二次函數(shù)實際應用

大家好，很多同學在碰到二次函數(shù)應用題的時候就會發(fā)怵，其實大可不必，只要我們掌握了它的規(guī)律及常見題型即可。當然題目千變?nèi)f化，總之都是文章中所列題型的變形及升華而已，關鍵是要掌握核心的思想，題目附件的條件越多你越不能慌，要抽絲剝繭慢慢理出頭緒?？傊?，在解答應用題型的時候一定要學會分析，要學會逆向思維，要先從求得入手，要求什么需要先知道什么一層一級你就會發(fā)現(xiàn)給你的條件一個個浮出水面。

關于二次函數(shù)應用題，主要是利用了它的求最值的特性。利用二次函數(shù)解決實際問題可以分為三個步驟：

（1）由于拋物線的頂點是最低（高）點，當時x=-b/2a，二次函數(shù) 有最?。ù螅┲?4ac-b^2)；

（2）列出二次函數(shù)的解析式，并根據(jù)自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍；

（3）在自變量的取值范圍內(nèi)，求出二次函數(shù)的最大值或最小值。

取值范圍及最值

左圖，當對稱軸左邊部分y的值隨著x的增大不斷減小直到最小值，也就是拋物線頂點。當x的值大于對稱軸后，y的值隨著x的增大而增加。

右圖，當對稱軸左邊部分y的值隨著x的增大不斷增加直到最大值，也就是拋物線頂點。當x的值大于對稱軸后，y的值隨著x的增大而減小。

所以，在x的取值范圍內(nèi)，我們要觀察它的實際區(qū)域。這就是x的取值重要。當然也要根據(jù)實際情況來取值。

我們先來看一道基礎題型。

【例1】、紅梅超市進了一批每雙30元的涼鞋，現(xiàn)在的售價為每雙40元，每星期可賣出150雙。老板算一筆賬：如果每雙的售價每漲1元（售價每雙不能高于45元）那么每星期少賣10雙。設每雙漲價x元（x為非負整數(shù)），每星期的銷量是y雙。

根據(jù)這種情況，如何定價才能使每星期的利潤最大且每星期的銷量較大？每星期的最大利潤是多少？

【分析思路】

這類題型是條件最少也是最簡潔的求利潤問題。解決這類題型有幾個步驟：

1）利用漲價或降漲價幅度以及帶來的售賣數(shù)量變化來計算少賣和多賣的數(shù)量。

2）沒有漲價或降價前銷售的數(shù)量，作為漲價少賣或者降價多賣的差值計算。

3）根據(jù)條件列出自變量x的取值范圍。

4）根據(jù)條件例出頂點形式的解析式。

5）在x的取值范圍內(nèi)，計算解析式最值即可。

【解題】

1、x由于是漲價 并且售價不能超過45元，可得x的取值范圍：40≤x≤45。

2、根據(jù)表格得出解析式

y=(150-10x)(10+x)

=-10(x-2.5)^2+1562.5

因為條件給出x是非負正數(shù)，所以當x=2或者x=3時，也就是售價是42元或者43元時，利潤最大且利潤是1560元。

通過以上的小試牛刀，現(xiàn)在我們來看看二次函數(shù)在實際考試中都有哪些題型吧！Let's go!

第一類、求利潤類問題

【例2】、某酒店有50個房間，當每間房價每天180元時房間會住滿。當每間每天的房價每增加10元時，就會有一個房間空閑。酒店需對每個已住房間每天支出20元的費用。根據(jù)規(guī)定，每間每天的房價不得高于340元。設每個房間的房價每天增加x元(x為10的正整數(shù)倍)。

(1) 設一天訂住的房間數(shù)為y，直接寫出y與x的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍；

(2) 設賓館一天的利潤為w元，求w與x的函數(shù)關系式；

(3) 一天訂住多少個房間時，賓館的利潤最大？最大利潤是多少元？

【分析思路】

1）由于每間房定價不能超過340元，那么漲價的最大值就是340元-原先定價180元=160元?？梢缘贸鰸q價x的取值范圍：(0≤x≤160，且x是10的整數(shù)倍)。

2）根據(jù)例1的解題思路解決問題。(以下同類步驟不再分析。)

【解題】

（1）、(1) y=50-x (0≤x≤160，且x是10的整數(shù)倍)。

（2）、W=(50-1/10x)(180+x-20)= -1/10x^2+34x+8000；

（3）、W= -1/10x^2+34x+8000=-1/10(x-170)^2+10890

當x<170時，W隨x增大而增大，但0≤x≤160，所以，當x=160時，W最大=10880。

當x=160時，y=50-x=34。

答：一天訂住34個房間時，賓館每天利潤最大，最大利潤是10880元。

第二類、求面積類問題

【例題3】、張大爺準備圍建一個矩形生物苗圃園。其中一邊靠墻，另外三邊用長為30米的籬笆圍成。已知墻長為18米（如圖所示），設這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為x米.

張大爺苗圃園

（1）若平行于墻的一邊的長為y米，直接寫出y與x之間的函數(shù)關系式及其自變量x的取值范圍；

（2）垂直于墻的一邊的長為多少米時，這個苗圃園的面積最大，并求出這個最大值；

（3）當這個苗圃園的面積不小于88平方米時，試結合函數(shù)圖像，直接寫出x的取值范圍.

【解答】

（1）、設y=30-2x(6≤x<15)。

（2）、設矩形苗圃園的面積為S

S=xy=x(30-2x)=-2x^2+30x

=-2(x-7.5)^2+112.5 根據(jù)(1)知，6≤x<15

所以當x=7.5時，S最大值=112.5

也就是當矩形苗圃園垂直于墻的一邊長是7.5米時，張大爺?shù)拿缙詧@面積最大且最大值是112.5。

第三類、方案設計類問題

【例題4】、某單位擬用一節(jié)容積是90立方米、最大載重量為50噸的火車皮運輸購進的A、B兩種材料共50箱．已知A種材料一箱的體積是1.8立方米、重量是0.4噸；B種材料一箱的體積是1立方米、重量是1.2噸；不計箱子之間的空隙，設A種材料進了x箱。

（1）求廠家共有多少種進貨方案（不要求列舉方案）？

（2）若工廠用這兩種材料生產(chǎn)出來的產(chǎn)品的總利潤y（萬元）與x（箱）的函數(shù)關系大致如下表1：

表1

請先根據(jù)上表畫出簡圖，猜想函數(shù)類型，求出函數(shù)解析式（求函數(shù)解析式不取近似值），確定采用哪種進貨方案能讓廠家獲得最大利潤，并求出最大利潤．

【解答】

（1）、設A種材料進了x箱，那么得出B進了(50-x)箱

根據(jù)題意：（1）、1.8*x+1*(50-x)≤90，（2）、0.4*x+1.2*(50-x)≤50，由(1)(2)解得：

12.5≤x≤50，由于x是箱子正數(shù)，得出x=50-13=37種進貨方案。

（2）、根據(jù)表格繪制圖像

根據(jù)圖表繪制圖形

根據(jù)圖像判斷，可以函數(shù)是二次函數(shù)，設二次函數(shù)的解析式為：y=ax^2+bx+c

根據(jù)圖像可得二次函數(shù)經(jīng)過（15，10）、（25，40）、（45，40）三點坐標，將這三點坐標代入二次函數(shù)解析式可解得a=-0.1,b=7,c=-72.5。

那么二次函數(shù)的解析式為：y=-0.1x^2+7x-72.5，根據(jù)頂點公式x=-b/2a=35時，函數(shù)有最大值，由此可知廠家最大利潤是50.1萬元。

第四類、拱橋類問題

【例題5】、如下圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE，ED，DB組成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，拋物線的頂點C到ED的距離是11米，以ED所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標系．

拱橋問題

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知從某時刻開始的40小時內(nèi)，水面與河底ED的距離h（單位：米）隨時間t（單位：時）的變化滿足函數(shù)關系h=-1/128(t-19)^2+8（0≤t≤40），且當水面到頂點C的距離不大于5米時，需禁止船只通行，請通過計算說明：在這一時段內(nèi)，需多少小時禁止船只通行？

【解答】

（1）、設拋物線為 y=ax^2+11,由題意可得B(8,8)，將坐標代入解析式可得：64a+11=8

解得：a=-3/64，所以 y=-3/64x^2-11。

（2），根據(jù)題意，水面到頂點C的距離不大于5米時，即水面與河底ED的距離h至多是6米。

所以 6=-1/128(t-19)^2+8,解得t1=35,t2=3,t1-t2=35-3=32（小時）。

第五類、運動類問題

【例題6】、如圖，排球運動員站在點O處練習發(fā)球，將球從O點正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度y（m）與運行的水平距離x（m）滿足關系式y(tǒng)=a（x-6）2+h．已知球網(wǎng)與O點的水平距離為9m，高度為2.43m，球場的邊界距O點的水平距離為18m．

網(wǎng)球場

（1）當h=2.6時，求y與x的關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）

（2）當h=2.6時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由；

（3）若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求h的取值范圍．

【解答】

（1）、y=-1/60(x-6)^2+2.6

（2）、當x=9時，y=2.45>2.43，所以球能過球網(wǎng)。

當y=0時，-1/60(x-6)^2-2.6=0解得 x1=6+2√39>18，x2=6-2√39(舍去)

x1=6+2√39>18，所以球會出界。

（3）、h>8/3。

第六類、幾何類問題

【例題7】如圖，拋物線y=ax+bx+1交y軸于點A，交x軸正半軸于點B（4，0），過點A的直線相交于另一點D（3，2.5），過點D作DC⊥x軸于點C.

幾何圖形

（1）求拋物線的表達式；

（2）若點P在線段OC上（不與點O、C重合），過P作PN⊥x軸交直線AD于點M，交拋物線于點N，連接CM，求△PCM的面積的最大值；

（3）若P是x軸正半軸上的一動點，設OP的長為t，是否存在t，使以點M、C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

【解答】

解析：

（1）代入B、D坐標，即可得拋物線解析式為：y=-0.75x+2.75x+1。

（2）運用代數(shù)辦法，用未知數(shù)表示出△PCM的面積，配方求最值。

拋物線解析式為：y=-3x/4+11x/4+1。

A（0，1），用待定系數(shù)法可求得：

直線AD的解析式：y=0.5x+1。

設P(t,0)，∴M(t,0.5t+1)。

∴PM=0.5t+1，∵CD⊥x軸，∴PC=3-t。

∴△PCM面積=PC·PM÷2=(3-t)(0.5t+1)÷2=-0.25(t-0.5)+25/16。

∴△PCM的面積的最大值是25/16。

（3）利用平行四邊形對邊相等的性質，表示出相應線段長，列方程解答。

∵OP=t。

∴點M、N的橫坐標為t，設M(t,0.5t+1)，N(t,-0.75t+2.75t+1)。

∴MN=(-0.75t+2.75t+1)-(0.5t+1)= -0.75t+2.25x。

∵CD=2.5，∴如果以點M、C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形。

∴MN=CD，即：-0.75t+2.25x=2.5。

∵△<0，∴方程無實數(shù)根。

∴不存在t，使以點M、C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形。

第七類、噴泉類問題

【例題8】如圖所示,桃河公園要建造圓形噴水池.在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子頂端A處的噴頭向外噴水,水流在各個方向沿形狀相同的拋物線落下,為使水流形狀較為漂亮,要求設計成水流在離OA距離為1m處達到距水面最大高度2.25m。

噴泉

噴泉示意圖

(1)如果不計其它因素,那么水池的半徑至少要多少m,才能使噴出的水流不致落到池外？

(2)若水流噴出的拋物線形狀與(1)相同,水池的半徑為3.5m,要使水流不落到池外,此時水流的最大高度應達到多少m(精確到0.1m)？

【解答】

(1)如圖,建立如圖所示的坐標系,根據(jù)題意得,A點坐標為(0,1.25),頂點B坐標為(1,2.25)。

設拋物線為y=a(x-h)^2+k,由待定系數(shù)法可求得拋物線表達式為:y=-(x-1)^2+2.25。

當y=0時,可求得點C的坐標為(2.5,0);同理,點D的坐標為(-2.5,0)。

根據(jù)對稱性,如果不計其它因素,那么水池的半徑至少要2.5m,才能使噴出的水流不致落到池外。

(2)如圖,根據(jù)題意得,A點坐標為(0,1.25),點C坐標為(3.5,0)。

設拋物線為y=-(x-h)^2+k,由待定系數(shù)法可求得拋物線表達式為:y=-(x-11/7)^2+729/196。

或設拋物線為y=-x^2+bx+c,由待定系數(shù)法可求得拋物線表達式為:y=-x^2+22/7X+5/4。

由此可知,如果不計其它因素,那么水流的最大高度應達到約3.72m