用二次函數(shù)解決問題

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.能運(yùn)用二次函數(shù)分析和解決簡單的實(shí)際問題，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識．

2.深刻理解二次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型．

【知識點(diǎn)梳理】

1、二次函數(shù)解應(yīng)用題

列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，

學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個變量的等式．

對于應(yīng)用題要注意以下步驟：

① 審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，

找出等量關(guān)系 ( 即函數(shù)關(guān)系 )．

② 設(shè)出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確．

③ 列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)．

④ 按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題 .

⑤ 檢驗(yàn)所得解是否符合實(shí)際：即是否為所提問題的答案．

⑥ 寫出答案．

注：

常見的問題：求最大 ( 小 ) 值 ( 如求最大利潤、最大面積、最小周長等 )、涵洞、橋梁、拋物體、

拋物線的模型問題等.

解決這些實(shí)際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式 .

2、建立二次函數(shù)模型求解實(shí)際問題

一般步驟：

① 恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；

② 將已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；

③ 合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；

④ 代入已知條件或點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；

⑤ 利用關(guān)系式求解問題．

注：

(1) 利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，

利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，

再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.

在研究實(shí)際問題時要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.

(2) 對于本節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)由低到高處理好如下三個方面的問題：

① 首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；

② 學(xué)會從實(shí)際問題中建立二次函數(shù)的模型；

③ 借助二次函數(shù)的性質(zhì)來解決實(shí)際問題.

【典型例題】

類型一、利用二次函數(shù)求實(shí)際問題中的最大（小）值

【例題1】某水產(chǎn)品養(yǎng)殖企業(yè)為指導(dǎo)該企業(yè)某種水產(chǎn)品的養(yǎng)殖和銷售，

對歷年市場行情和水產(chǎn)品養(yǎng)殖情況進(jìn)行了調(diào)查．

調(diào)查發(fā)現(xiàn)這種水產(chǎn)品的每千克售價(jià) y1 ( 元 ) 與銷售月份 x ( 月 ) 滿足關(guān)系式 y1 = -3/8 x + 36，

而其每千克成本 y2 ( 元 ) 與銷售月份 x ( 月 ) 滿足的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

(1) 試確定 b，c 的值；

(2) 求出這種水產(chǎn)品每千克的利潤y(元)與銷售月份x(月)之間的函數(shù)關(guān)系式；(不要求指出x的取值范圍)

(3) “五一” 之前，幾月份出售這種水產(chǎn)品每千克的利潤最大?最大利潤是多少?

【答案與解析】

【點(diǎn)評】

在用二次函數(shù)知識解決實(shí)際問題時，有的同學(xué)易忽略自變量的取值范圍，

有的題目結(jié)果中的值看上去有意義，但不一定符合題意，

有的題目本身就隱含著對自變量的限制，常?？紤]不周而造成錯解．

類型二、利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑問題

【例題2】某工廠大門是拋物線形水泥建筑，大門地面寬為 4 m，頂部距離地面的高度為 4.4 m，

現(xiàn)有一輛滿載貨物的汽車欲通大門，其裝貨寬度為 2.4 m，該車要想過此門，

裝貨后的最大高度應(yīng)是多少 m？

【思路點(diǎn)撥】

因?yàn)樾ｉT是拋物線形，不妨將這一問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進(jìn)行研究，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，

將已知數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)關(guān)系式求高．

【答案與解析】

解：建立如圖平面直角坐標(biāo)系：

設(shè)拋物線的解析式為 y = ax2，

由題意得：

點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（2，﹣4.4），

∴﹣4.4 = 4a，

解得：a=﹣1.1，

∴ 拋物線的解析式為 y=﹣1.1x2，

當(dāng) x = 1.2 時，

y =﹣1.1×1.44=﹣1.584，

∴ 線段 OB 的長為1.584 米，

∴ BC= 4.4﹣1.584 = 2.816 米，

∴ 裝貨后的最大高度為 2.816 米，

故答案為：2.816 米．

【點(diǎn)評】

利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑問題一般步驟：

(1) 恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；

(2) 將已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3) 合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；

(4) 代入已知條件或點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；

(5) 利用關(guān)系式求解問題．

類型三、利用二次函數(shù)求跳水、投籃等實(shí)際問題

【例題3】如圖所示，一位運(yùn)動員在距籃下 4 米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，

當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為 2.5 m 時，達(dá)到最大高度 3.5 m，然后準(zhǔn)確落入籃筐，

已知籃筐中心到地面的距離為 3.05 m，若該運(yùn)動員身高1.8 m，

在這次跳投中，球在頭頂上方 0.25 m 處出手，

問：球出手時，他跳離地面的高度是多少?

【答案與解析】

如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A(1.5，3.05) 表示籃筐，點(diǎn) B(0，3.5) 表示球運(yùn)行的最大高度，

點(diǎn) C 表示球員籃球出手處，其橫坐標(biāo)為 -2.5，

設(shè) C 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 n，過點(diǎn) C、B、A 所在的拋物線的解析式為 y = a（x - h）2 + k，

由于拋物線開口向下，則點(diǎn) B(0，3.5) 為頂點(diǎn)坐標(biāo)，

∴ y = ax2 + 3.5．

∵ 拋物線 y = ax2 + 3.5 經(jīng)過點(diǎn) A(1.5，3.05)，

∴ 3.05＝a·1.52 + 3.5，

∴ a = -1/5 .

∴ 拋物線解析式為 y = -1/5 x2 + 3.5．

∴ n = -1/5 × （-2.5）2 + 3.5，

∴ n＝2.25．

∴ 球出手時，球員跳離地面的高度為 2.25 - (1.8+0.25)＝0.20 (米)．

【點(diǎn)評】

首先要建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，構(gòu)造函數(shù)模型，將已知數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)，

然后利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再利用解析式求出拋物線上已知橫坐標(biāo)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，

結(jié)合已知條件，得到實(shí)際問題的解．

類型四、利用二次函數(shù)求圖形的邊長、面積等問題

【例題4】一條隧道的截面如圖所示，它的上部是一個以 AD 為直徑的半圓 O，

下部是一個矩形ABCD．

(1) 當(dāng) AD＝4 米時，求隧道截面上部半圓 O 的面積；

(2) 已知矩形 ABCD 相鄰兩邊之和為 8 米，半圓 O 的半徑為 r 米．

① 求隧道截面的面積 S ( m )2 關(guān)于半徑 r ( m ) 的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出r的取值范圍)；

② 若 2 米 ≤ CD ≤ 3 米，利用函數(shù)圖象求隧道截面的面積 S 的最大值．( π 取 3.14，結(jié)果精確到 0.1米)

【思路點(diǎn)撥】

① 根據(jù)幾何圖形的面積公式可求關(guān)于面積的函數(shù)解析式；

② 利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，在自變量的取值范圍內(nèi)確定面積的最大值．

【答案與解析】

【點(diǎn)評】

解此類問題，一般先應(yīng)用幾何圖形的面積公式，寫出圖形的面積與邊長之間的關(guān)系，

再用配方法或公式法求頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)與自變量的取值范圍確定最大面積．