李雪純

溫州市第八高級中學

一、案例背景

“高中數(shù)學建模的教學設計與教學轉(zhuǎn)型”是浙江省高中數(shù)學新課程標準的重要內(nèi)容。為了研究指向核心素養(yǎng)的課堂教學轉(zhuǎn)型，為廣大高中青年數(shù)學教師搭建更好的課堂教學研究平臺，及時交流高中數(shù)學的課程改革經(jīng)驗，提升高中數(shù)學教師執(zhí)教能力，因此由省浙江省教育廳研究室組織，由杭州二中承辦，開展課堂教學活動評審。本節(jié)課案例課題為《停車距離問題》，是課堂教學評審活動的課題之一，并獲得浙江省課堂教學評審活動一等獎第一名。本小節(jié)是普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）附錄2教學案例與評價案例中的第7個案例，旨在幫助教師更好地理解課程標準的要求，理解數(shù)學核心素養(yǎng)與內(nèi)容、教學、評價、考試命題的關(guān)系。內(nèi)容的編排上，以數(shù)學建模的形式，分析影響車輛停車距離問題的主要因素，并結(jié)合對應的事實數(shù)據(jù)，挖掘其中隱含的數(shù)學原理。在此基礎(chǔ)上，對所建立的模型，進行數(shù)據(jù)上的優(yōu)化，使之更契合現(xiàn)實情境。課堂的大部分時間在學生的合作探究數(shù)據(jù)處理的過程，讓學生在課堂有限的時間內(nèi)體會數(shù)學建模的過程，并學會探究，真正體現(xiàn)了學生在學，將課堂還給學生，讓學生通過自學、合作學習等途徑，培養(yǎng)思維品質(zhì)，學會分析問題的方法，從而培養(yǎng)核心素養(yǎng)。

二、案例理念

新的數(shù)學課程標準數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的。數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學學科核心素養(yǎng)既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體。本節(jié)課的內(nèi)容是停車距離問題，是一堂具有優(yōu)秀素材的數(shù)學建模課，主要是讓學生在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題。重點提升數(shù)學建模、數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng)。數(shù)學建?；顒邮菍ΜF(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的過程。本節(jié)課根據(jù)現(xiàn)實背景，建立急剎車的停車距離數(shù)學模型，理解數(shù)學模型中系數(shù)的意義，并根據(jù)模型得到的結(jié)果，就行車安全提出建議。

其中所對應的具體的核心素養(yǎng)如下：

1. 數(shù)學抽象：

根據(jù)現(xiàn)實背景，建立急剎車的停車距離數(shù)學模型，能夠從生活實際中抽象出數(shù)學問題，發(fā)展學生數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。

1. 數(shù)學建模：

本節(jié)課通過對急剎車停車距離問題的分析，使得學生抽象出具體的數(shù)學問題，在探尋問題本質(zhì)的過程中，體驗數(shù)學建模的過程，會選擇合適的數(shù)學模型表達所要解決的數(shù)學問題，發(fā)展學生數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

1. 數(shù)學運算：

在數(shù)學建模的過程中，借助某公路局對停車距離問題公布的試驗數(shù)據(jù)，處理數(shù)據(jù)，從而鍛煉數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

三、案例描述

【教學目標和目標解析】

知識與技能：

1. 經(jīng)歷從現(xiàn)實問題中確定變量、探尋關(guān)系、建立模型、計算系數(shù)、分析結(jié)果；

2. 能建立數(shù)學模型，并了解數(shù)學模型中的參數(shù)、結(jié)論的實際意義。

過程與方法：

1. 能從實際問題中抽象出數(shù)學問題，體會數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)；

2. 能夠通過數(shù)學運算，分析、處理數(shù)據(jù)，會選擇合適的數(shù)學模型表達要解決的數(shù)學問題，體會數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

情感態(tài)度價值觀：

1. 在分析處理數(shù)據(jù)的過程中，能夠運用數(shù)學思維進行分析，發(fā)現(xiàn)情境中的

數(shù)學關(guān)系，提出數(shù)學問題；

1. 在交流過程中，能夠用數(shù)學建模的結(jié)論和思想闡釋科學規(guī)律和社會現(xiàn)象；

2. 培養(yǎng)學生獨立思考，團隊協(xié)作的精神，鍛煉學生的自主探究的意志品質(zhì)，樹立科學的學習探索方式，落實數(shù)學建模等數(shù)學核心素養(yǎng)。

3. 培養(yǎng)學生生命意識：遵守法規(guī)尊重生命

【教學問題診斷分析】

本節(jié)課是停車距離問題，是物理課中運動學的基本內(nèi)容，學生在物理課中對物體的運動狀態(tài)有比較深入的學習，已經(jīng)具有一定的基本知識。但數(shù)學建模課程不同于傳統(tǒng)應用習題，學生缺少相應的數(shù)學建?；顒又R。停車距離問題是對于大多數(shù)高中生是能夠完成探究過程，是在教師的指導下能夠完成的一個非常好的案例。同時，學生習慣于解決一般性的應用題或習題，而缺少整體把握現(xiàn)實情境的分析和處理能力。本節(jié)課中，學生應經(jīng)歷確定影響停車距離的主要因素，建立急剎車的停車距離模型，確定參數(shù)，分析誤差，優(yōu)化模型，給出應用等幾個過程。在影響停車距離的主要因素分析中，讓學生明晰為什么選擇速度作為主要變量，理解理論背景建立數(shù)學模型，并借助誤差分析的方法進行模型的優(yōu)化與應用，升華建模的過程。

【教學重點與難點】

重點：結(jié)合理論分析建立數(shù)學模型，體會數(shù)學建模的過程

難點：在進行數(shù)學模型建立時，通過誤差分析、數(shù)學運算，優(yōu)化數(shù)學模型。

【教學流程】

【教學設計】

（一）生活實際引入

（播放新聞視頻）

師：追尾事故往往給人們出行安全帶來不少的隱患，那么造成追尾事故的原因是什么呢？

生：沒有保持好安全車距

師：在一定的車速下，車輛需要保持多少米的安全距離呢？

師：在我國道路交通安全條例第80條中明確規(guī)定，高速公路上，車速超過100公里每小時時，應當與同車道前車保持100米以上的車距。

問題1：這個“100米以上”的依據(jù)是什么呢？

師：本節(jié)課，我們就帶著這個問題，一起來研究安全停車距離問題（板書）

設計意圖

1.以新聞視角的形式引出課題，吸引學生的注意力，思考追尾事故多發(fā)的社會問題，從而引導抽象出數(shù)學問題，讓學生自然的體會數(shù)學抽象的過程，引導學生關(guān)注社會實際情況。

2.通過法律法規(guī)的相關(guān)規(guī)定，結(jié)合實際法規(guī)提出“保持100米以上”的依據(jù)是什么的問題，從而引出停車距離問題，引起學生的思維沖突與關(guān)注，引起學生的學習興趣與好奇心。

（二）聯(lián)系實際 分析問題

問題2：影響停車距離的因素是什么？（ppt播放）

師：那么這個距離會受到哪些因素的影響呢？

生：車況、路況、天氣情況、車速……

追問：其中關(guān)鍵因素是什么？

生：車速（板書）

師：對，就是車速，本節(jié)課，我們控制其他影響因素不變，一起探尋停車距離與車速之間的關(guān)系，在物理中，我們把這種方法稱之為什么？

生：控制變量法

設計意圖

停車距離問題是一個多變量問題，研究不同物理量對安全停車距離的影響，使學生明白研究問題的角度可以多樣化，要關(guān)注到各種因素。但是在研究分析問題時，為了更準確的分析關(guān)系，我們往往采用控制變量的方式，抓住主要因素，控制其他因素不變，從而分析實際問題。

師：老師從剛才的新聞事件中進行提煉，模擬了追尾的過程，請你關(guān)注車速v，嘗試分析停車距離d與行駛速度v的關(guān)系。（播放視頻）

問題3：如何建立停車距離d關(guān)于行駛速度v之間的函數(shù)關(guān)系？

設計意圖

停車距離問題，先從物理角度分析得出確定的函數(shù)模型，而且他的運動狀態(tài)對于具有一定物理基礎(chǔ)的高中學生是容易推導給出的。但也要讓學生明白，很多實際生活中的問題是沒有確定的模型的，那么就要先收集數(shù)據(jù)，然后分析數(shù)據(jù)特點，然后從散點圖擬合的角度去擬合函數(shù)模型。同時，很多實際生活中的問題是應該先分析具體問題背景，從背景出發(fā)研究函數(shù)模型，這樣具有更好的科學依據(jù)。

師：同學們通過理論分析（板書），我們可以知道它就是二次函數(shù)關(guān)系。那現(xiàn)在可以解決上課一開始的問題了嗎？

生：還需要求解系數(shù)

師：既然方案2更優(yōu)一些，那么我們把關(guān)注點更多的放在它上，請同學們觀察點的位置分布，你還有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：分布在模型圖象的兩側(cè)，速度小的點分布在下方，速度大的點分布在上方

師：結(jié)合同學們剛剛的發(fā)現(xiàn)，你還有什么其他模型優(yōu)化的方式嗎？

生：分段、分類

師：我們得到了3種方案模型，再借助最小二乘法則或調(diào)整函數(shù)類型進行模型的優(yōu)化。

設計意圖

    進一步讓學生進行模型的優(yōu)化，通過生活實際中的法律規(guī)定，幫助學生理解，對于數(shù)學建模而言，我們不僅僅需要從數(shù)學理論層面進行誤差分析與模型優(yōu)化，用數(shù)據(jù)生成通過給定離散型指點的二次樣條曲線，還需要結(jié)合實際進行調(diào)整與優(yōu)化。

（四）回顧方法提煉策略

問題5：解決停車距離問題主要有哪幾個步驟？

師：這就是數(shù)學建模的過程

定義：數(shù)學建模就是利用數(shù)學知識、方法、思想，從一個實際問題出發(fā)，將它抽象歸結(jié)為一個數(shù)學問題，在此基礎(chǔ)上建立數(shù)學模型解決問題的過程。

（五）回歸生活解決問題

師：回到上課一開始的問題中來，你認為法規(guī)中“100米以上”的依據(jù)是什么？

生：當速度達到100公里每小時時，停車距離達到81.8m

師：從數(shù)據(jù)上，我們得到了81.8m，實際角度分析，可能存在一定誤差，現(xiàn)實生活中還可能存在駕駛員違規(guī)等現(xiàn)象。法規(guī)為了盡可能保證行駛安全，才規(guī)定了100米以上的要求。正所謂“道路千萬條 行車第一條 行車不規(guī)范 親人淚兩行”，老師也希望各位在座的未來駕駛員們能夠遵守法規(guī)，尊重生命。

師：那么為了更好的使用該模型，人們給出了更加直觀的停車距離示意圖。

師：（介紹示意圖）通過這樣的示意圖，我們能更方便的找到速度所對應的停車距離。這就是模型的應用，那么還有什么應用呢？請看短片。（視頻）

師：人工智能對駕駛有什么作用？

師：人工智能縮短反應距離，實際上就是減小α的值，那么系數(shù)β可以通過什么進行改良？

（六）總結(jié)

師：本節(jié)課我們通過實際問題抽象出數(shù)學問題，結(jié)合理論背景，借助數(shù)學運算體會了數(shù)學建模的過程，如果沒有理論背景，你打算如何分析？

師：可以借助收集到的數(shù)據(jù)，畫出散點圖，再輔助模型的建立與求解。那么數(shù)學不僅僅是一門學科，更是未來科技發(fā)展中的一個不可或缺的技術(shù)，因此我們要以數(shù)學的眼光看待世界，用數(shù)學的技術(shù)發(fā)展未來

（七）拓展延伸嘗試建模

師：以小組為單位，選擇下面給出的生活實際問題，合作討論嘗試建立對應的數(shù)學模型并說說分哪幾個步驟進行數(shù)學建模

①不同身高的未成年男性的體重和身高的模型

②我國在2000年至2018年的人口增長模型

建模競賽鏈接（2019高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽）

《“薄利多銷”分析》

《機場的出租車問題》

設計意圖

本環(huán)節(jié)意在讓學生能夠嘗試從生活問題中抽象出數(shù)學問題，體會數(shù)學建模的過程，體會無物理理論背景情況下的實際問題應如何分析。同時，給學生提供大學生數(shù)學建模競賽的生活問題，引發(fā)學生深入研究數(shù)學建模的興趣。

四、案例反思

停車距離問題的研究過程是數(shù)學建模的過程，在建模過程中，學生需要根據(jù)實際問題進行數(shù)據(jù)的收集與處理，從而建立相應的模型、優(yōu)化模型并應用于實際問題。而結(jié)合本節(jié)課課題的實際情況，引導學生從實際生活中提出問題，結(jié)合學生已有的物理理論背景，建立相應的模型再通過數(shù)據(jù)的處理進行模型的優(yōu)化，從而解決實際問題。通過本節(jié)課的準備與評審活動，我有以下幾點反思：

（1）課堂教學模式的變革體會。

    相比較傳統(tǒng)的“老師講學生聽”的教學模式，近年來，教育工作者們一直在探索更高效的課堂，而合作探究就是探索過程中一個非常有效的課堂模式。通過在課堂教學中設計相應的合作探究環(huán)節(jié)，使得更多的學生能夠參與到課堂中來。這種模式要求授課教師在課前需做好相應的小組分工，在課堂上給出明確的小組合作任務，并給學生充分的時間進行小組合作探究，從而讓學生體會、領(lǐng)悟一節(jié)課的精髓，提升自主學習、自主歸納的能力。正所謂，授人以魚不如授人以漁，本節(jié)課，結(jié)合杭二中學生的特點，我將本節(jié)課的重點從數(shù)學模型的探究，調(diào)整到數(shù)據(jù)處理與數(shù)學模型的優(yōu)化上來，讓學生充分進行探究，分享各種方法在實現(xiàn)數(shù)學建模過程中的優(yōu)與劣，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)，從而提升學生的綜合能力。

（2）數(shù)學建模課堂的模式探究。

數(shù)學建模的傳統(tǒng)模式是提出問題、建立模型、求解模型、檢驗結(jié)果、完善模型，在實際生活中確定變量，通過收集到的數(shù)據(jù)，結(jié)合畫出的散點圖，尋找擬合程度較高的函數(shù)模型，再進行模型的分析與優(yōu)化。

但是根據(jù)杭二中高二學生的實際情況，對于停車距離這一問題，學生早已在高一時就掌握了勻減速直線運動與勻速直線運動，對于該實際問題的物理機理非常熟悉，因此，我認為數(shù)學建模的過程可以借助物理背景確定數(shù)學模型，并將重點落在系數(shù)的求解與模型的優(yōu)化，這樣的設計更貼合學生學情，符合學生的最近發(fā)展區(qū)。

（3）本節(jié)課的不足。

本節(jié)課堂在時間的把控上，我認為還是需要有所提高的，在教學設計的最后，我還做了“延伸拓展嘗試建?！钡膽迷O計，希望讓學生能夠通過其中給出的課題，回顧數(shù)學建模的過程，并鏈接高教社杯大學生數(shù)學建模競賽，給學生拓寬視野，對數(shù)學建模產(chǎn)生更濃厚的興趣。但是作為一名青年教師，我的教學經(jīng)驗還有很多的不足，還需要有更多深入的學習與提升。希望通過此次比賽，我能夠更關(guān)注自身平時的課堂，多多學習其他優(yōu)秀教師的長處，繼續(xù)在教學的道路上砥礪前行。