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一元三次方程都可化為x3+px+q=0。它的解是：
根與系數(shù)的關(guān)系為 判別式為 三個根的三角函數(shù)表達式（僅當(dāng)
一般的一元三次方程可寫成
可用特殊情況的公式解出
三個根與系數(shù)的關(guān)系為
三次方程應(yīng)用廣泛。用根號解一元三次方程，雖然有著名的卡爾丹公式，并有相應(yīng)的判別法，但使用卡爾丹公式解題比較復(fù)雜，缺乏直觀性。范盛金推導(dǎo)出一套直接用a、b、c、d表達的較簡明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——盛金公式，并建立了新判別法——盛金判別法。 1.盛金公式 一元三次方程aX+bX+cX+d=0，（a,b,c,d∈R，且a≠0） 重根判別式 總判別式Δ=B－4AC。 當(dāng)A=B=0時， 盛金公式1：
盛金公式2：
盛金公式2的三角式：
其中 當(dāng)Δ=B－4AC=0時， 盛金公式3：
其中 當(dāng)Δ=B－4AC<0時， 盛金公式4：
其中 2.盛金判別法 當(dāng)A=B=0時，方程有一個三重實根。 當(dāng)Δ=B－4AC>0時，方程有一個實根和一對共軛虛根。 當(dāng)Δ=B－4AC=0時，方程有三個實根，其中有一個二重根。 當(dāng)Δ=B－4AC<0時，方程有三個不相等的實根。 3.盛金定理 當(dāng)b=0，c=0時，盛金公式1無意義；當(dāng)A=0時，盛金公式3無意義；當(dāng)A≤0時，盛金公式4無意義；當(dāng)T<－1或T>1時，盛金公式4無意義。 當(dāng)b=0，c=0時，盛金公式1是否成立？盛金公式3與盛金公式4是否存在A≤0的值？盛金公式4是否存在T<－1或T>1的值？盛金定理給出如下回答： 盛金定理1：當(dāng)A=B=0時，若b=0，則必定有c=d=0（此時，方程有一個三重實根0，盛金公式1仍成立）。 盛金定理2：當(dāng)A=B=0時，若b≠0，則必定有c≠0（此時，適用盛金公式1解題）。 盛金定理3：當(dāng)A=B=0時，則必定有C=0（此時，適用盛金公式1解題）。 盛金定理4：當(dāng)A=0時，若B≠0，則必定有Δ>0（此時，適用盛金公式2解題）。 盛金定理5：當(dāng)A<0時，則必定有Δ>0（此時，適用盛金公式2解題）。 盛金定理6：當(dāng)Δ=0時，若A=0，則必定有B=0（此時，適用盛金公式1解題）。 盛金定理7：當(dāng)Δ=0時，若B≠0，盛金公式3一定不存在A≤0的值（此時，適用盛金公式3解題）。 盛金定理8：當(dāng)Δ<0時，盛金公式4一定不存在A≤0的值。（此時，適用盛金公式4解題）。 盛金定理9：當(dāng)Δ<0時，盛金公式4一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出現(xiàn)的值必定是-1<T<1。 顯然，當(dāng)A≤0時，都有相應(yīng)的盛金公式解題。 注意：盛金定理逆之不一定成立。如：當(dāng)Δ>0時，不一定有A<0。 盛金定理表明：盛金公式始終保持有意義。任意實系數(shù)的一元三次方程都可以運用盛金公式直觀求解。 當(dāng)一元三次方程
當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng)
一元三次方程 x+px+q=0,(p，q∈R) 的求根公式是1545年由意大利學(xué)者卡爾丹發(fā)表在《關(guān)于代數(shù)的大法》一書中，人們就把它叫做卡爾丹公式（有的數(shù)學(xué)資料叫“卡丹公式”）。可是事實上，發(fā)現(xiàn)公式的人并不是卡爾 發(fā)現(xiàn)此公式后，曾據(jù)此與許多人進行過解題競賽，他往往是勝利者，因而他在意大利名聲大震。醫(yī)生兼數(shù)學(xué)家卡丹得知塔塔利亞總是獲勝的消息后，就千方百計地找塔塔利亞探聽他的秘密。當(dāng)時學(xué)者們通常不急于把自己所掌握的秘密向周圍的人公開，而是以此為秘密武器向別人挑戰(zhàn)比賽，或等待懸賞應(yīng)解，以獲取獎金。 盡管卡爾丹千方百計地想探聽塔塔利亞的秘密，但是在很長時間中塔塔利亞都守口如瓶?？墒呛髞?，由于卡丹一再懇切要求，而且發(fā)誓對此保守秘密，于是塔塔利亞在1539年把他的發(fā)現(xiàn)寫成了一首語句晦澀的詩告訴了卡丹，但是并沒有給出詳細的證明。 卡丹并沒有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的藝術(shù)》一書中向世人公開了這個解法。他在此書中寫道：“這一解法來自于一位最值得尊敬的朋友--布里西亞的塔塔利亞。塔塔利亞在我的懇求之下把這一方法告訴了我，但是他沒有給出證明。我找到了幾種證法。證法很難，我把它敘述如下?！睆拇?，人們就把一元三次方程的求根公式稱為卡丹公式。 塔塔利亞知道卡丹把自己的秘密公之于眾后，怒不可遏。按照當(dāng)時人們的觀念，卡丹的做法無異于背叛，而關(guān)于發(fā)現(xiàn)法則者是誰的附筆只能被認為是一種公開的侮辱。于是塔塔利亞與卡丹在米蘭市的教堂進行了一場公開的辯論。 許多資料都記述過塔塔利亞與卡丹在一元三次方程求根公式問題上的爭論，可是，名為卡丹公式的一元三次方程的求解方法，確實是塔塔利亞發(fā)現(xiàn)的；卡丹沒有遵守誓言，因而受到塔塔利亞及許多文獻資料的指責(zé)，卡丹錯有應(yīng)得，但是卡丹在公布這一解法時并沒有把發(fā)現(xiàn)這一方法的功勞歸于自己，而是如實地說明了這是塔塔利亞的發(fā)現(xiàn)，所以算不上剽竊；而且證明過程是卡丹自己給出的，說明卡丹也做了工作?？ǖび米约旱墓ぷ鲗λ麃喰孤督o他的秘密加以補充，違背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人類探索一元n次方程根式解法的進程。不過，公式的名稱，還是應(yīng)該稱為方塔納公式或塔塔利亞公式；稱為卡丹公式是歷史的誤會。 一元三次方程應(yīng)有三個根。塔塔利亞公式給出的只是一個實根。又過了大約200年后，隨著人們對虛數(shù)認識的加深，到了1732年，才由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉找到了一元三次方程三個根的完整的表達式。 塔爾塔利亞是意大利人，出生于1500年。他12歲那年，被入侵的法國兵砍傷了頭部和舌頭，從此說話結(jié)結(jié)巴巴，人們就給他一個綽號“塔爾塔利亞”(在意大利語中，這是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自學(xué)成才，成了數(shù)學(xué)家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人聽了不服氣，來找他較量，每人各出30道題，由對方去解。結(jié)果，塔爾塔利亞30道三次方程的解全做了出來，對方卻一道題也沒做出來。塔爾塔利亞大獲全勝。這時，意大利數(shù)學(xué)家卡丹出場，請求塔爾塔利把解方程的方法告訴他，可是遭到了拒絕。后來卡丹對塔爾塔利假裝說要推薦他去當(dāng)西班牙炮兵顧問，并稱自己有許多發(fā)明，唯獨無法解三次方程而內(nèi)心痛苦。還發(fā)誓，永遠不泄漏塔爾塔利亞解一元三次方程式的秘密。塔爾塔利亞這才把解一元三次方程的秘密告訴了卡丹。六年以后，卡丹不顧原來的信約，在他的著作《關(guān)于代數(shù)的大法》中，將經(jīng)過改進的三次方程的解法公開發(fā)表。后人就把這個方法叫作卡丹公式，塔爾塔利亞的名字反而被湮沒了，正如他的真名在口吃以后被埋沒了一樣。 塔爾塔利亞對卡丹的背信行為非常惱怒，互相寫信指罵對方。最終在一個不明的夜晚，卡丹派人秘密刺殺了塔爾塔利亞。 至于一元四次方程ax+bx+cx+dx+e=0 求根公式由卡丹的學(xué)生費拉里找到了。 關(guān)于三次、四次方程的求根公式，因為要涉及復(fù)數(shù)概念，復(fù)數(shù)是指能寫成如下形式的數(shù) a+bi ，這里 a 和 b 是實數(shù)， i 是虛數(shù)單位（即 -1 開根）。 由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀首次引入，經(jīng)過達朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數(shù)學(xué)家所接受。 復(fù)數(shù)有多種表示法，諸如向量表示、三角表示，指數(shù)表示等。它滿足四則運算等性質(zhì)。它是復(fù)變函數(shù)論、解析數(shù)論、傅里葉分析、分形、流體力學(xué)、相對論、量子力學(xué)等學(xué)科中最基礎(chǔ)的對象和工具。
后來年輕的挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾于 1824 年所證實， n(n≥5)次方程沒有公式解。不過，對這個問題的研究，其實并沒結(jié)束，因為人們發(fā)現(xiàn)有些 n(n≥5)次方程可有求根公式。那么又是什么樣的一元n次方程才沒有求根公式呢？不久，這一問題在19世紀上半期，被法國天才數(shù)學(xué)家伽羅華利用他創(chuàng)造的全新的數(shù)學(xué)方法所證明，由此一門新的數(shù)學(xué)分支“群論”誕生了。
一元三次方程 系數(shù)和根的關(guān)系如下：
本詞條內(nèi)容貢獻者為:孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學(xué) |
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