已知圓的內(nèi)接四邊形ABCD，CD=BC，求證：CA2-CD2=AB·AD；

剛看完這道題，可能同學(xué)們會(huì)崩潰吧，兩個(gè)線段的平方相減等于另外兩個(gè)線段相乘，還就給了一個(gè)條件，這種類型題目的切入點(diǎn)確實(shí)不太好想，雖然事后看人家答案上給的方法看似挺容易，但是對(duì)于同學(xué)們來(lái)說(shuō)卻太難想到了，那么老師今天就給大家分享一下老師解答這道題的方法吧！

首先，兩個(gè)線段的平方相減，要么是直角三角形，可惜這里不是，那就沒(méi)有要么了，所以是否能轉(zhuǎn)換為相乘形式呢？所以，就有了CA2-CD2=（CA+CD）（CA-CD），那么這個(gè)CA+CD和CA-CD怎么構(gòu)造呢？或許已經(jīng)有同學(xué)可以想到了，但是下一步該怎么著是不是又沒(méi)啥著落呢？

如圖，我們以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑做圓，交AC及AC延長(zhǎng)線于F、E兩點(diǎn)，那么AF=CA-CD，AE=CA+CD，這個(gè)不難理解吧？

那么接下來(lái)，這倆玩意兒相乘的轉(zhuǎn)換有了，該干嘛呢？

當(dāng)然是找AD·AB啦，

如下圖，延長(zhǎng)AD交圓C于另一點(diǎn)M，另外設(shè)AB與圓C的另一交點(diǎn)為N，

那么現(xiàn)在開(kāi)始就要用上題中的已知條件了，CD=BC，可以知道AC為∠BAD的平分線，那么現(xiàn)在AC變?yōu)閳AC外一點(diǎn)和圓心C的連線了，而且∠DAC=∠BAC，所以AM=AB，AD=AN，沒(méi)問(wèn)題吧？如果這個(gè)不知道怎么證明的話，過(guò)點(diǎn)C分別作AM和AB的垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，和三角形全等慢慢研究，這里不多說(shuō)；

那么AM=AB的話，AD·AM=AD·AB，

等等，這里是不是出現(xiàn)了三條割線，那么割線定理該上場(chǎng)了吧！

所以AD·AM=AF·AE，（用AN和AB也行）

AM換成AB，則AD·AB=AF·AE，

再將AF和AE分別替換為CA-CF和CA+CE，

然后將CF和CE都替換為CD，

最終替換后得到AD·AB=（CA-CD）（CA+CD）=CA2-CD2；

    到這里整道題就結(jié)束了，當(dāng)然這道題也有其他方法，但是同學(xué)們不要用作業(yè)幫去搜索，那上面別人給的答案是錯(cuò)的，這道題本來(lái)是別人問(wèn)老師的，老師覺(jué)得題比較不錯(cuò)，有難度，所以放在這里給同學(xué)們分享一下。

    該上九年級(jí)的同學(xué)估計(jì)這會(huì)兒根本看不懂，沒(méi)事，等大家學(xué)完圓這一章節(jié)就基本清楚了。

    這道題還有其他方法，但是老師這里沒(méi)有，這還是現(xiàn)場(chǎng)給別人解答想出來(lái)的方法，所以有興趣可以自己琢磨琢磨。