俗語云“種瓜得瓜，種豆得豆”，數(shù)學(xué)上有“種線得線，種圓得圓”：平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)Q隨著動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，我們把點(diǎn)P叫做主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q叫做從動(dòng)點(diǎn)；當(dāng)這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)與某個(gè)定點(diǎn)連線的夾角一定，且與該定點(diǎn)距離之比一定時(shí)（簡(jiǎn)記為“定角、定比”），易判斷兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)構(gòu)成的三角形形狀一定，大小可能變，此時(shí)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡形狀相同。

瓜豆問題的本質(zhì)是旋轉(zhuǎn)、相似（包含全等）變換，往往與共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（手拉手）模型相結(jié)合，考查類型有：（1）確定動(dòng)點(diǎn)軌跡；（2）求運(yùn)動(dòng)路程；（3）求線段最值、面積最值等。

如圖1，已知l為定直線，O為直線外一定點(diǎn)，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，若Q為直線OP上一點(diǎn)（一般在線段OP上），且Q點(diǎn)到O點(diǎn)的距離與P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離之比為定值k（k＞0且k≠1），即OQ/OP=k，此時(shí)我們可認(rèn)為Q、P兩點(diǎn)與定點(diǎn)O連線的夾角一定（夾角為0°），符合瓜豆原理“定角、定比”的條件，因而Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是直線。

圖1 

如圖2，另取一組對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P’、Q’,則OQ’/OP’=OQ/OP=k，因而△OQ’Q∽△OP’P，相似比為k，可知從動(dòng)點(diǎn)Q在平行于l的直線m上運(yùn)動(dòng).易判斷點(diǎn)O到直線m和l的距離之比也等于k。

圖2

如圖1，已知l為定直線，O為直線外一定點(diǎn)，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，將射線OP繞著點(diǎn)O按確定的方向（如順時(shí)針）旋轉(zhuǎn)一個(gè)確定的角度α（0＜α＜180°），得到射線OM，在射線OM上取一點(diǎn)Q，使OQ/OP=k（k為大于0的定值），此時(shí)符合瓜豆原理“定角、定比”的條件，因而Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是直線。

 圖1   

如圖2，另取一組對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P’、Q’,則Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡即為直線QQ’，∵∠POQ=∠P’OQ’=α，∴∠POP’=∠QOQ’，又∵OQ/OP=OQ’/OP’=k，∴△OPP’∽△OQQ’.特別的，當(dāng)k=1時(shí)，△OPP’≌△OQQ’.k≠1時(shí)，△OQQ’可看做由△OPP’繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并放縮（0＜k＜1時(shí)縮小，k＞1時(shí)放大）而來.直線QQ’可看做由直線l繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角而來，0＜α＜90°時(shí)，兩直線的夾角即為α。

圖2

圖1

圖2

方法二：如圖3，當(dāng)點(diǎn)B位于原點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C位于C₁（2，-2√3）處，當(dāng)點(diǎn)B位于B₂（0，4√3/3）時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C位于C₂（0，-4√3/3）處，則點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為射線C₁C₂，當(dāng)OC’⊥C₁C₂時(shí)，OC’最??；易證△AB₂O≌△AC₂C₁，∴∠AC₂C₁=∠AB₂O=60°，則∠OC₂C’=60°，∴OC’=√3/2OC₂=2，即OC的最小值為2.

圖3

【小結(jié)】

如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB邊向終點(diǎn)B作無折返運(yùn)動(dòng)，連接DE，以DE為邊向右上方作正方形DEFG，則點(diǎn)E在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)F經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為______.

【分析】E為主動(dòng)點(diǎn)，F為從動(dòng)點(diǎn)，依據(jù)正方形的性質(zhì)，兩動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)A的連線夾角恒為45°，且始終有DF：DE=√2，符合瓜豆原理“定角、定比”的特征，故F點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，由臨界情況確定該線段的兩個(gè)端點(diǎn)，結(jié)合“共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（手拉手）”相似模型，運(yùn)用相似比計(jì)算該線段長(zhǎng).

圖1

圖2

【小結(jié)】

1、圖1中，△DAB與△DEF構(gòu)成“共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（手拉手）”模型，伴隨產(chǎn)生一組相似三角形（△DAE和△DBF）；

2、瓜豆題型的突破口在于找到從動(dòng)點(diǎn)、主動(dòng)點(diǎn)和某定點(diǎn)之間的“定角、定比”關(guān)系.

如圖，△ABC為等邊三角形，AB=4，AD為高，E為直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE并以CE為邊向下作等邊△CEF，連接DF；則點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)的過程中，線段DF的最小值為_________.

【解答】1

【解答】（√2+√6）/2; （2√2+√6）/2

【解答】6

如圖，點(diǎn)A是雙曲線y=4/x在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)，交雙曲線的另一支于點(diǎn)B，以AB為斜邊作等腰Rt△ABC，點(diǎn)C落在第二象限內(nèi)，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也在不斷變化，但始終在同一函數(shù)圖像上，則該函數(shù)解析式為___________.

方法一：根據(jù)點(diǎn)C坐標(biāo)判斷，連接CO過點(diǎn)C向x軸作垂線段，構(gòu)建“三垂直”模型，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)，表示出點(diǎn)C坐標(biāo)，觀察其坐標(biāo)符合的函數(shù)解析式；

方法二：根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義判斷；

方法三：動(dòng)點(diǎn)A、C與定點(diǎn)O符合瓜豆原理“定角、定比”的特征，因而點(diǎn)C的軌跡是雙曲線的一支，任意的點(diǎn)C均可看做對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而來，因而點(diǎn)C的軌跡可看做由原雙曲線第一象限的一支繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到.

如圖，Rt△ABO中，∠AOB=90°，點(diǎn)A在第一象限、點(diǎn)B在第四象限，且AO：BO=1：√2，若點(diǎn)A（x₀，y₀）的坐標(biāo)x₀，y₀滿足y₀=1/x₀，則點(diǎn)B（x，y）的坐標(biāo)x，y所滿足的關(guān)系式為　 ．

【解答】y=-2/x

如圖1，已知點(diǎn)P為⊙M上一動(dòng)點(diǎn)，O為定點(diǎn)（一般在圓外），Q為直線OP上一點(diǎn)（一般在線段OP上），若OQ/OP=k（k＞0且k≠1），則主動(dòng)點(diǎn)P、從動(dòng)點(diǎn)Q與定點(diǎn)O符合“定角（0°）、定比”特征，因而Q點(diǎn)的軌跡也是圓，如何確定該圓的圓心和半徑呢？

圖1 

如圖1，已知點(diǎn)P為⊙M上一動(dòng)點(diǎn)，O為定點(diǎn)（一般在圓外），將射線OP繞著點(diǎn)O按確定的方向（如順時(shí)針）旋轉(zhuǎn)一個(gè)確定的角度α（0＜α＜180°），得到射線OT，在射線OT上有一點(diǎn)Q，滿足OQ/OP=k（k為大于0的常數(shù)），則主動(dòng)點(diǎn)P、從動(dòng)點(diǎn)Q與定點(diǎn)O符合“定角、定比”的特征，因而Q點(diǎn)的軌跡也是圓，如何確定該圓的圓心和半徑呢？

圖1 

如圖2，連接MP、MO，將射線OM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，得到射線OS，在射線OS上取一點(diǎn)N，使ON/OM=k,則N為定點(diǎn)，易證△OQN∽△OPM，則QN/PM=OQ/OP=k，∴QN=kPM=kR,則QN為定值，由圓的定義知，點(diǎn)Q在以N為圓心，kR長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),即Q點(diǎn)的軌跡是以N為圓心，kR長(zhǎng)為半徑的圓.特別的，當(dāng)k=1時(shí)，△OQN≌△OPM，⊙N和⊙M為等圓，⊙N可看做由⊙M繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角而來；當(dāng)k≠1時(shí)，⊙N可看做由⊙M繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，且半徑放縮k倍（0＜k＜1時(shí)縮小，k＞1時(shí)放大）而來.

圖2

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)D是以點(diǎn)A為圓心4為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，線段CM長(zhǎng)度的最大值為________．

【分析】

【解答】

方法三：主動(dòng)點(diǎn)D、從動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)B符合“定角（0°）、定比”特征，因而點(diǎn)M的軌跡為圓；如圖5，連接AD，∵M為BD的中點(diǎn)，∴取AB得中點(diǎn)E，連接EM，可知E為定點(diǎn)且EM=1/2AD=2，根據(jù)圓的定義知，點(diǎn)M的軌跡為以E為圓心，2為半徑的圓；如圖6，∵C為⊙E外一定點(diǎn)，∴連接CE并延長(zhǎng)，與⊙E交于點(diǎn)M，此時(shí)CM最大，此時(shí)CM=CE+EM=7.

以上方法中，輔助線均有一舉多得之妙，我們可總結(jié)出一些常見的輔助線作法：

①出現(xiàn)直角三角形：常作斜邊的中線；

②出現(xiàn)直角三角形：常倍長(zhǎng)直角邊，構(gòu)造等腰三角形；

③出現(xiàn)線段中點(diǎn)：常取另一線段的中點(diǎn)，構(gòu)造中位線；

④出現(xiàn)線段中點(diǎn)：常倍長(zhǎng)另一線段，構(gòu)造中位線.

【分析】

【解答】

方法二：如圖3，假定AB邊固定，則主動(dòng)點(diǎn)C在半圓（不包括端點(diǎn)G、H）上運(yùn)動(dòng)，從動(dòng)點(diǎn)D可看作由主動(dòng)點(diǎn)C繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，且到點(diǎn)B的距離縮至√2/2倍而來，則將主動(dòng)圓心A按照相同的操作可得到從動(dòng)圓心F，從動(dòng)圓的半徑縮小至主動(dòng)圓半徑的√2/2（即構(gòu)造△BDF∽△BCA，與構(gòu)造“手拉手”模型本質(zhì)相同），D點(diǎn)在如圖所示的半圓（不包括端點(diǎn)I、J）上運(yùn)動(dòng)，A為⊙F外一定點(diǎn)，∴當(dāng)A、F、D共線時(shí)，AD最大，最大值為AF+DF=5√2/2.  

【小結(jié)】

如圖，一次函數(shù)y＝2x與反比例函數(shù)y=k/x（k＞0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在以C（﹣2，0）為圓心，1為半徑的⊙C上，連接AP，Q是AP的中點(diǎn)，連接OQ，已知OQ長(zhǎng)的最大值為3/2，則k的值為______；BQ的最大值為________.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓心在x軸正半軸上的⊙M交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A（-1,0），交y軸正半軸于點(diǎn)B（0，√3），交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著⊙M順時(shí)針向終點(diǎn)C做無折返運(yùn)動(dòng)，D（-2,0），在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，連接DP，Q為線段DP上一點(diǎn)且始終滿足PQ=2DQ，則在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)Q經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為_______；線段DQ掃過的區(qū)域面積為________.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2,0），B（-1,0），以OA為直徑的圓上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)C、D，連接BC，并以BC為直角邊向逆時(shí)針方向作Rt△BCE，使∠CBE=90°，∠BEC=30°，連接CD、ED和BD，則C、D兩點(diǎn)的位置在變化的過程中，△BCE面積的最大值與最小值之差為_______；線段DE的最小值為_________；當(dāng)∠EBD最大時(shí)，線段BE和CD的數(shù)量關(guān)系是_____________.

【解答】4√3, 3-√3，BE=√3CD