提要

平面內(nèi)把一個圖形沿著一定的方向移動一定的距離得到另一個圖形，這種變換稱為平移變換。根據(jù)需要，平移的對象可以是線段，直線，角，圓，整個圖形等。平移只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小。平移前后的線段，角，弧長，面積保持不變，平移前后的線段平行，對應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等，對應(yīng)角的兩邊分別平行且方向一致，這種性質(zhì)在解題中起著重要作用。平移的實(shí)質(zhì)就是一種轉(zhuǎn)化。通過平移，尋求已知條件與所求問題之間的關(guān)系，從而找到更為合理的解題之路。

知識全解

一．平移法的概念

利用平移變換及其性質(zhì)解題的方法叫做平移法。平移法是分析和解決幾何問題，函數(shù)圖像問題的重要方法之一。若題設(shè)中有平行條件或委托中關(guān)于線段或角的已知條件位置分散，常可用平移變換將一部分條件轉(zhuǎn)移到同一個三角形或平行四邊形中。

理解平移應(yīng)注意以下3點(diǎn)：1.平移是運(yùn)動的一種形式，是圖形變換的一種，這里所說的平移是指在同一平面內(nèi)的圖形變換；2.平移只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小；3.平移是由平移的方向和距離決定的，平移的方向是圖形上某一點(diǎn)到它對應(yīng)點(diǎn)的方向，平移的距離是圖形上某一點(diǎn)與它的對應(yīng)點(diǎn)所連線段的長度；4.圖形的平移實(shí)質(zhì)上是將圖形上所有點(diǎn)按同一方向移動同樣的距離。

二．平面直角坐標(biāo)系中的平移

（1）平面直角坐標(biāo)系中直線的平移：直線y=kx+b(k≠0)平移前后系數(shù)k的值不變。直線向上，下平移m(m>0)個單位分別得y=kx+b+m,y=kx+b-m；向左，右平移m個單位分別得y=k(x+m)+b,y=k(x-m)+b。

坐標(biāo)系中圖形的平移，實(shí)質(zhì)上是點(diǎn)的平移。

學(xué)法指導(dǎo)

類型1 平面幾何中的平移

例1 如圖所示，梯形ABCD中，AD‖BC，∠B+∠C=90度，M,N分別是AD,BC的中點(diǎn)，求證：MN=（BC-AD）/2

【解析】平移兩腰，作ME‖AB交BC于E，MF‖CD交BC于F，則得到平行四邊形ABEM，CDMF，直角三角形MEF，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)易得EF=BC-AD，又因?yàn)镸N是Rt△MEF斜邊上的中線，所有MN=1/2EF，即MN=（BC-AD）/2

【點(diǎn)評】本題經(jīng)過平移使線段，角的位置發(fā)生變化，從而條件和結(jié)論互相靠攏，為解題創(chuàng)造了條件。

類型2 平面直角坐標(biāo)系中的平移

例2 如圖所示，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上

（1）B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為__

（2）將△AOB向左平移3個單位長度得到△A1O1B1，請畫出△A1O1B1

（3)在（2）的條件下，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為__

【解析】（1）由圖1知，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，2），根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，所有B點(diǎn)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)是（-3，2）

（2）可以由圖1得出O,A,B三點(diǎn)的坐標(biāo)為O（0，0），A（1，3），B（3，2），向左平移3個單位長度后得到對應(yīng)三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O1（-3，0），A1（-2，3），B1（0，2），在坐標(biāo)系中描出這三點(diǎn)后再順次連接即可；也可以根據(jù)平移的性質(zhì)作出三角形△A1O1B1，如圖2所示。

（3）點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（-2，3）

【點(diǎn)評】由平移方式求出三角形3個頂點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中標(biāo)出對應(yīng)點(diǎn)，順次連接即得平移后的圖形。

鏈接中考

考點(diǎn)1 平移方法

例1 如圖所示，在方格紙中，線段a,b,c,d的端點(diǎn)在格點(diǎn)上，通過平移其中兩條線段，使得和第三條線段首尾相接組成三角形，則能組成三角形的不同平移方法有（）

A.3種 B.6種 C.8種 D.12種

【解析】由圖，根據(jù)勾股定理可得：a=√2,b=√5,c=2√5,d=√5。因?yàn)閍+b<c,a+d<c,b+d=c,b-a<d<b+a，所以根據(jù)三角形的構(gòu)成條件，只有a,b,d三條線段首尾相接能組成三角形。

如下圖所示，通過平移a,b,d其中兩條線段，使得和第三條線段首尾相接組成三角形，能組成三角形的不同平移法有6種。

【點(diǎn)評】本題利用平移的知識解決問題，有利于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

考點(diǎn)2 平移性質(zhì)

例2 如圖所示，四邊形ABCD中，對角線AC,BD交于點(diǎn)O，且AC=BD,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，連接EF分別交AC,BD于P,Q兩點(diǎn)。求證：∠OPQ=∠OQP

【解析】出現(xiàn)中點(diǎn)，故能想到添加中位線，達(dá)到平移角的目的。取AD的中點(diǎn)G，連接EF,FG，則∠OPQ=∠GFP,∠OQP=∠GEP

∵EG=1/2BD,GF=1/2AC,BD=AC

∴EG=GF

∴∠GFP=∠GEP

∴∠OPQ=∠OQP

【點(diǎn)評】本題還可以取BC的中點(diǎn)，利用平行線的性質(zhì)（內(nèi)錯角相等）達(dá)到轉(zhuǎn)化角的目的。

考點(diǎn)3 平移直線

例3 （1）直線y=2x+1向下平移2個單位后的表達(dá)式是__

（2）直線y=2x+1向右平移2個單位后的表達(dá)式是__

【解析】易知該直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,1)，且根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)，直線平移后比例系數(shù)k不變，仍是2，于是可設(shè)平移后的函數(shù)表達(dá)式為y=2x+b

（1）設(shè)平移后的函數(shù)表達(dá)式為y=2x+b。直線y=2x+1向下平移2個單位后，A點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)椋?，-1），代入y=2x+b中，解得b=-1，此時函數(shù)表達(dá)式為y=2x-1。

（2）直線y=2x+1向右平移2個單位后，A點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)椋?，1），代入y=2x+b，解得b=-3，此時函數(shù)表達(dá)式為y=2x-3

【點(diǎn)評】直線的平移規(guī)律，可以借助直線上幾個特殊點(diǎn)的坐標(biāo)變化來找到。

考點(diǎn)4 平移拋物線

【解析】（1）令x=0，則y=c，故C(0,c)

∵OC的距離為3

∴|c|=3，即c=±3

∴C(0,3)或(0，-3)

（2）∵x1·x2<0，∴x1,x2異號

1.若C(0,3)，即c=3

把C(0,3)代入y2=-3x+t，即0+t=3，即t=3

∴y2=-3x+3

把A（x1,0）代入y2=-3x+3，即-3x1+3=0，即x1=1

∴A(1,0)

∵x1,x2異號,x1=1>0,∴x2<0

∵|x1|+|x2|=4

∴1-x2=4

解得：x2=-3,則B（-3，0）

則當(dāng)x≤1 時，y隨x增大而增大

2. 若C(0,-3)，即c=-3，把C(0,-3)代入y2=-3x+t,則

0+t=-3，即t=-3

∴y2=-3x-3

把A（x1,0）代入y2=-3x-3，則

-3x1-3=0，即x1=-1

∴A（-1,0）

∵x1,x2異號,x1=-1<0,∴x2>0

∵|x1|+|x2|=4

∴1+x2=4

解得：x2=3,則B（3，0）

則當(dāng)x≥1 時，y隨x增大而增大

綜上所述，若c=3，當(dāng)y隨x增大而增大時，x≤-1

若若c=-3，當(dāng)y隨x增大而增大時，x≥1

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)的平移以及二次函數(shù)增減性等知識，利用分類討論得出n的取值范圍是解題關(guān)鍵。