我們都知道歐拉解決了自然數(shù)平方的倒數(shù)之和，這個(gè)公式將自然數(shù)和π巧妙的聯(lián)系在了一起，關(guān)于它的證明非常多，我們就不在此作任何的敘述了，但這個(gè)公式隱含的許多數(shù)學(xué)方法值得我們?nèi)ヌ接懴?/strong>

在你不知道歐拉得出這個(gè)結(jié)論前，你是否能斷定這個(gè)級數(shù)是趨于一個(gè)常數(shù)值呢？也就是數(shù)學(xué)中所說的收斂

首先，自然數(shù)平方倒數(shù)和的形式是

我們把它拆開，將平方寫成乘積的形式，藍(lán)色部分所示

然后將藍(lán)色部分統(tǒng)一向后移一位，最終如下圖紅色部分顯示

然后做比較，如下圖藍(lán)色顯示：1/2<1，

藍(lán)色顯示：1/3<1/2，

所以我們得到第一行小于第二行

繼續(xù)進(jìn)行，你會發(fā)現(xiàn)上述的紅色級數(shù)部分可以寫成兩個(gè)數(shù)之差

即：1/2=1-1/2，1/2*1/3=1/2-1/3........

那么上述的前四項(xiàng)就等于2-1/4

同理，如果是前100項(xiàng)就等于2-1/100

如果n是無窮大，那么其結(jié)果就等于2

所以在你不知道歐拉的推導(dǎo)結(jié)果前，你可以很容易得出任意自然數(shù)平方的倒數(shù)之和是趨于一個(gè)常數(shù)的，

其結(jié)果是小于2的，這與歐拉推導(dǎo)出的結(jié)果完全吻合。