中國目前初中數(shù)學教育大綱基于以下這個情況，即絕大多數(shù)人現(xiàn)實生活中只會用到三年級以下的數(shù)學，因此難度下降很大，屬于普遍教育。而高中數(shù)學的難度并沒有下降，因此初高中之間的銜接存在著很大的困難。

我曾經(jīng)遇到過本地區(qū)最好的公辦初中的一個學生，她在初中排在年級前20名（年級總共500多學生），但是進入高中后感覺非常吃力，跟不上進度。和她交流后我一句話概括，現(xiàn)在的初中數(shù)學要求太低，難度太低。

本系列專題講座的習題和例題都來自各年中考題以及重點高中的自招題，難度高于中考的平均程度，差不多是重點高中的自招難度。

系列里面許多解題方法和擴展的知識對進入高中后的數(shù)學學習是極其必要的補充。

系列的習題和例題都在不斷豐富和更新中。

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第九講 多邊形

一、知識框圖

二、重點難點分析

1. 平行四邊形的定義可以應(yīng)用在兩個方面：一是由定義可知平行四邊形的兩組對邊分別平行(性質(zhì))；二是只要四邊形中有兩組對邊分別平行,那么這個四邊形就是平行四邊形(判定)。

2.平行四邊形的性質(zhì):(1)邊:對邊平行且相等;(2)角:鄰角互補、對角相等;(3)對角線:互相平分。同時平行四邊形與三角形的穩(wěn)定性不同,平行四邊形具有不穩(wěn)定性。

3.平行四邊形的判定方法大致分為三類:(1)根據(jù)邊判斷;(2)根據(jù)角判斷;(3)根據(jù)對角線判斷,具體見知識框圖。

難點分析:

1.平行四邊形可以看作由三角形旋轉(zhuǎn)得到,以任意三角形的一邊中點為旋轉(zhuǎn)中心,將三角形旋轉(zhuǎn)180°。所得的圖形與原三角形組成平行四邊形,由此特征可以得到平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)。

2.在證明一個四邊形是平行四邊形時,如果已知一組對邊平行,可以證明這組對邊相等或另一組對邊平行,如果已知一組對邊相等,可以證明這組對邊平行或另一組對邊相等。

3.平行四邊形的一條對角線將平行四邊形分成的兩個三角形全等,兩條對角度相交將平行四邊形分成四個小三角形,其中兩對對頂三角形全等,這些全等三角形對研究平行四邊形中的邊角關(guān)系有很大作用。。

三、例題精選

例1如圖，在□ABCD中，DB=CD，∠C的度數(shù)比∠ABD的度數(shù)大60°，AE⊥BD于點E，則∠DAE的度數(shù)為______．

解答：

利用方程思想，設(shè)∠ABD=x，則∠C=60°+x，∠DBC=∠C=60°+x；

由平行四邊形鄰角互補的性質(zhì)：x+2（60°+x）=180°；解得x=20°，

∠DBC=80°=∠BDA。

∠DAE=90°-80°=10°。

例2（2014·遵義）如圖，□ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分別是AB，CD上的點，且BE=DF，連接EF交BD于O．

（1）求證：BO=DO；

（2）若EF⊥AB，延長EF交AD的延長線于G，當FG=1時，求AD的長．

解答：

（1）由SAA可證△DFO≌△BEO，因此BO=DO；

（2）等腰直角△DFG，DF=FG=1，DG=；

等腰直角△DFO中，F(xiàn)O=DF=1；EF=2；在等腰直角△AEG中，GE=3，AE=3；AG=3，

因此AD=AG-DG=2

用平行線的比例性質(zhì)就更直接。

例3、分別以□ABCD（∠CDA≠90°）的三邊AB，CD，DA為斜邊作等腰直角三角形△ABE，△CDG，△ADF．

（1）如圖1，當三個等腰直角三角形都在該平行四邊形外部時，連接GF，EF．請判斷GF與EF的關(guān)系（只寫結(jié)論，不需證明）；

（2）如圖2，當三個等腰直角三角形都在該平行四邊形內(nèi)部時，連接GF，EF，（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，說明理由。

解答：設(shè)∠CDA是銳角，則∠DAB為鈍角

（1）設(shè)∠CDA=x，則∠DAB=180°-x；

則∠GDF=45°+45°+x=90°+x

而∠EAF=360°-∠DAB-∠DAF-∠BAE=90°+x=∠GDF；

由SAS可證△GDF≌△EAF，得GF=EF。且GF⊥EF

（2）同（1）的思路：

∠FDG=90°-x；

∠EAF=∠DAB-90°=90°-x

從而三角形全等；GF=EF且GF⊥EF。

平行四邊形的題目中，利用角度等量代換，最后證明兩個角相等的題目很多的。利用方程思想，設(shè)未知數(shù)，會使問題更直接。

提醒：題目問兩條線段的關(guān)系的，除了長度相等以外，往往還有垂直或平行的位置關(guān)系，別忘記。

例4. 如圖，已知平行四邊形ABCD中，DE⊥BC于點E，DH⊥AB于點H，AF平分∠BAD，分別交DC、DE、DH于點F、G、M，且DE=AD，CE=3，AB=5．

（1）求線段CF的長度；（2）求證：AB=DG+CE。

解答：

（1）由勾股定理DE=4，

角平分線加CD∥AB，△ADF是等腰三角形，AD=DF=DE=4，這是個模型。

CF=CD-DF=5-4=1

類似的思路可以證明△ADG≌△FDM。

（2）利用補短法。

延長 GD到N，使DN=EC；

由SAS可證兩個直角三角形△ADN≌△DEC；

∠NGA=∠EDC+∠DFG=∠NAD+∠DAG=∠NAG；

AN=GN=ND+DG=CE+DG=CD=AB

例5、如圖所示，在□ABCD中，AB＞BC，∠A與∠D的平分線交于點E，∠B與∠C的平分線交于 F點，連接EF．

（1）延長DE交AB于M點，則圖中與線段EM一定相等的線段有哪幾條？說明理由；（不再另外添加字母和輔助線）

（2）EF、BC與AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

（3）如果將條件'AB＞BC'改為'AB＜BC'，其它條件不變，EF、BC與AB的關(guān)系又如何？請畫出圖形并證明你的結(jié)論．

解答：

（1）由平行線性質(zhì)，∠DMA=∠MDC=∠ADM，因此AD=AM，AE是角平分線，因此△DAE≌△MAE，因此DE=EM；

又∠FCB=∠DAE=∠DCB=∠DAB；

同理，∠ADE=∠CBF；AD=BC

由ASA得△DEA≌△BFC；因此BF=DE=EM；

EM=FB，且EM∥FB（同位角相等）

四邊形EFBM是平行四邊形。

（2）由（1）的證明分析可知：AB=AM+MB=AD+EF=BC+EF

（3）BC=AB+EF。直接把ABCD的順序依次下輪一個即可。

例6、如圖在△ABC中AB=AC，點E、F分別在AB、AC上，且AE=CF，求證EFBC。