【原】幾何壓軸題，有相似用相似，這可不是隨便說(shuō)說(shuō)的

中考數(shù)學(xué)寶典 2020-09-03

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自從初三復(fù)課以后，很多學(xué)校都進(jìn)行模擬測(cè)試，考試結(jié)果有好有壞，有的學(xué)生正沉浸于進(jìn)步的喜悅中，對(duì)中考充滿了信心；而有的學(xué)生正為成績(jī)的退步或停滯不前而感到沮喪，甚至讓自己面對(duì)中考，產(chǎn)生退縮的負(fù)面情緒。

我們通過(guò)對(duì)試卷的分析和研究，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況，發(fā)現(xiàn)那些丟分的問(wèn)題，主要是考查考生這兩方面：一是考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和方法技巧掌握程度，另一方面是考查考生的邏輯推理能力。

其實(shí)，不管你對(duì)成績(jī)滿不滿意，絕大部分時(shí)候你的成績(jī)就代表了你平時(shí)的努力程度，換句話說(shuō)，你平時(shí)的努力程度，決定了你的中考成績(jī)，而不是運(yùn)氣，工夫要下在平時(shí)。

就像中考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)，很多考生面對(duì)幾何類有關(guān)的問(wèn)題就束手無(wú)策，問(wèn)題往往就是相似三角形部分不知道如何去證明。

在相似三角形這一章節(jié)知識(shí)內(nèi)容當(dāng)中，我們對(duì)一些常見(jiàn)的相似三角形的“基本圖形素材”，必須扎實(shí)掌握，這樣即使你面對(duì)復(fù)雜的圖形，也可以從中發(fā)現(xiàn)熟知的基本圖形，將圖形進(jìn)行分解，能夠幫助大家迅速地找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)。

下面我們就結(jié)合歷年一些中考真題，幫助大家理解相似三角形在幾何問(wèn)題中的運(yùn)用，提高解題能力和復(fù)習(xí)效率。

相似三角形有關(guān)的中考試題分析，講解1：

如圖，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，點(diǎn)Q在線段BC上從B向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在線段BA上從B向A運(yùn)動(dòng)．Q、P兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．作PM⊥PQ交CA于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P分別作BC、CA的垂線，垂足分別為E、F．

（1）求證：△PQE∽△PMF；

（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)猜想線段PM與MA的大小有怎樣的關(guān)系？并證明你的猜想；

（3）設(shè)BP=x，△PEM的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，并將這個(gè)值求出來(lái)．

考點(diǎn)分析：

相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；解直角三角形。

題干分析：

（1）由∠EPF=∠QPM=90°，利用互余關(guān)系證明△PQE∽△PMF；

（2）相等．運(yùn)動(dòng)速度相等，時(shí)間相同，則BP=BQ，∠B=60°，△BPQ為等邊三角形，可推出∠MPA=∠A=30°，等角對(duì)等邊；

（3）由面積公式得S_△_PEM=PE×PF/2，解直角三角形分別表示PE，PF，列出函數(shù)式，利用函數(shù)的性質(zhì)求解．

解題反思：

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，二次函數(shù)的性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)題意判斷相似三角形，利用相似比及解直角三角形得出等量關(guān)系。

相似三角形有關(guān)的中考試題分析，講解2：

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AB<AC，M是BC邊的中點(diǎn)，MN⊥BC交AC于點(diǎn)N，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA以每秒√3厘米的速度運(yùn)動(dòng)。同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)N出發(fā)沿射線NC運(yùn)動(dòng)，且始終保持MQ⊥MP。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0）

（1）△PBM與△QNM相似嗎？以圖1為例說(shuō)明理由；

（2）若∠ABC=60o，AB=4√3厘米。

① 求動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；

② 設(shè)Rt△APQ的面積為S（平方厘米），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）探求BP²、PQ²、CQ²三者之間的數(shù)量關(guān)系，以圖1為例說(shuō)明理由。

考點(diǎn)分析：

相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理。

題干分析：

（1）可以證明兩個(gè)三角形中的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形一定相似；（2）①設(shè)BP=√3，根據(jù)△PBM∽△QNM，求得NQ的長(zhǎng)，即Q一分鐘移動(dòng)的距離，即Q的速度；②分別用時(shí)間t表示出AP，AQ的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形的面積即可求得函數(shù)解析式．

解題反思：

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形與函數(shù)的總和應(yīng)用，利用時(shí)間t正確表示出題目中線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵。

相似三角形有關(guān)的中考試題分析，講解3：

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，線段OA，OB的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．

（1）求證：△FOE≌△DOC；

（2）求sin∠OEF的值；

（3）若直線EF與線段AD，BC分別相交于點(diǎn)G，H，求（AB+CD）/GH的值．

考點(diǎn)分析：

相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理；直角梯形；銳角三角函數(shù)的定義；證明題；代數(shù)幾何綜合題．

（1）由EF是△OAB的中位線，利用中位線定理，得EF∥AB，EF= AB/2，又CD∥AB，CD= AB/2，可得EF=CD，由平行線的性質(zhì)可證△FOE≌△DOC；
（2）由平行線的性質(zhì)可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB=BC/AC，由勾股定理得出AC與BC的關(guān)系，再求正弦值；
（3））由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，則△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG= CD/3，同理得FH= CD/3，又AB=2CD，代入（AB+CD）/GH中求值．

解題反思：

本題綜合考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，中位線定理，銳角三角函數(shù)定義的運(yùn)用．關(guān)鍵是由全等、相似得出相關(guān)線段之間的位置關(guān)系，數(shù)量關(guān)系．

我們通過(guò)對(duì)試題的分析，總結(jié)題型和方法，特別是對(duì)相似三角形基本圖形的處理，更要做到得心應(yīng)手。我們不僅要發(fā)現(xiàn)、歸納基本圖形，更要關(guān)注它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，以便在解題過(guò)程中避免失誤、發(fā)揮更大的功效。