線段的定比分點(diǎn)與圖形平移、解斜三角形及其應(yīng)用

二. 教學(xué)重、難點(diǎn)：

1. 掌握線段的定比分點(diǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并能熟練運(yùn)用，掌握平移公式

2.（1）理解并掌握正弦定理、余弦定理、面積公式。

（2）會(huì)運(yùn)用正、余弦定理解決三角形中的計(jì)算和證明問題。

（3）能利用三角公式及三角形知識(shí)解決有關(guān)三角形的問題以及有關(guān)的實(shí)際問題。

【典型例題】

[例1] 已知拋物線

（1）求拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求將這條拋物線的頂點(diǎn)平移到點(diǎn)（2，）時(shí)的函數(shù)解析式；

（3）將此拋物線按怎樣的向量平移，能使平移后曲線的函數(shù)解析式為。

解：

（1）將配方，得

故拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）

（2）將點(diǎn)平移到點(diǎn)（）時(shí)，設(shè)平移向量，則

   即點(diǎn)的平移公式為

于是    ∵ 點(diǎn)（）在拋物線上

∴ 將平移公式代入可得

化簡得

即平移后函數(shù)的解析式為

（3）方法一：按平移公式  即

代入原拋物線的解析式

得

化簡得

與平移后曲線的解析式比較可得

解得    ∴ 所求平移向量為

方法二：由配方得，即

作平移，使   則方程化為，即

此時(shí)平移向量

[例2] 已知曲線按向量平移后得到曲線C。

（1）求曲線C的方程；

（2）過點(diǎn)D（0，2）的直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，且M在D、N之間，設(shè)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍。

解：（1）原曲線即為，則平移后的曲線為，即

（2）設(shè)M（），N（），則

由于點(diǎn)M、N在上，則

即

消去，得

即    ∵     ∴

又 ∵ ，故     ∴ 的取值范圍是

[例3] 如圖，橢圓，直線：，P是上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于R，點(diǎn)Q在OP上，且有，當(dāng)點(diǎn)P在直線上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程。

解：設(shè)Q（），（為正參數(shù)），則P（），R（）

∵     即     ∴

∴     ∴     ①    ∵ P、R分別在直線與橢圓上

        ∴  ②    ③

將②③代入①，得

化簡，得（不同時(shí)為0）

[例4] 在中，分別為角A、B、C的對(duì)邊，S為的面積，且

。

（1）求角B的度數(shù)；

（2）若，S=，求的值。

解：（1）由，

得

即

∴      ∵     ∴ 或

（2）∵     ∴

即    ∴  

由余弦定理得

或

   ∴  

[例5] 在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為，且。

（1）求的值；

（2）若，求的最大值。

解：（1）

（2）∵

∴     ∴

又 ∵    ∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故的最大值是。

[例6] 在中，已知，試判斷該三角形的形狀。

解：方法一：已知即

∴

由正弦定理，即

∴

∴ ，由

得或

即是等腰三角形或直角三角形

方法二：同上可得

由正、余弦定理，即得

∴

即

∴ 或

故三角形為等腰三角形或直角三角形

[例7] 在中，已知，AC邊上的中線BD=，求的值。

解：方法一：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE。則DE//AB，且

設(shè)   在中利用余弦定理可得：

，即

解之，得（舍去）

故，從而

即    又，故，即

方法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向建立直角坐標(biāo)系，且不妨設(shè)點(diǎn)A位于第一象限

由，則

設(shè)，則

由條件得，從而（舍去）

故   于是

∴

方法三：如圖，過A作AH⊥BC交BC于H，延長BD到P使BD=DP，連結(jié)AP、PC。

過P作PN⊥BC交BC的延長線于N，則HB=AB，

BN=

而   ∴ BC=

   故由正弦定理得

即

[例8] 為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，三角形支架如圖所示，要求，BC長度大于1，且AC比AB長，為了廣告牌穩(wěn)固，要求AC的長度越短越好，求AC最短為多少？且當(dāng)AC最短時(shí)，BC長度為多少？

解：設(shè)，

則在中，

將代入，得，化簡得

∵     ∴   

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最小值

∴ 最短為，此時(shí)，BC長為

【模擬試題】

一. 選擇：

1. 若函數(shù)的圖象按向量平移后得到函數(shù)的圖象，那么（    ）

A. 只能是

B. 只能是

C. 只能是或

D. 只能是

2. 把點(diǎn)（3，4）按向量平移后的坐標(biāo)為（），則的圖象按向量平移后的圖象的函數(shù)表達(dá)式為（    ）

A.                          B.

C.                          D.

3. 把函數(shù)的圖象按向量平移，得的圖象，且，，，則等于（    ）

    A.     B.     C.      D.

4. 已知點(diǎn)和（1，7），直線與線段的交點(diǎn)M分有向線段的比為，則的值為（    ）

A.     B.     C.     D. 4

5. 設(shè)A是最小內(nèi)角，則的取值范圍是（    ）

    A.     B.     C.     D.

6. 若中，，則的形狀為（    ）

A. 直角三角形                   B. 等邊三角形

C. 等腰三角形                   D. 等腰直角三角形

7. ，如果，則的形狀是（    ）

    A. 等邊三角形    B. 直角三角形    C. 等腰三角形    D. 等腰直角三角形

8. 在中，設(shè)命題：，命題：是等邊三角形，那么命題是命題的（    ）

A. 充分不必要條件         B. 必要不充分條件   

C. 充分必要條件             D. 既不充分又不必要條件

二. 解答題：

1. 已知

（1）設(shè)A、B、C為內(nèi)角，當(dāng)取得最小值時(shí)，求；

（2）當(dāng)且時(shí)，的圖象通過向量平移得到函數(shù)

的圖象，求向量。

2. 若將函數(shù)的圖象按向量平移后得到的解析式是，這樣的平移向量是否唯一確定？若唯一，求出這一向量；若不唯一，指出它們之間的關(guān)系。

3. 我艦在敵島A南偏西相離12海里的B處，發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西的方向以10海里/時(shí)的速度航行，問我艦需以多大速度，沿什么方向航行能用2小時(shí)追上敵艦？

【試題答案】

一.

1. D

2. A

    解析：由題意知，故將按平移后的解析式為

3. B

4. D

解析：由的方程為，與聯(lián)立，得

∴ ，解得     ∴

5. D

解析：∵ ，又，故

∴    ∴

又 ∵

∴

6. C

解析：

又由

又，故，即

7. B

解析：∵    ∴     ∴     

∴ C  ∵     ∴

∴    ∴ ，即

化簡得    ∴ ，故選B

8. C

解析：

由正弦定理   ∴

∴

二.

1. 解析：

（1）

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，

此時(shí)或

故或

（2）當(dāng)A+B=時(shí)，2A+2B=，

即  ①

此函數(shù)圖象平移，則

∴ 代入①   

此函數(shù)應(yīng)與相同

∴ 即所求

2. 解：設(shè)，上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為（），平移前上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則有即

又，則，即

又的解析式是，則，可見平移向量不唯一，向量的坐標(biāo)滿足即可。

3. 解：設(shè)敵艦位置為C，在中，∵ AB=12，AC=20，

由余弦定理，得

∴ BC=28    ∴ 我艦的追擊速度應(yīng)為海里/時(shí)，即14海里/時(shí)

在中，由正弦定理，得

即

∴

故我艦航行的方向?yàn)楸逼珫|