摘  要：《漢書·律歷志》將一至萬的發(fā)展分為“由數(shù)起”和“大備”兩階段。結(jié)合各方面證據(jù)可確定“由數(shù)起”階段只產(chǎn)生了個位、十位數(shù)字。河圖是《易·系辭》中的“天地之?dāng)?shù)”，內(nèi)涵是一至十的順序排列，作用是作為標(biāo)準(zhǔn)向公眾推廣一至十這些數(shù)的概念及數(shù)數(shù)的計(jì)算方法?！按髠洹彪A段，“百”字的出現(xiàn)形成了位值制的雛形，洛書是《易·系辭》中的“大衍之?dāng)?shù)”,它伴隨著“千”字出現(xiàn)，內(nèi)涵為加法的進(jìn)位規(guī)則集，洛書的出現(xiàn)也標(biāo)志著加法的形成。

中圖分類號：B22　    文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A　　      文章編號：

被視為中華民族文明之源的河圖、洛書，人們只能大致確定其內(nèi)容為數(shù)，而不知道其確切內(nèi)涵。另在文字起源的假說中雖然包含河圖、洛書說，但人們卻無法確定河圖、洛書的具體作用，這導(dǎo)致許多人視河圖、洛書為神話和傳說，甚至懷疑它們的真實(shí)性?！逗訄D、洛書的傳承途徑考》提出了數(shù)字八卦概念及三種記事方式并存的理論，從傳承途徑上展示出河圖、洛書真實(shí)可信的一面，并確定應(yīng)在數(shù)學(xué)和文字學(xué)上考證河圖、洛書的內(nèi)涵^[1]。鑒于問題復(fù)雜，筆者先以本文從數(shù)理哲學(xué)角度剖析河圖、洛書最為基礎(chǔ)與核心的內(nèi)涵，消除人們對河圖、洛書真實(shí)性的懷疑；之后再另行撰文結(jié)合乾坤、象數(shù)、書契等概念，剖析河圖、洛書在文字起源過程中的具體作用。為此應(yīng)回顧一下前人在數(shù)學(xué)上解讀河圖、洛書內(nèi)涵的歷史，以縮小研究范圍并找到科學(xué)合理的研究方法。

一、前人在數(shù)學(xué)上解讀河圖、洛書內(nèi)涵的歷史

南宋朱熹（公元1130—1200年）、蔡元定（公元1135—1198年）認(rèn)為，河圖是傳世本《易·系辭》中的“天地之?dāng)?shù)”，即“天一地二，天三地四，天五地六，天七地八，天九地十”^[2]683-689，是數(shù)的起源，這一解讀有道理但需進(jìn)一步考證。南宋楊輝（生卒不詳）解讀河圖為縱橫圖，洛書為三階幻方^[3]。他對河圖的解讀除數(shù)字游戲的功用外，無實(shí)質(zhì)性用途，基本沒人認(rèn)可；但對洛書的解讀，由于所用數(shù)字組合是一種客觀存在，在眾多解讀中獲得了最多認(rèn)可。筆者認(rèn)為楊輝的結(jié)論不能成立，因?yàn)槲覈盼墨I(xiàn)中沒有記載幻方的應(yīng)用，幻方在宋代之前不具實(shí)用性，包含幻方的矩陣屬于近現(xiàn)代工程數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，所以從實(shí)用性的角度看，幻方不具備文明之源的特征。李約瑟（公元1900—1995年）也提出過質(zhì)疑，他說“在13世紀(jì)以前，幻方的發(fā)展明顯地與數(shù)學(xué)思想的主流相分離”^[4]23。

清李光地（公元1642—1718年）有“河圖加減之原”“洛書乘除之原”^[2]786-787的結(jié)論。只是李光地給出的數(shù)字組合相當(dāng)牽強(qiáng)，使得他的結(jié)論無人認(rèn)可。并且在不能整除時需要有分?jǐn)?shù)才能完成除法運(yùn)算，所以分?jǐn)?shù)必然先于除法出現(xiàn)，《左傳·隱公元年》中的“大都不過三（分）國（都）之一”被認(rèn)為是文獻(xiàn)中最早的分?jǐn)?shù)，出土文物商鞅量中有類似文字，這種類似分?jǐn)?shù)的文字未脫離對具體事物如“國（都）”進(jìn)行分割的情形、是否抽象至數(shù)的層面尚不確定。稍晚的清華簡《算表》中出現(xiàn)了用單個漢字表示的分?jǐn)?shù)，用兩數(shù)組合表示、分子大于等于二且不與具體事物交織的分?jǐn)?shù)在秦簡中才出現(xiàn)，說明分?jǐn)?shù)成熟、除法出現(xiàn)的時間應(yīng)較晚，而乘除法互逆、二者應(yīng)是相伴產(chǎn)生的，這樣就將“洛書乘除之原”排除了，詳情筆者將另行撰文剖析。

二、考證河圖、洛書數(shù)學(xué)內(nèi)涵的方法與范圍

但李光地的解讀中，加減乘除的基礎(chǔ)性、實(shí)用性與文明之源的特征相符，且它們的產(chǎn)生年代久遠(yuǎn)以至于難以查證，也可能與河圖、洛書的出現(xiàn)時間相符。所以李光地的解讀具備一定的科學(xué)性，我們應(yīng)該堅(jiān)持他這種注重基礎(chǔ)性、實(shí)用性的研究方法，并結(jié)合近年考古學(xué)、文獻(xiàn)學(xué)的研究成果，更加科學(xué)合理地解讀河圖、洛書的內(nèi)涵。

最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)是正整數(shù)概念，我國一直延用的正整數(shù)屬十進(jìn)位制正整數(shù)，可立足于數(shù)字變化追溯其發(fā)展歷程。吳文?。ü?919—2017年）認(rèn)為“十進(jìn)位位值制記數(shù)法是中華民族的創(chuàng)造，是世界上絕無僅有的獨(dú)特創(chuàng)造”，“這一記數(shù)法最遲在《九章算術(shù)》成書時（公元1世紀(jì)）就已十分成熟；而在外國，印度也是最早在6世紀(jì)末才出現(xiàn)”^[5]。十進(jìn)位位值制記數(shù)法簡稱十進(jìn)位制，包括十進(jìn)制和位值制兩種規(guī)則，十進(jìn)制規(guī)則即滿十進(jìn)一規(guī)則；位值制規(guī)則是指同一個數(shù)在不同位置上表示的數(shù)值不同，如1314中，前邊的1表示一個10³,即一千，后邊的1表示一個10¹，即一十。“甲骨文中首次出現(xiàn)'百’、'千’、'萬’三個數(shù)名，形成了較為系統(tǒng)的十進(jìn)制”^[6]144，李約瑟依據(jù)甲骨文中的這些數(shù)字也傾向于十進(jìn)位制產(chǎn)生于中國^{[4] 23}，對這些數(shù)字的產(chǎn)生過程，《漢書》中有更為具體地記載。

《漢書·律歷志》載有“自伏羲畫八卦，由數(shù)起，至黃帝、堯、舜而大備”、“數(shù)者，一、十、百、千、萬也，所以算數(shù)事物，順性命之理也”^{[7]《律歷志》}，將一至萬的發(fā)展分為“由數(shù)起”和“大備”兩階段。至于兩階段各產(chǎn)生了什么數(shù)字，因?yàn)閿?shù)必然是由小到大、逐步積累著發(fā)展，結(jié)合數(shù)字八卦是一至十的子集，河圖也只包含一至十，且個、十位數(shù)字出現(xiàn)于史前考古材料中，百、千、萬首現(xiàn)于甲骨文中，表明“由數(shù)起”階段應(yīng)當(dāng)只產(chǎn)生了個、十位數(shù)字。與“大備”相對應(yīng)，傳世本《易·系辭》有“大衍之?dāng)?shù)五十，其用四十有九”，以往的解讀雖能湊出五十，卻都體現(xiàn)不出“大衍”功能，因“天地之?dāng)?shù)”、“大衍之?dāng)?shù)”與“河出圖，洛出書”前后呼應(yīng)，既然朱熹、蔡元定推測河圖為“天地之?dāng)?shù)”，順此可推測洛書為“大衍之?dāng)?shù)”，再尋求證據(jù)支持這種推測。

靜態(tài)的數(shù)字僅表示記數(shù)結(jié)果，它們必然對應(yīng)著一定的動態(tài)計(jì)算方法，動靜結(jié)合才能全面深入剖析數(shù)的發(fā)展歷程。“正如加法是代替較為繁重的數(shù)數(shù)求答案的辦法一樣，乘法是加法的簡化，它把許多加數(shù)'疊在一起’”^{[4] 25},數(shù)數(shù)和加法是較乘法更為基礎(chǔ)的計(jì)算方法，數(shù)數(shù)亦稱計(jì)數(shù)，即數(shù)事物個數(shù)的過程，逐個地計(jì)算事物個數(shù)稱為逐一計(jì)數(shù)，按幾個一群計(jì)數(shù)稱為分群計(jì)數(shù)。因上文已排除乘除法，故與河圖、洛書對應(yīng)的計(jì)算方法應(yīng)僅限于數(shù)數(shù)和加減法。

三、“由數(shù)起”階段，數(shù)的發(fā)展歷程及河圖的內(nèi)涵

下面詳細(xì)考證“由數(shù)起”階段個、十位數(shù)字的發(fā)展歷程，在此過程中使用的計(jì)算方法及河圖所起的作用，進(jìn)而得出河圖的內(nèi)涵。

（一）數(shù)字在文字起源過程中的先導(dǎo)作用

數(shù)字先于其它文字產(chǎn)生。宋朝已有“書始于契，契以紀(jì)數(shù)，故首數(shù)”^[8]的結(jié)論；于省吾（公元1896—1984年）也有“雖然幾個積畫字（注：指一、二、三、四）極其簡單，但又極其重要，因?yàn)樗俏覈淖种畡?chuàng)始，后來才逐漸發(fā)達(dá)到文字紀(jì)事以代表語言”^[9]97。其實(shí)東漢文獻(xiàn)已經(jīng)清楚地記載了這一點(diǎn)，《河圖、洛書的傳承途徑考》所引《漢書·律歷志》的“自伏羲畫八卦，由數(shù)起”；《說文解字》的“惟初太始，道立于一，造分天地,化成萬物”、“古者包羲氏之王天下也，仰則觀象于天，俯則觀法于地，視鳥獸之文與地之宜，近取諸身、遠(yuǎn)取諸物，于是始作易八卦”，證明東漢時人們知道八卦曾是用數(shù)字記錄的占筮結(jié)果、為文字的起源。“在半坡出土的陶器上有許多刻劃符號，其中被辯認(rèn)出來的數(shù)字符號有五、六、七、八、十和二十等六個”^[6]130，表明考古發(fā)現(xiàn)的最早文字是數(shù)字、也支持這一結(jié)論。人們之所以迷失了這一認(rèn)知，是因?yàn)楹髞頂?shù)字八卦被陰陽八卦取代了?！稘h書·五行志》載“董仲舒治公羊春秋,始推陰陽”^{[7]《五行志》}，表明是董仲舒（前175—前104年）開始以陰陽結(jié)合五行解釋災(zāi)異的，這是陰陽八卦產(chǎn)生的前提?！稘h書·儒林傳》載 “喜好自稱譽(yù)，得易家候陰陽災(zāi)變書，詐言師田生且死時枕喜膝，獨(dú)傳喜，諸儒以此耀之?！下勏哺膸煼?，遂不用喜”、“京房受易梁人焦延壽。延壽云嘗從孟喜問易?！恳悦鳛?zāi)異得幸，……由是易有京氏之學(xué)” ^{[7]《儒林傳》}，可見應(yīng)是孟喜（生卒不詳）開啟了數(shù)字八卦向陰陽八卦轉(zhuǎn)化的歷程。

在人們徹底忘記數(shù)字八卦后，就再也無法理解為什么文字既始于八卦、又始于數(shù)字“一”了，于是段玉裁（1735—1815年）就將“惟初太始”改為“惟初太極”^[10]1，孫詒讓（1848—1908年）在《名原·原始數(shù)名弟一》中引用了這一說法并以“蓋文字生于形，而書契之作，上原卦畫,下代結(jié)繩,又以紀(jì)數(shù)為尤重，合形數(shù)以紀(jì)物，由一而茲為萬”^[11]1表達(dá)了他所理解的八卦、文字及數(shù)字間的關(guān)系，“上原卦畫”表明他認(rèn)為文字起源于陰陽八卦。這是文字學(xué)家們的普遍認(rèn)識，除錯誤理解了八卦與數(shù)字的關(guān)系外；還忽略了原始數(shù)字有比八卦更為深遠(yuǎn)的源頭，因?yàn)橛涗浾俭呓Y(jié)果是數(shù)字的派生用途、而非本義，這從原始數(shù)字的構(gòu)造方式中可以得到驗(yàn)證。

（二）數(shù)字的原形

拱玉書等認(rèn)為“這種原始的數(shù)字大多是通過描繪原始記數(shù)工具的途徑，即后來所謂的象形手段造成的。數(shù)原是由萬事萬物繹出來的抽象概念，但數(shù)字本身卻是記數(shù)工具的具象表達(dá)”^[8]190,所以確定最原始的記數(shù)工具是什么，對探討原始數(shù)字的構(gòu)造方式、以至于文字的起源都非常重要，許多人認(rèn)為最原始的記數(shù)工具是算籌。但若假定產(chǎn)生原始數(shù)字時的計(jì)算方法是數(shù)數(shù)（下文將予以驗(yàn)證），結(jié)合產(chǎn)生的結(jié)果十進(jìn)位制來推斷，最原始的記數(shù)工具應(yīng)該是手指和人，原因有二：

一是人與手指的干枝關(guān)系是形成十進(jìn)位制的基礎(chǔ)。用算籌雖能數(shù)出大小，但數(shù)至多少形成更大的數(shù)量級是不確定的，基數(shù)恰好為十是小概率事件；而正常人都有十根手指，以手指和人作算具，基數(shù)為十是必然事件。在數(shù)十及以內(nèi)的數(shù)時手指與算籌是等價的，用手指方便得多，人們自然是以手指來數(shù)數(shù)；相反若不立足自身?xiàng)l件而另行引入算籌，容易讓受眾誤會，以為是在表達(dá)相應(yīng)數(shù)量的算籌。站著的人，最簡形象就是一條短豎線與原始的數(shù)字十相符。

二是“近取諸身、遠(yuǎn)取諸物”是使用象形手段選取原形的方法，因?yàn)樯峤筮h(yuǎn)不是一種科學(xué)合理的方法，所以一與十的原形應(yīng)屬“取諸身”范疇；運(yùn)用孫詒讓的偏旁比較法對比甲骨文與金文中的百、千、萬，它們原形的發(fā)展趨勢也能體現(xiàn)這一點(diǎn)：

百的原形。對比甲骨文中的百 、和金文中的百、，因金文中數(shù)字百的中間部分是“人”字，表明甲骨文中對應(yīng)的部分也是“人”字，和外面的圓圈一起表示一圈人，屬于“取諸身”的方式。百的定義是十個十，由一圈人構(gòu)造十個十的方法有兩種：一是以十人為一組，由十個組組成百；二是因每個人有十根手指而由十個人組成百，因第二種方法簡單、自然、可操作性強(qiáng)，所以百的原形應(yīng)是十個人。

千的原形。甲骨文中的千及金文中的千都是由一個立起來的人字加一條短橫線構(gòu)成，這種人字符合“人首”的特征^[12]，所以千字應(yīng)是用人的頭發(fā)表示的數(shù)量，也屬于“取諸身”的范疇。

萬的原形。綜合甲骨文及金文中的萬字字形（圖1、圖2）^[6]144，可認(rèn)定甲骨文中萬的原形是像鹿一類、四蹄帶角動物的獸首，順承定義千的方法以其頭部毛發(fā)數(shù)量表示萬；多數(shù)金文相對于甲骨文補(bǔ)充了獸的身體和兩腿，由甲骨文的頭像演化為側(cè)面像，文字學(xué)上稱這種現(xiàn)象為繁化。《說文解字》釋萬為“蟲也”^[13],于是一些字典及數(shù)學(xué)史書籍中認(rèn)為萬的原形是蝎子，但圖1、圖2中的一些萬字在可能的蝎鉗部位是三叉的，足以否定這種說法；還有人將萬、蠆相提并論，而蠆即表示蛇、蝎之類的毒蟲，但《說文解字注》對蠆的解釋有“其字上本不從萬，以苗象其身首之形”^[10]1157，表明萬、蠆本來沒關(guān)系，《說文解字》對萬字的解讀應(yīng)該有問題，萬的原形與蝎子沒關(guān)系。

圖1  甲骨文中的萬字字形                        圖2  金文中的萬字字形

可見“取諸物”是在“取諸身”無法表達(dá)時才使用的手段，所以一與十的原形應(yīng)是手指和人，雖然這里人在文字上有十字和人字兩個像，但它們產(chǎn)生于不同時代、表示不同意義，是合理的。因借以產(chǎn)生百、千、萬的事物并未參與記數(shù)過程，所以將它們與產(chǎn)生一與十的“原始記數(shù)工具”一起統(tǒng)稱為數(shù)字的原形更合適。

（三）一至九最初的字形結(jié)構(gòu)

史前陶器及甲骨文中一至四的字形結(jié)構(gòu)，被于省吾、孫詒讓等人稱之為“積畫”，就是以相同的筆劃逐一疊加的方式造字，于省吾還認(rèn)為“凡紀(jì)數(shù)字均可積畫為之，但積至四畫已覺其繁，勢不得不化繁為簡”、“我國古文字，當(dāng)自紀(jì)數(shù)字開始，紀(jì)數(shù)字乃古文字中之原始字。紀(jì)數(shù)字由一至九分為二系而五居其中。由一至四，均為積畫，此一系也；由五至九，變積畫為錯畫，此又一系也”^[9]97，孫詒讓仔細(xì)分析了甲骨文及之前的五至九，認(rèn)為七是“承五而小變之”、九是“承七而小變之”、八是“承六而小變之”，“蓋六之與八，七之與九，皆間一數(shù)，相對為形”^[11]1，說明這五個數(shù)字的構(gòu)造非常規(guī)整；同時由兩劃錯畫的五至九筆劃數(shù)少于積畫的三和四，與以象形方式造字的邏輯不符，所以錯畫的五至九應(yīng)是由積畫形式一次性簡化而來（注：半坡遺址中五由兩劃錯畫而成，甲骨文在上下各加一橫，存在繁化情形，甲骨文中也還存在積畫的五），這次簡化才是“于是始作易八卦”的由來，這也應(yīng)該是文字的首次簡化和派生使用。

（四）原始的計(jì)算方法

積畫的字形結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著原始的計(jì)算方法，以下兩項(xiàng)事實(shí)可以證明這一點(diǎn)。一是“由數(shù)起”階段不僅個位數(shù)字是積畫的，十位數(shù)字也是積畫的，不過是以短豎線積畫的，甲骨文中有這樣的十至四十（圖3）^[6]145，里耶秦簡中仍有積畫的四十，廿、卅是積畫方式的遺存，因一至四、十至四十都是積畫的，就從側(cè)面印證了于省吾“凡紀(jì)數(shù)字均可積畫為之”的論斷；這種字形上筆劃的逐一疊加體現(xiàn)了逐一遞增的數(shù)數(shù)方式，是“形與神俱”的表現(xiàn)，亦即積畫的字形結(jié)構(gòu)是人們用數(shù)手指和人的個數(shù)的方式來計(jì)算數(shù)量的表現(xiàn)。二是百字的出處為甲骨文、十字的出處為半坡遺址，時間跨度近3000年，即使將數(shù)字百的出現(xiàn)時間提前至《漢書·律歷志》記載的黃帝時代，時間跨度也非常大，說明“由數(shù)起”階段的計(jì)算方法是低級的，它也應(yīng)該是數(shù)數(shù)。二者共同印證了李約瑟關(guān)于數(shù)數(shù)、加法及乘法發(fā)展規(guī)律的論述。“由數(shù)起”階段的記數(shù)范圍應(yīng)主要集中于個、十位數(shù)，超出時仍用十與一的積畫表示，后期應(yīng)出現(xiàn)過在十個十上加圈的分群計(jì)數(shù)模式，為數(shù)字百的出現(xiàn)準(zhǔn)備了條件。

圖3  甲骨文中積畫的十至四十

（五）文字的兩種屬性

文字學(xué)家們對文字產(chǎn)生前的圖形符號稱謂很多，如圖畫、文字畫等，其實(shí)可以簡單地稱之為形符，表示它們是形狀相對固定的符號，那么形符具備什么樣的屬性才能演化成文字呢？綜合考慮，形符必須具備兩種基本屬性才能成為文字。一是可讀性，即形符首先要完成與語言的結(jié)合，有特定讀音，具備音、形、意三要素才能成為文字，這時它才脫離圖形范疇，結(jié)合前，形符只是以形表意、語言只是以音表意。二是公眾性，在結(jié)合后形符還要被用于公共事務(wù)之中，被公眾認(rèn)知和使用才能成為社會治理和公眾交流的工具。不可否認(rèn)，文字的發(fā)展有一定自由度，尤其在其起源階段，人們可以隨意創(chuàng)造形符，但要讓公眾認(rèn)知和使用就必須經(jīng)由權(quán)威的方式來收集整理、規(guī)范發(fā)布或率先使用，這是文字由小范圍使用向大范圍推廣的必經(jīng)程序，在文字發(fā)展的關(guān)鍵期更應(yīng)如此。如計(jì)算機(jī)信息技術(shù)中的GB18030-2005（《信息技術(shù)中文編碼字符集》）；秦統(tǒng)一時的《倉頡》等，都是以權(quán)威的方式規(guī)范文字。所以初造書契是必然事件，它是文字的兩種屬性在刻劃記事中結(jié)合的開端。

（六）河圖所起的作用及其內(nèi)涵

那么在書契之前文字的這兩種屬性又是如何發(fā)展的呢？筆者認(rèn)為：可讀性首先在積畫數(shù)字中形成，這由數(shù)字的抽象性和重要性決定。抽象性：演化為象形文字并有原形可對照的形符，見到形符就能明白其含義，讀音對于表達(dá)這類形符不是必需的，所以音與形的結(jié)合不會從這類形符開始；數(shù)是抽象的，本無原形，為表示數(shù)而引入的原形與數(shù)本身并非同一概念，必需標(biāo)識出來，用語音來標(biāo)識最為方便，這樣就形成了有讀音的數(shù)字。重要性：人們在進(jìn)行物質(zhì)分配與交換時，首先需要度量物質(zhì)的大小多少，這時就必須用到數(shù)的概念，由于人類最初的社會交往都是基于物質(zhì)分配和交換的，所以數(shù)是人類社會交往的基石，記數(shù)法也就成為人類社會的第一標(biāo)準(zhǔn)，這從當(dāng)今世界語言、文字遠(yuǎn)未統(tǒng)一，而十進(jìn)位制卻早已普及得到驗(yàn)證，這也是數(shù)字先于其它文字產(chǎn)生的原因。

公眾性首先是以河圖來實(shí)現(xiàn)的。雖然已經(jīng)有了刻劃數(shù)字，但在青銅器普及前，刻劃數(shù)字不能大范圍傳播并用于公眾交流和社會治理之中，而社會的發(fā)展又急需將數(shù)的概念用于公眾交流及社會治理中，于是就出現(xiàn)了結(jié)繩記事，“及神農(nóng)氏結(jié)繩為治而統(tǒng)其事”說明結(jié)繩記事從誕生開始就擔(dān)負(fù)了“統(tǒng)”與“治”的功能，即公眾性，但結(jié)繩記事也需要標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范，河圖就是作為標(biāo)準(zhǔn)或規(guī)范出現(xiàn)的，它與GB18030-2005、《倉頡》類似，它出現(xiàn)的目的是為了讓公眾認(rèn)知和使用一至十、以及數(shù)數(shù)的計(jì)算方法。但由于結(jié)繩記事的優(yōu)勢非常片面，刻劃數(shù)字必然伴隨河圖傳播，河圖的出現(xiàn)會促使刻劃記事的使用范圍擴(kuò)大、形符的數(shù)量增多，這為十進(jìn)位制及文字的進(jìn)一步發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。所以河圖的內(nèi)涵只是一至十的順序排列，其中的數(shù)無組合關(guān)系，朱熹、蔡元定認(rèn)為河圖為“天地之?dāng)?shù)”的結(jié)論是正確的。

四、“大備”階段，數(shù)的發(fā)展?fàn)顩r及洛書的內(nèi)涵

（一）“大備”階段，數(shù)的發(fā)展?fàn)顩r

對于數(shù)在“大備”階段的發(fā)展，《世本》載有黃帝的史官“隸首作數(shù)”^[14]。《河圖、洛書的傳承途徑考》證明《漢書·五行志》中劉歆（前50—23年）對河圖、洛書的解讀似是而非，因?yàn)樗庾x的主要成份：八卦與河圖、洛書與《洪范》的關(guān)系有假，但有一定真實(shí)成份，如河圖、八卦都在一至十的范圍內(nèi)，洛書與《洪范》都與一至九相關(guān)，人們也基本認(rèn)可洛書出自大禹時代，這個時代屬于數(shù)的“大備”階段。筆者認(rèn)為隸首創(chuàng)造了數(shù)字“百”，洛書是伴隨著數(shù)字“千”產(chǎn)生的。理由是：

習(xí)慣。到百這一數(shù)量級時，逐一計(jì)數(shù)和分群計(jì)數(shù)仍能滿足記數(shù)需求，但已經(jīng)很吃力了；到千時這種方式所存在的費(fèi)時、易錯等弊病則表現(xiàn)得非常突出，到了不得不改變的程度。

數(shù)字百出現(xiàn)后，才具備使用進(jìn)位規(guī)則的條件。在文字學(xué)上，積畫的個位數(shù)字是算具的簡單象形，積畫的十位數(shù)字與算具間既有象形成份，也有象意成份，而原始的數(shù)字百卻是純粹的象意文字，定義數(shù)字百時人們才走出以象形方式造字的思維局限，為定義千和萬準(zhǔn)備了條件（注：這里用唐蘭的三書體系，即象形、象意與形聲表述文字的基本構(gòu)造方式）。在數(shù)學(xué)上，伴隨數(shù)字百才產(chǎn)生數(shù)位（以下簡稱位）概念和遞推思想，原始的十與一間是自然的干支關(guān)系而不具備位的思想；數(shù)字百“十個十”的定義才確立十的基數(shù)地位、形成位的概念，甲骨文中位和值是寫在一起的，如圖1中的30000由萬與三合成，文字學(xué)上稱這種現(xiàn)象為“合書”，唐蘭認(rèn)為合書是形成形聲字的基礎(chǔ)^[15]，位間用有、又連接，這是位值制的雛形，經(jīng)過漫長的多次變革才形成今天的位值制。遞推是位間關(guān)系的紐帶，表現(xiàn)在數(shù)名定義上，千的定義十百，萬的定義十千，都是從百的定義十十遞推而來。可見數(shù)字百承前啟后，有了它才可能產(chǎn)生進(jìn)位思想和進(jìn)位規(guī)則。

（二）洛書的內(nèi)涵

在正確解讀出洛書中數(shù)的組合關(guān)系后，將其與加法進(jìn)位規(guī)則集比較可知，洛書中數(shù)的組合是原初形態(tài)的加法進(jìn)位規(guī)則集，洛書確為具有“大衍”功能的“大衍之?dāng)?shù)”。

1.洛書中數(shù)的組合關(guān)系

據(jù)太乙九宮占盤天盤中“君”與“百姓”、“將”與“相”的組合關(guān)系^[16]得到其中的數(shù)字組合關(guān)系應(yīng)是1+9、2+8、3+7、4+6。對此彝古文《青線、紅線與二十四節(jié)氣》中關(guān)于洛書的描述“天一與天九,在宇宙的南、北兩方，管理著這兩門，合起來一共是十，人們稱它為老陽。天三與天七,在宇宙的東、西兩方,管理著這兩門，合起來一共是十，人們稱它為少陽。地二與地八，在宇宙的東北、西南兩方，管理著這兩門，合起來一共是十，人們稱它為老陰。地四與地六,在宇宙的西北、東南兩方,管理著這兩門，合起來一共是十，人們稱它為少陰。天五生成宇宙,管理著中央，兩個五加起來也是十，福祿不斷灑滿宇宙之間”^[17]加以印證并補(bǔ)充了5+5，所以洛書是用相對表示相加，五與自身相對故只出現(xiàn)了一次，其中數(shù)的組合關(guān)系為1+9、2+8、3+7、4+6、5+5；它們的和為五十，與“大衍之?dāng)?shù)”的值相同。

2.洛書中數(shù)的組合與加法進(jìn)位規(guī)則集的對比

對于這種組合的功能，《珠算教程》給出了兩種常用的珠算加減法：傳統(tǒng)口訣式加減法和湊五補(bǔ)十加減法。湊五補(bǔ)十加減法中的進(jìn)位規(guī)則為補(bǔ)十規(guī)則，即1+9、2+8、3+7、4+6、5+5與洛書一致?？谠E式加減法中的進(jìn)位規(guī)則有進(jìn)十加口訣及破五進(jìn)十加口訣：進(jìn)十加口訣因區(qū)分加數(shù)和被加數(shù)的位置而由洛書的五條擴(kuò)展為九條，5+5與“五去五進(jìn)一”對應(yīng)，余下四條分別對應(yīng)“進(jìn)十加”口訣中的兩條，如1+9對應(yīng)“一去九進(jìn)一”和“九去一進(jìn)一”；破五進(jìn)十加口訣是因?yàn)樗惚P用梁上的一個算珠表示數(shù)量五而對進(jìn)十加口訣作出變通生成的新規(guī)則^[18]，李約瑟據(jù)《孫子算經(jīng)》及《夏候陽算經(jīng)》證明算籌中已經(jīng)使用了以一代五的方式^[4]4，可見以一代五方式很早就出現(xiàn)了。

也有不使用以一代五方式的加法進(jìn)位規(guī)則?！吨袊鴶?shù)字史大系》中有一個例子：羌族老人用黃豆、玉米、大白豆、洋芋數(shù)量分別表示個、十、百、千位上的數(shù)量做加法，被加數(shù)是3456，加數(shù)是2138，把代表相同位的東西放在一起數(shù)數(shù)量，因只有黃豆數(shù)量超過10，他就用一顆玉米換出十顆黃豆，得到結(jié)果5594^[6]140，這里不考慮加數(shù)與被加數(shù)位置關(guān)系也不使用以一代五方式，選取黃豆的數(shù)組合是洛書的組合之一，進(jìn)位規(guī)則與洛書處于同一發(fā)展水平。

綜上，洛書中數(shù)的組合與羌族老人使用的進(jìn)位規(guī)則一致，是原初形態(tài)的加法進(jìn)位規(guī)則集，之后的進(jìn)位規(guī)則集，因算具出現(xiàn)了以一代五方式、并區(qū)分加數(shù)和被加數(shù)的位置關(guān)系而有所發(fā)展，但實(shí)質(zhì)仍然是洛書中的數(shù)組合，它們就是正整數(shù)范圍內(nèi)“滿十進(jìn)一”的十進(jìn)制規(guī)則的全集，為突顯其功用和產(chǎn)生時間而稱其為加法進(jìn)位規(guī)則集，這就是洛書的內(nèi)涵。進(jìn)位規(guī)則是處理兩數(shù)相加有進(jìn)位時的位間關(guān)系的，并不處理沒有進(jìn)位及進(jìn)位后余下的數(shù)，珠算中用口訣“一上一、二上二、…………九上九”來處理，這是河圖對應(yīng)的數(shù)數(shù)方式。所以洛書的出現(xiàn)才標(biāo)志著加法的產(chǎn)生，加法相對于數(shù)數(shù)在便捷性、運(yùn)算速度及記數(shù)范圍上都有質(zhì)的飛躍，洛書確是具有“大衍”功能的“大衍之?dāng)?shù)”。

3.“其用四十有九”的含義

對此，《漢書·律歷志》還有如下記載：

其數(shù)以易大衍之?dāng)?shù)五十，其用四十九，成陽六爻，得周流六虛之象也。夫推歷生律制器，規(guī)圓矩方，權(quán)重衡平，準(zhǔn)繩嘉量，探賾索隱，鉤深至遠(yuǎn)，莫不用焉。度長短者不失毫厘，量多少者不失圭撮，權(quán)輕重者不失黍累。紀(jì)于一，協(xié)于十，長于百，大于千，衍于萬，其法在算術(shù)。

“大于千，衍于萬，其法在算術(shù)”印證了上文的部分論斷，據(jù)此還可以推斷出“其用四十有九”的含義應(yīng)是“洛出書”之后一段時間內(nèi)記數(shù)范圍止于萬位，這時做加法，個、十、百、千位考慮進(jìn)位各用十個算具，萬位不進(jìn)位故只需九個算具?！稘h書·律歷志》還載有劉歆對“大衍之?dāng)?shù)”的解讀“是故元始有象一也；春秋二也；三統(tǒng)三也；四時四也；合而為十，成五體。以五乘十，大衍之?dāng)?shù)也。而道據(jù)其一，其余四十九，所當(dāng)用也，故蓍以為數(shù)” ^{[7]《律歷志》}，這也是一種真假參半的刻意曲解。另《后漢書·律歷志》載有“其后劉歆研機(jī)極深，驗(yàn)之春秋，參以易道，以河圖帝覽嬉、洛書乾曜度推廣九道”^[19]，證明劉歆針對河圖、洛書有一系列精心策劃的造假行為，這是產(chǎn)生河圖、洛書真實(shí)性問題的根本原因。

五、結(jié)語

綜上，河圖、洛書分別是《易·系辭》中的“天地之?dāng)?shù)”和“大衍之?dāng)?shù)”。河圖的內(nèi)涵是一至十的順序排列，洛書的內(nèi)涵是加法進(jìn)位規(guī)則集，二者承載了正整數(shù)從一至萬、計(jì)算方法從數(shù)數(shù)到加法的發(fā)展歷程，這樣就確切展示出河圖、洛書最為基礎(chǔ)與核心的內(nèi)涵，證明河圖、洛書不是神話和傳說，而是具有深厚科學(xué)內(nèi)涵的文明成果。河圖、洛書的偉大在于其基礎(chǔ)性和根源性，大道至簡、人類最偉大的發(fā)明就是數(shù)的發(fā)明，八卦與河圖是文字和數(shù)學(xué)的雙源頭，洛書的出現(xiàn)標(biāo)志著人類文明走出了原始狀態(tài)，八卦與河圖、洛書承載了中華文明最為艱難的起源過程。厘清劉歆針對河圖、洛書的造假行為，也為全面破解劉歆文獻(xiàn)造假問題提供了切入點(diǎn)。

全面梳理人類文明起源和傳播過程，或許還能證明八卦與河圖、洛書為人類文明的總根源。在埃及學(xué)、亞述學(xué)類著作中有數(shù)的其他起源，但這類學(xué)說只有兩百年左右，故這類著作很晚產(chǎn)生，這些起源途徑來歷虛幻，可能是臆造的。“公元595年，印度發(fā)明了十進(jìn)制”^[20]（注：應(yīng)為十進(jìn)位制），表明西方學(xué)者認(rèn)為十進(jìn)位制源自印度。“820年，阿拉伯阿爾·花剌子模發(fā)表了《印度計(jì)數(shù)算法》，使西歐熟悉了十進(jìn)位制”^[21]，十進(jìn)位制經(jīng)印度、阿拉伯世界傳入西方眾所周知。計(jì)算機(jī)技術(shù)中使用二、八及十六進(jìn)位制，但用0和1表示的二進(jìn)位制1679年才產(chǎn)生。有0才有進(jìn)位制理論，羅素在《數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論》中稱“說到0，這是更加晚近加入的，希臘人和羅馬人沒有這個數(shù)字”^[22]，有人認(rèn)為0基于道教的“虛”產(chǎn)生于中國，但佛教有類似的“空”，目前0產(chǎn)生于印度的證據(jù)較充分，0用有形的符號表示無形的空位，它的形成是人類抽象思維的又一次大跨越，當(dāng)產(chǎn)生于位和進(jìn)位概念之后，且印度數(shù)字沒有積畫特征故不是最原始的數(shù)字，印度記數(shù)法應(yīng)是在河圖、洛書基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)展的。可見早期記數(shù)方法還有許多值得深入研究的地方，深入研究應(yīng)能準(zhǔn)確、快捷地找到早期文明的真實(shí)傳播軌跡，區(qū)分真、假早期文明史，或許還能證明八卦與河圖、洛書為人類文明的總根源。