，用十字相乘法分解因式的關(guān)鍵：找出四個因數(shù)，使a1a2=a，c1c2=c，a1c2＋a2c1=b．

這四個因數(shù)的找出，要經(jīng)過反復(fù)嘗試，為了減少嘗試的次數(shù)，使符號問題簡單化，當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)時，應(yīng)先把負(fù)號提出，使二次項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)分解因數(shù)時，只考慮分解為兩個正數(shù)的積．

即ax2＋bx＋c=a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2

＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)

(24)二次三項(xiàng)式ax2＋bx＋c在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式的充分必要條件是b2-4ac為一個有理數(shù)的平方．

(25)因式分解的一般步驟：

①如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；

②如果各項(xiàng)沒有公因式，那么可以嘗試運(yùn)用公式來分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組分解法或其他方法分解．

(26)從多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)來考慮用什么方法分解因式．

①如果是兩項(xiàng)，應(yīng)考慮用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式來分解因式．

②如果是二次三項(xiàng)式，應(yīng)考慮用提公因式法，完全平方公式，十字相乘法．

③如果是四項(xiàng)式或者大于四項(xiàng)式，應(yīng)考慮提公因式法，分組分解法．

(27)因式分解要注意的幾個問題：

①每個因式分解到不能再分為止．

②相同因式寫成乘方的形式．

③因式分解的結(jié)果不要中括號．

④如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，一般要提出“-”號，使括號內(nèi)的第一項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)．

⑤因式分解的結(jié)果，如果是單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，把單項(xiàng)式寫在多項(xiàng)式的前面．