從對分析力學無需觀測的思考，到理解Bessel方程的實質(zhì)在復(fù)平面，再到反思中國古代哲學和康德哲學，作者闡述了“形而上”對物理學的重要意義。在作者看來，要突破現(xiàn)有理論，向物理學問更深層次的問題進而突破，需要形而上。

理論力學經(jīng)典教材中對分析力學的一句評價是可疑的

我十八、九歲的時候希望自學物理，問顏家壬先生必修課程并求推薦教材。關(guān)于理論力學課程，他建議使用周衍柏先生的《理論力學教程》。周先生于1961年出版《理論力學》，增刪了一些內(nèi)容之后，1979年易名為《理論力學教程》繼續(xù)出版，累計印刷數(shù)量估計已經(jīng)在百萬上下。其中第三版名列高等教育出版社的“物理學基礎(chǔ)理論課程經(jīng)典教材”系列。

當年學到該書的分析力學部分，被一句不輕不重的評論弄得有點不知所措。這句話，至今還在。不過，很多老師多年來使用這本書作為參考教材，卻沒有注意到這句話。

要學習一個“引以為戒”的知識，該有多么的忐忑。可是，把分析力學中的每一個字都掰開來，也看不到由于數(shù)學推理較多而可能發(fā)生不良傾向的痕跡。

拉格朗日（1736-1813）是分析力學的創(chuàng)始人。1788年，距離牛頓出版《原理》（1687）差不多整整一個世紀。在牛頓力學中，力是一個關(guān)鍵概念。但是，拉格朗日顛覆性地重塑了牛頓力學，放棄了力這個概念。在拉格朗日力學中，實空間裝不下這個理論系統(tǒng)，需要的是相空間。沒有任何直接觀測意義的動能減勢能而構(gòu)成的拉格朗日量，L=T-V，它對時間的積分即所謂的作用量，反而具有基本的意義。

可以追問如下問題：（1）既然拉格朗日量不具有觀測意義，動能加勢能而構(gòu)成的哈密頓量，H=T+V，就有觀測上的意義嗎？（2）為什么不具有觀測意義的量，居然是物理學的一部分？物理學不是描述客觀規(guī)律的理論嗎？不具有觀測意義的量也是客觀規(guī)律的一部分?

這些問題，不僅僅是物理學的一部分，而且是物理學中最有生命力的部分。如果要創(chuàng)造出新的物理學，只能從這里想辦法。不是每位初學者都需要挖根，但是每位科學的學習者，都必須知道根何在。

既然人類行走在復(fù)空間里，思維必定需要更大的空間

本學期岳麓講壇的討論環(huán)節(jié)中，有位觀眾從網(wǎng)絡(luò)上發(fā)過來一個問題：為什么實數(shù)域中的數(shù)學物理方程，需要放到復(fù)數(shù)域中才能理解？參看下面的例子。

Bessel方程是一個定義在實數(shù)域中的二階常微分方程，也是最為常見和簡單的數(shù)學物理方程，形式如下：

這個方程有兩個解。x=0是方程的奇異點，而不是解的奇異點。有一個解包含了點x=0，另外一個解不包含這一點。這兩個解分別稱為第一類和第二類Bessel函數(shù)。它們都不是初等函數(shù)，而是超越函數(shù)，可以用無窮級數(shù)表示，也可以用積分形式來表示。而且它的積分表示，只能定義在復(fù)平面上，

積分回路必須包圍t=0的點。這個積分，其實就是Bessel方程的積分形式。

如果建立方程，僅僅從測量的角度，實數(shù)域就夠了。但是，如果要認識并理解這個問題，必須深入到復(fù)平面上去。

那么，實平面和復(fù)平面，到底哪一個是問題的本質(zhì)平面? 這是問題的第一層次。問題的第二層次是：什么是真實？什么是實在？什么是存在？問題還有沒有第三層次? 肯定有，但是我問不出來。

作為理論物理專業(yè)的從業(yè)者，我會說，復(fù)平面是本質(zhì)的！而自然規(guī)律的真實，是一種理性的真實。

形而上學（metaphysics）不同。形而上學關(guān)心的是，比這些問題還要基礎(chǔ)的問題。根據(jù)《斯坦福哲學百科全書》（Stanford Encyclopedia of Philosophy）的說法，形而上學研究三大問題：Being As Such, First Causes, Unchanging Things；中文的含義是：自在，元因和不變。注意，物理學并不需要形而上學的全副武裝，這就是我刻意區(qū)分形而上和形而上學的原因。物理學的發(fā)展也許需要在形而上學中吸收營養(yǎng)，進而運用到物理問題上，但是形而上學不是物理學。物理學需要的形而上，終究還是物理學，不過不是直接聯(lián)系經(jīng)驗的那部分物理學。

因此，盡管人類的五官只能直接感受到可觀測的量，但是這些量的運行卻是在復(fù)空間里。不要說人類的思維僅僅局限在可觀測量是不夠的，只關(guān)注復(fù)空間里發(fā)生的事情，也是遠遠不夠的。人類要放眼更廣闊的時空，才能達到在實空間作出顛覆性的創(chuàng)造。

中國古代哲學批判

2014年，北京大學中文系的李零先生有篇重要的文章《<周易>是本什么樣的書》。他認為，“在《易傳》的闡釋下，《易經(jīng)》才成為中國自然哲學的源泉之一。陰陽講世間萬象的二元對立，五行講世間萬象的五位循環(huán)，它們一靜一動，構(gòu)成古人解釋世界的兩把鑰匙。我說的（中國古代的）自然哲學，就是指這兩把鑰匙?！?中國古代哲學的這兩點，幾乎能包羅萬象，因而具有極其強大的解釋功能。這里給一個分析力學的例子——虛功原理?！疤摗?，說明不是“實“。然而，全部的牛頓力學理論體系，都可以從這個”虛“中推導(dǎo)出來——這是一個奇跡！在虛功原理的旁邊，我摘抄了《六韜·武韜》中的幾個字作為感概，“道在不可見，事在不可聞，勝在不可知”。陰陽和五行放在這里，作為虛功原理的解說，是多么的合適！

但是，這些認識，完全是從人和人之間關(guān)系的認識中提煉出來的道理，不是客觀事物和規(guī)律的反映。它僅僅還局限在經(jīng)驗的層面，不能進行推理和運算，也就不能揭示出自然理性真實的存在。

幾乎所有的科學家，包含楊振寧、陳省身等等，都覺得中國古代哲學沒有經(jīng)過充分的發(fā)展，僅僅是經(jīng)驗的一些簡練描述。這些描述，動靜相濟，畫面美麗，朗朗上口，任人解說，就是沒有定量上的預(yù)言能力。

分析力學是康德哲學的物理實現(xiàn)

圖片來自：安徽科技，2002年第9期。高亮為筆者所加

拉格朗日之前，牛頓力學一統(tǒng)天下。以牛頓的理解，他的力學是經(jīng)驗的直接提煉，連假設(shè)都不需要，因此他鐵口直斷“我不做假設(shè)”。因此，牛頓的思想中，沒有獨立于可觀察現(xiàn)象的形而上。

果真如此嗎? 如果沒有形而上，就沒有虛數(shù)；沒有虛數(shù)，就沒有量子力學，遑論電腦、互聯(lián)網(wǎng)。在歷史上，科學上關(guān)鍵的突破來自于拉格朗日。他發(fā)現(xiàn)牛頓力學可以用形而上的思想統(tǒng)一起來。這些思想包括虛功原理、拉氏量、最小作用量原理、變分法、拉氏乘子法等等，這些才是現(xiàn)代科學的直接基礎(chǔ)。反過來，如果直接從牛頓定律出發(fā)，找不到任何通往當今世界的直接通道。拉格朗日（1736-1813）和康德（1724–1804）同年代，而且還同在普魯士科學院工作。以我的能力希望理解康德哲學，無異于希望騎自行車到月亮上去，好在我不需要這樣做，物理能幫我理解康德！

2014年，意大利理論和應(yīng)用力學聯(lián)合會主辦的刊物Meccanica（《力學》），發(fā)表了一篇編者按（Editorial），題目是“Lagrange and his Mecanique Analytique: from Kantian noumenon to present applications” （拉格朗日和他的《分析力學》：從康德的本體論到現(xiàn)代應(yīng)用）。文章認為，拉格朗日是一位最大的形而上學分析論者。這里的形而上學，指的就是康德認為的“獨立于經(jīng)驗”的意思；而這里的分析論者，指的是當年數(shù)學分析大發(fā)展的時期，拉格朗日是數(shù)學分析的大家。馬修（Mathieu，1835-1890）認為：假如我們想要找到客觀實在的特征，就必須不能求助于經(jīng)驗這樣一個概念；而是應(yīng)該求助于先驗。拉格朗日就是這樣做的。在他的分析力學中，虛功原理是一個公理。物理直接處理自然規(guī)律，但是形而上是物理的前身。分析力學是理性力學，也就是，不必求助于經(jīng)驗就可以直接建立起來。

結(jié)  語

理想定律的力學的世界是經(jīng)驗和現(xiàn)象級別的世界，而理解自然只能進入柏拉圖的世界才能完成?？档碌谋倔w論反映在拉格朗日分析力學著作的字里行間，如此完美和自洽，任何一幅示意圖，都會打破拉格朗日理想中的力學世界。

很喜歡Hadamard（1865-1963）如下的話：“The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain.” （在實數(shù)域中兩個真切之間的最短的路程經(jīng)過實數(shù)域）。希望讀者也喜歡。