1、弦切角： 如圖1，頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角,，為弦切角。

2、弦切角定理：弦切角，等于它所夾的弧AB所對(duì)的圓周角。如圖2，∠BAC為弦切角，弧AB為其所夾的弧，則有：∠BAC=∠BAD=∠BEA。

簡(jiǎn)證：∠BAC+∠BAD=90°------①

      ∠BDA+∠BAD=90°------②

①-②得：∠BAC=∠BDA。

若圖中出現(xiàn)的是∠AEB這種情況呢？則構(gòu)造以直徑為斜邊、弦為一直角邊的直角三角形來證明，然后利用圓周角定理說明相等即可。

性質(zhì)推論①：弦切角，等于它所夾的弧AB所對(duì)的圓心角的一半。

性質(zhì)推論②：兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角相等。

【提煉升華】在圓中，如果出現(xiàn)了切線和經(jīng)過切點(diǎn)的割線，則必存在弦切角。

3、切割線定理：從圓外一點(diǎn)，引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段的比例中項(xiàng)。

如圖3：PA與圓相切，PC與圓相交于B、C兩點(diǎn)，則有：PB:PA=PA:PC。變型得：PA²=PB×PC。

簡(jiǎn)證：如圖4，連接AB、AC，則根據(jù)弦切角定理，易證△APB∽△CPA，從而易得PB:PA=PA:PC。

   切割線定理的推論：從圓外一點(diǎn)，引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。如圖5，PB交圓O于A、B兩點(diǎn)，PD交圓O于C、D兩點(diǎn)，則有：

PA×PB=PC×PD。

【補(bǔ)充】若擔(dān)心直接用弦切角定理老師不給分，則可以簡(jiǎn)單證明∠BAP=∠BCA，證法如下：如圖6，連接OA，作OE⊥AB于E，根據(jù)圓周角定理和垂徑定理，易得∠EOA=∠ACB；根據(jù)切線的性質(zhì)和直角△角度的互余關(guān)系，易得∠BAP=∠EOA。故∠BAP=∠ACP。

    這兩個(gè)定理，初數(shù)人教版并沒有給出，但試題中又會(huì)涉及到，所以，補(bǔ)充學(xué)習(xí)，十分必要。接下來，我們看幾個(gè)中考題。   

【題1】（2017·烏魯木齊）如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點(diǎn)C，與AB的延長(zhǎng)線交于D．

（1）求證：△ADC∽△CDB；

（2）若AC=2，AB=1.5CD，求⊙O半徑．

【簡(jiǎn)析】（1）法一：直接用弦切角定理，秒得∠BCD=∠CAD。又因?yàn)?/span>∠D為公共角，故得證。

 法二：由圖可得∠BCD為弦切角，我們可以采取弦切角定理的證法來推導(dǎo)角度相等。過程如下：連OC，如下圖，根據(jù)切線的性質(zhì)和直徑所對(duì)圓周角的性質(zhì)，易證∠BCD=∠CAD；又因?yàn)?/span>∠D為公共角，故△ADC∽△CDB。

（2）設(shè)CD=4m，則AB=6m，OC=OB=3m。

     由勾股定理得：OD=5m。

     所以：BD=OD -BO=2m

   由（1）得：△ADC∽△CDB

     故有：BD：CD=BC：CA，代入解的：BC=1。根據(jù)勾股定理，便可求出直徑。

【題2】（2017·恩施州）如圖，AB、CD是⊙O的直徑，BE是⊙O的弦，且BE∥CD，過點(diǎn)C的切線與EB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，連接BC．

（1）求證：BC平分∠ABP；

（2）求證：PC²=PB·PE；

（3）若BE﹣BP=PC=4，求⊙O的半徑．

【簡(jiǎn)析】（1）因?yàn)?/span>BE∥CD，所以∠PBC=∠OCB -------①

            因?yàn)?/span>OB=OC，所以∠OBC=∠OCB -------②

            聯(lián)立①②得，∠PBC=∠OBC。得證。

（2）典型的切割線定理題。連接CE，直接用弦切角定理，便可以證相似。根據(jù)“等積變等比，等比找相似”的思想的逆思想，便可以證得結(jié)果。

  連接AC，CE。易證∠CAB=∠CEB=∠BCP。又因?yàn)?/span>∠P=∠P，故有△BPC∽△CPE。根據(jù)相似三角形的相似比，便可推導(dǎo)出結(jié)果。

（3）結(jié)合第（2）問的結(jié)果，利用方程思想便可解決。

 弦切角這個(gè)基本圖形，在圓周四處可見。我們來看幾個(gè)題吧！

【題1】（2017·鄂州）如圖，已知BF是⊙O的直徑，A為⊙O上（異于B、F）一點(diǎn)，⊙O的切線MA與FB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M；P為AM上一點(diǎn)，PB的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)C，D為BC上一點(diǎn)且PA=PD，AD的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E．

（1）求證：弧BE=弧CE；

（2）若ED、EA的長(zhǎng)是一元二次方程x²﹣5x+5=0的兩根，求BE的長(zhǎng)；

（3）若MA=6√2，sin∠AMF=1/3，求AB的長(zhǎng)．

【題2】（2017·天門）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD與過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為點(diǎn)D，AD交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，CB．

（1）求證：CE=CB；

（2）若AC=2√5，CE=√5，求AE的長(zhǎng)．

【題3】（2018·黃岡）如圖，AD是⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，OP⊥AD，OP與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，過B點(diǎn)的切線交OP于點(diǎn)C．

（1）求證：∠CBP=∠ADB．

（2）若OA=2，AB=1，求線段BP的長(zhǎng)．