物理學(xué)中包含許多不同的方程式，這些方程描述了從微觀世界的粒子行為到宏觀宇宙的演化。在所有的物理方程中，用來描述流體如何流動(dòng)的納維-斯托克斯方程（簡稱NS方程）被認(rèn)為極具挑戰(zhàn)性的，因此被克雷數(shù)學(xué)研究所列為七個(gè)“千禧年大獎(jiǎng)問題”之一（無論是誰解決了其中一個(gè)難題，都將獲得100萬美元的獎(jiǎng)勵(lì)）。

NS方程可以看作是牛頓第二定律的流體版本。牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律告訴我們：

質(zhì)量 × 加速度 = 力

它描述了一個(gè)物體的速度在外力作用下會(huì)如何改變。

在NS方程中，等式左邊包含的是密度和加速度，右邊包含了壓強(qiáng)的變化、內(nèi)力的變化，還有作用在流體上的外力的變化。

NS方程的歷史可追溯到19世紀(jì)20年代，現(xiàn)已被廣泛用來模擬各種物理系統(tǒng)，例如流出水龍頭的水，或流過飛機(jī)機(jī)翼的氣流。從物理學(xué)的角度來看，NS方程運(yùn)作良好，似乎有著非常可靠的預(yù)測(cè)能力；但在數(shù)學(xué)家心中，它們的數(shù)學(xué)合理性卻一直存疑，數(shù)學(xué)家想要證明無論對(duì)于什么樣的流體，也無論對(duì)其流動(dòng)的預(yù)測(cè)發(fā)生在多遠(yuǎn)的未來，這些方程在數(shù)學(xué)性上都是正確的。他們想要知道的是有沒有可能在某些情況下，這些方程會(huì)出現(xiàn)故障，產(chǎn)生不正確的答案，或者根本無法給出任何答案。

證明NS方程的解永遠(yuǎn)存在是這個(gè)千禧年大獎(jiǎng)問題的核心所在。那么，為什么這在數(shù)學(xué)上會(huì)是如此困難的問題？

湍流便是這其中的原因。湍流是有序流動(dòng)的流體變化成的看似不可預(yù)知的漩渦，例如一縷青煙在空氣中擴(kuò)散，牛奶和咖啡的混合，生活中的現(xiàn)象都與湍流有關(guān)。然而，熟悉并沒能孕育出理解，毫不夸張的說：湍流是物理世界中最難以理解的部分之一。

據(jù)說，對(duì)量子力學(xué)做出巨大貢獻(xiàn)的物理學(xué)家維爾納·海森堡（Werner Heisenberg）曾經(jīng)說：“當(dāng)我見到上帝時(shí)，我想問他兩個(gè)問題：為什么會(huì)有相對(duì)論？為什么會(huì)有湍流？我相信他一定會(huì)有第一個(gè)問題的答案。”這個(gè)說法的真實(shí)性雖無從考證，卻道出了許多科學(xué)家對(duì)湍流的感覺。

在探討湍流之前，我們可以先來說說什么是非湍流。一個(gè)簡單的非湍流例子就是一條平穩(wěn)流動(dòng)的河，河流中的每個(gè)部分都以相同的速率向相同的方向運(yùn)動(dòng)。而湍流就是阻撓了這條河平穩(wěn)流動(dòng)的存在，它讓不同部分的河流以不同的速度向不同方向運(yùn)動(dòng)。物理學(xué)家首先將湍流的形成描述為是平穩(wěn)流動(dòng)的渦流，然后在這個(gè)渦流中形成了更小的渦流，更小的渦流中又進(jìn)一步形成更加細(xì)小的渦流……這個(gè)過程循環(huán)往復(fù)，使得流體分裂成許多離散的部分，它們各自運(yùn)動(dòng)，又相互作用。

對(duì)科學(xué)家來說，他們想要了解的是平穩(wěn)的流動(dòng)會(huì)如何分解成湍流，以及如何模擬已產(chǎn)生湍流的流體的形狀變化。而數(shù)學(xué)家想要解決的問題則更為基礎(chǔ)的問題：證明方程的解永遠(yuǎn)存在，即探尋方程是否能從任何起始條件開始，對(duì)任意流體進(jìn)行無限的描述。

因此，總結(jié)說來，NS方程難題可以被分為兩個(gè)部分：

第一個(gè)是關(guān)于方程解的存在性；

第二個(gè)是關(guān)于這些解是否有邊界（是有限的值）。

第一個(gè)部分說的是，對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)模型來說，無論它多么復(fù)雜，若要想代表這個(gè)物理世界，那么它首先必須有解。目前在實(shí)踐中，雖然NS方程為流體的運(yùn)動(dòng)提供了許多很好的預(yù)測(cè)，但是這些都是NS方程的完整解的近似。而之所以會(huì)產(chǎn)生近似值，是因?yàn)槲覀兺ǔ]有簡單的數(shù)學(xué)公式可用，只能用計(jì)算機(jī)進(jìn)行近似的數(shù)值計(jì)算以求解這些方程。雖然科學(xué)家相信這些近似解就是正確的，但在數(shù)學(xué)上仍缺乏一個(gè)能正式表明這些解確實(shí)存在的證明。

第二部分則需要探討這些方程的解是否會(huì)出現(xiàn)奇點(diǎn)，或者說無窮大。這個(gè)問題之所以重要，是因?yàn)槿绻贜S方程中存在這樣一個(gè)無法計(jì)算的無窮大值，那么NS方程就會(huì)失效，解也不復(fù)存在，這直接表明了我們可能漏掉了某些重要的、尚未可知的物理學(xué)。流體力學(xué)的歷史充滿了簡化版的NS方程的解，這些方程產(chǎn)生奇異解。在這種情況下，奇異的解往往暗示著一些以前在簡化模型中沒有考慮過的物理現(xiàn)象。識(shí)別出這種新的物理現(xiàn)象促使著研究人員進(jìn)一步地完善他們的數(shù)學(xué)模型，從而提高模型與現(xiàn)實(shí)之間的一致性。

所以，對(duì)存在性和光滑性問題的追問是為了讓我們徹底地明白在物理世界里真正發(fā)生了什么。許多數(shù)學(xué)家都嘗試過尋找這個(gè)問題的答案，但都以失敗告終。一些物理學(xué)家認(rèn)為，對(duì)強(qiáng)耦合的理解的新進(jìn)展，或許會(huì)有助于破解NS方程。

每當(dāng)我們從數(shù)學(xué)角度談?wù)撐锢矸匠虝r(shí)，很自然的就會(huì)想要知道：這些會(huì)改變我們對(duì)物理世界的看法嗎？經(jīng)過近200年的實(shí)驗(yàn)，我們可以清楚地看出這些方程是有效的：由NS方程預(yù)測(cè)的流動(dòng)與實(shí)驗(yàn)中觀察到的流動(dòng)總是相符的。如果你是一個(gè)實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家，或許這樣的一致性就已經(jīng)足夠了。但是，數(shù)學(xué)家對(duì)存在性和光滑性問題的追問，才能讓我們徹底地明白在物理世界里真正發(fā)生了什么，這有助于我們準(zhǔn)確地看到對(duì)有著任意初始配置的流體是如何發(fā)生瞬時(shí)變化的，甚至能精確定位湍流的開始。