16世紀(jì)的東方，大明帝國(guó)正從“隆慶新政”走向“萬歷中興”，國(guó)力逐步增強(qiáng)，一度成為東亞霸主，但萬歷后期的不理朝政，也讓明朝從極盛走向衰亡。

16世紀(jì)的歐洲卻開始由衰轉(zhuǎn)強(qiáng)：哥白尼發(fā)表日心論（波蘭）、伽利略發(fā)明了溫度計(jì)（意大利）、開普勒開始研究行星運(yùn)動(dòng)（德國(guó)）、麥哲倫環(huán)行世界（西班牙）、莎士比亞完成戲劇《理查三世》(英國(guó))...

沒錯(cuò)，此時(shí)的歐洲正處于文藝復(fù)興時(shí)期，文學(xué)、藝術(shù)、天文、地理、醫(yī)學(xué)、數(shù)學(xué)等都得到空前的發(fā)展，也是在這個(gè)世紀(jì)，代數(shù)取得了更大的進(jìn)步，我們將從意大利的4位數(shù)學(xué)家說起。

一、卡丹在《大術(shù)》中的記載

根據(jù)意大利數(shù)學(xué)家卡丹cardano《大術(shù)》一書記載，早在16世紀(jì)初期，意大利數(shù)學(xué)家費(fèi)羅Ferro就掌握了如

型的三次方程求根公式，但Ferro對(duì)這項(xiàng)“絕技”秘而不宣，直到去世前才傳給學(xué)生菲奧爾（Fior）。沉不住氣的Fior在聽說塔爾塔利亞（Tartaglia）也已經(jīng)得到三次方程的求根公式后，并不相信，在1535年發(fā)起了對(duì)Tartaglia的挑戰(zhàn)。

要知道，F(xiàn)ior只是繼承了老師“成果”，并沒有創(chuàng)新和發(fā)展，而Tartaglia是自己捉摸的公式，結(jié)果可想而知，Tartaglia因能多解出如

型的三次方程大獲全勝，并因此謀得了一個(gè)數(shù)學(xué)教授職位。

這場(chǎng)大賽過后，很多人都知道了三次方程是可解的，但是并不知道方法或公式，Tartaglia繼續(xù)保守這個(gè)秘密，畢竟手里沒有“絕技”是很危險(xiǎn)的——這點(diǎn)從他取勝后便獲得數(shù)學(xué)教授一事便可知。

意大利此時(shí)“學(xué)術(shù)上的封閉”對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展是很不利的，但Cardano跨出了重要的一步。在嘗試了很多方法以后，Cardano終于從 Tartaglia哪里得到了一首25行詩(shī)——此詩(shī)晦澀難懂，但的確包含了三次方程的求根公式，并被Cardano破譯了。在此基礎(chǔ)上，Cardano的學(xué)生費(fèi)拉里（Ferrari）解出了四次方程。這一系列成果最終出現(xiàn)在Cardano的《大術(shù)》一書中。因?yàn)槭装l(fā)，現(xiàn)在大家對(duì)于這一公式的叫法仍然是“卡丹公式”。

二、《大術(shù)》這樣解三次方程

《大術(shù)》一出，又一場(chǎng)腥風(fēng)血雨開始了，但這無關(guān)方程的進(jìn)展，此處略去。主要介紹一下Cardano在《大術(shù)》一書中對(duì)三次方程的處理：

【具體解答】

用符號(hào)表示解法，有一般性，但也是不易理解的，現(xiàn)在舉一例說明；

卡丹到此為止，與復(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)失之交臂。

三、邦貝利受到的啟發(fā)

同時(shí)期的數(shù)學(xué)家邦貝利Bombelli注意到了解三次方程里面出現(xiàn)的“負(fù)數(shù)的平方根”問題，這里容易知道

有三個(gè)實(shí)根，但是求根公式得到的數(shù)里居然有負(fù)數(shù)的平方根，即

，這大大促使數(shù)學(xué)家們對(duì)“復(fù)數(shù)”的好奇心，Bombelli發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)應(yīng)該是“共軛”出現(xiàn)的，并給出了運(yùn)算法則。

四、歐拉的貢獻(xiàn)

值得注意的是，Cardano只給出了3次方程的一個(gè)解，但根據(jù)代數(shù)基本定理，一元n次方程有n個(gè)根，那另外兩個(gè)根是什么? 這看似一個(gè)簡(jiǎn)單的問題，因?yàn)閷?duì)“復(fù)數(shù)”認(rèn)識(shí)的缺陷，要直到18世紀(jì)，才由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉Euler給出。

Euler從三次方程

的三個(gè)根出發(fā)得到一般三次方程的三個(gè)解：

五、韋達(dá)與代數(shù)

當(dāng)代中學(xué)生知曉法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)（Viète,1540~1603）多半是因?yàn)橹摹绊f達(dá)定理”，在一元二次方程中，韋達(dá)定理告訴我們：

但實(shí)際上，Viète作為“代數(shù)學(xué)之父”，對(duì)代數(shù)的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)不只此，他第一個(gè)有意識(shí)、系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)[輔音字母B，C，D等]、未知數(shù)[元音字母A/N）等]及其乘冪[A quadratus,A cubus 表示未知數(shù)的平方、立方]。這是代數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步，丟番圖解題也使用符號(hào)，但都是一題一解，Viète則力求一般化，用統(tǒng)一的符號(hào)來進(jìn)行運(yùn)算以代替數(shù)的運(yùn)算。

Viète試圖用“代換”的方式解二次、三次及四次方程，為了解二次方程

實(shí)際相當(dāng)于解z^2的一元三次方程。這樣就完成了從四次到三次轉(zhuǎn)化。

【后記】

1.在解決一般二次、三次、四次方程的時(shí)候,Viète是如何消去它們的一次、二次、三次方項(xiàng)的呢？待定系數(shù)法可以很好的回答這個(gè)問題，如：

2.關(guān)于三次方程求解，還有一個(gè)類似的方法

3. 為了尋求二次、三次、四次方程的“共同點(diǎn)”，并借此探尋五次方程的求解方式，17、18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們做了不懈努力，其中以拉格朗日的“預(yù)解式”最為突出，這將在下節(jié)為大家介紹。