對(duì)外部世界進(jìn)行研究的主要目的在于發(fā)現(xiàn)上帝賦予它的合理次序與和諧，而這些是上帝以數(shù)學(xué)語(yǔ)言透露給我們的?！_(kāi)普勒（Johannes Kepler）

二、文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)

雖然文藝復(fù)興時(shí)期人們只是模糊地理解了希臘人工作的遠(yuǎn)景、價(jià)值和目標(biāo)，但是他們確曾在數(shù)學(xué)上邁出了有創(chuàng)造性的幾步，并且他們?cè)诹硪恍╊I(lǐng)域里取得了進(jìn)展，為我們這個(gè)學(xué)科在17世紀(jì)所達(dá)到的驚人的高潮鋪平了道路。

1.透視法

藝術(shù)家們最先表示出對(duì)自然界恢復(fù)了興趣，最先認(rèn)真地運(yùn)用希臘的學(xué)說(shuō)：“數(shù)學(xué)是自然界真實(shí)的本質(zhì)。”也許他們對(duì)希臘的思想和智慧是感覺(jué)了，但很難說(shuō)是理解了。在某種程度上這反而是有利的，因?yàn)樗麄兾词苷?guī)學(xué)校教育，就可以不受那些教條的約束。另外，他們享有表達(dá)思想的自由，因?yàn)樗麄兊墓ぷ鞅徽J(rèn)為是“無(wú)害的”。

文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)家們受雇于王公貴族去執(zhí)行各種任務(wù)，從創(chuàng)作圖畫到設(shè)計(jì)防御工事、運(yùn)河、橋梁、軍事器械、宮殿、公共建筑和教堂。所以他們必須學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理、建筑學(xué)、工程學(xué)、石工、金工、解剖學(xué)、木工、光學(xué)、靜力學(xué)和水力學(xué)。他們進(jìn)行了手工操作，但也解決了最抽象的問(wèn)題。在15世紀(jì)他們是最好的數(shù)學(xué)物理學(xué)家。

要評(píng)價(jià)他們對(duì)幾何學(xué)的貢獻(xiàn)，就必須注意到他們?cè)诶L畫方面的新目標(biāo)。在中世紀(jì)頌揚(yáng)上帝和為圣經(jīng)插圖是繪畫的目的。對(duì)圖形的要求是象征性超過(guò)現(xiàn)實(shí)性。到文藝復(fù)興時(shí)期，描繪現(xiàn)實(shí)世界成為繪畫的目標(biāo)。于是面臨一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，就是把三維的現(xiàn)實(shí)世界繪制到二維的畫布上。

布魯內(nèi)列斯基（Filippo Brunelleschi，1377—1446）是第一個(gè)認(rèn)真地研究并使用數(shù)學(xué)的藝術(shù)家，對(duì)數(shù)學(xué)的興趣引導(dǎo)他去研究透視法，他從事繪畫正是為了運(yùn)用幾何。他讀了歐幾里得、希帕恰斯和維泰洛在數(shù)學(xué)和光學(xué)方面的作品，并且向佛羅倫薩的數(shù)學(xué)家托斯卡內(nèi)利（Paolo del Pozzo Toscanelli，1397—1482）學(xué)習(xí)。畫家烏切洛（Paolo Uccello，1397—1475）和馬薩丘（Masaccio，1401—1428）也探索了實(shí)際透視法的數(shù)學(xué)原理。

數(shù)學(xué)透視法方面的天才是阿爾貝蒂（Leone Battista Alberti，1404—1472）。他的《論繪畫》（Della pittura，1435）一書1511年出版，其中都是數(shù)學(xué)，也包含了一些光學(xué)方面的工作。他的另一本重要的數(shù)學(xué)著作是《數(shù)學(xué)游戲》（Ludi mathematici，1450），這本書里有機(jī)械、測(cè)量、計(jì)時(shí)和炮術(shù)方面的應(yīng)用。阿爾貝蒂所設(shè)想的原理成了他藝術(shù)上的繼承人所采用并加以完善的透視法數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ)。

在眼睛和景物之間插進(jìn)一張直立的玻璃屏板，設(shè)想光線從眼睛或觀測(cè)點(diǎn)出發(fā)射到景物本身的每一個(gè)點(diǎn)上。他把這些光線叫做光束棱錐或投影線。設(shè)想在這些線穿過(guò)玻璃屏板（畫面）之處都標(biāo)出一些點(diǎn)子，他把這點(diǎn)集叫做截景。截景給眼睛的印象和景物本身一樣，因?yàn)閺膬烧甙l(fā)出的光線一樣。所以作畫逼真的問(wèn)題就是在畫布上作出一個(gè)真正的截景。當(dāng)然這個(gè)截景依賴于眼睛的位置和屏板的位置。這意思就是對(duì)同一景物可以繪出不同的畫。

艾伯蒂在《論繪畫》中提供了一些正確的法則，但是沒(méi)有給出全部細(xì)節(jié)。他提出了一個(gè)很重要的問(wèn)題：如果在眼睛和景物之間插進(jìn)兩塊玻璃屏板，則在它們上面的截景將是不同的。進(jìn)一步，如果眼睛從兩個(gè)不同的位置看同一景物，而在每一種情形下都插一塊玻璃屏板在中間，那么截景也將是不同的?？墒撬羞@些截景都傳達(dá)原來(lái)的形象，所以它們必定有某種共性。那么任意兩個(gè)截景之間有什么數(shù)學(xué)關(guān)系，或它們有什么共同的數(shù)學(xué)性質(zhì)？這問(wèn)題是射影幾何發(fā)展的出發(fā)點(diǎn)。

達(dá)芬奇認(rèn)為一幅畫必須是實(shí)體的精確再現(xiàn)，透視法就是“繪畫的舵輪和準(zhǔn)繩”，涉及應(yīng)用光學(xué)和幾何學(xué)。對(duì)他來(lái)說(shuō)，繪畫是一種科學(xué)，因?yàn)樗沂玖俗匀唤绲恼鎸?shí)性；由此，繪畫比詩(shī)歌、音樂(lè)和建筑更為優(yōu)越。達(dá)芬奇關(guān)于透視法的著作包含在《繪畫專論》（Trattato della pittura，1651）中，這書由某個(gè)不知名的作者編輯，采用了達(dá)芬奇有關(guān)筆記中最有價(jià)值的材料。

把透視法的數(shù)學(xué)原理以相當(dāng)完整的形式陳述出來(lái)的畫家是弗蘭西斯卡（Piero della Francesca，約1410—1492），他還認(rèn)為透視法是繪畫的科學(xué)并且企圖通過(guò)數(shù)學(xué)來(lái)修改和推廣根據(jù)經(jīng)驗(yàn)得到的知識(shí)。他的主要著作《透視畫法論》（De prospettiva pingendi，1482—1487）推進(jìn)了阿爾貝蒂的投影線和截景的思想。就像阿爾貝蒂一樣，他給出了直觀易懂的定義來(lái)幫助藝術(shù)家們。然后他提出定理，并且通過(guò)作圖或做一個(gè)比例的計(jì)算來(lái)“論證”這些定理。他是杰出的畫家兼數(shù)學(xué)家，也是科學(xué)的藝術(shù)家，還是那個(gè)時(shí)代最好的幾何學(xué)家。

文藝復(fù)興時(shí)期全體藝術(shù)家中最好的數(shù)學(xué)家要算是德國(guó)人丟勒（Albrecht Dürer，1471—1528）。他的《圓規(guī)直尺測(cè)量法》（Underweysung der Messug mid dem Zyrkel und Rychtscheyd，1525）主要是幾何方面的書。他的書談?wù)搶?shí)際比理論多，很有影響。

從16世紀(jì)起透視法的理論就在繪畫學(xué)校里按照大師們寫下的原理講授。不過(guò)，他們?cè)谕敢暦ǚ矫娴恼撐目偟膩?lái)說(shuō)只是些格言、法則和硬性規(guī)定的方法，缺乏一個(gè)堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。1500年到1600年這段時(shí)期的藝術(shù)家和后來(lái)的數(shù)學(xué)家把這門學(xué)科放在一個(gè)令人滿意的演繹基礎(chǔ)上，使它從半經(jīng)驗(yàn)的藝術(shù)成為真正的科學(xué)。透視法方面的權(quán)威性著作是很久之后才由18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家泰勒（Brook Taylor）和蘭伯特（Johann Heinrich Lambert）寫出來(lái)的。

2、幾何本身

15、16世紀(jì)除透視法外，幾何學(xué)的發(fā)展沒(méi)有給人深刻的印象。丟勒、達(dá)芬奇和帕喬利（Luca Pacioli，約1445—1514）（他是一個(gè)意大利的修士，弗蘭西斯卡的學(xué)生，達(dá)芬奇的朋友和教師）討論的一個(gè)幾何題目是作圓的內(nèi)接正多邊形。這些人試圖按阿拉伯人阿布爾韋法曾考慮過(guò)的限制用直尺和開(kāi)口固定的圓規(guī)來(lái)完成作圖，但他們只給出了近似的方法。

貝內(nèi)代蒂擴(kuò)大了問(wèn)題，尋找用直尺和開(kāi)口固定的圓規(guī)來(lái)解歐幾里得的所有作圖問(wèn)題。一般的問(wèn)題是由丹麥人莫爾（George Mohr，1640—1697）在《奇妙的歐氏綱要》（Compendium Euclidis Curiosi，1673）一書中解決的。莫爾在他的丹麥文《歐幾里得》（Euclides Danicus，1672）一書中還指出，凡能用直尺和圓規(guī)作的圖也可以只用一個(gè)圓規(guī)來(lái)完成。馬斯凱羅尼（Lorenzo Mascheroni，1750—1800）重新發(fā)現(xiàn)只用一個(gè)圓規(guī)就足以完成歐幾里得作圖這一事實(shí)，并且發(fā)表在他的《圓周幾何》（La geometria del compass，1797）一書中。

喬治·莫爾

求物體的重心是另一個(gè)感興趣的問(wèn)題。達(dá)芬奇對(duì)等腰梯形的重心給出了一個(gè)正確的方法和一個(gè)不正確的方法。然后他不加證明地給出了四面體重心的位置，在底面三角形的重心到頂點(diǎn)的連線上四分之一的地方。

兩個(gè)新穎的幾何思想出現(xiàn)在丟勒的一些次要的著作里。第一個(gè)是空間曲線?？臻g螺旋線在平面上的投影是各種各樣的平面螺旋線，丟勒指出如何去畫它們。他還介紹了外擺線，這是一個(gè)動(dòng)圓在一個(gè)定圓外滾動(dòng)時(shí)動(dòng)圓上一點(diǎn)的軌跡。第二個(gè)思想是考慮曲線和人影在兩個(gè)或三個(gè)相互垂直的平面上的正交投影。這個(gè)想法丟勒只是接觸了一下，后來(lái)到18世紀(jì)時(shí)由蒙日（Gapard Monge）發(fā)展為畫法幾何。

達(dá)芬奇、弗蘭西斯卡、帕喬利和丟勒在純粹幾何學(xué)方面的工作，從其有無(wú)新結(jié)果的觀點(diǎn)來(lái)看是不重要的，主要價(jià)值是廣泛地傳播了某些幾何知識(shí)。丟勒的《圓規(guī)直尺測(cè)量法》的第四部分與弗蘭西斯卡的《論規(guī)則形體》（De Corporibus Regularibus，1487）和帕喬利的《神妙的比例》（De Divina Proportione，1509）一起，重新引起人們對(duì)立體幾何的興趣。立體幾何學(xué)在開(kāi)普勒時(shí)代繁榮起來(lái)。

另一個(gè)幾何的活動(dòng)是制作地圖。地形勘察揭露出現(xiàn)有地圖的不妥當(dāng)，同時(shí)揭開(kāi)了新的地理知識(shí)。地圖的制作和印刷開(kāi)始于15世紀(jì)后半葉，以安特衛(wèi)普和阿姆斯特丹為中心。

制作地圖的問(wèn)題是從下述事實(shí)提出來(lái)的：一個(gè)球不能裂開(kāi)展平而不畸變。還有，方向（角）或面積或兩者都會(huì)發(fā)生畸變。制作地圖的最有意義的新方法是克雷默（Gerhard Kremer）提出的，他也叫墨卡托（Mercator，1512—1594），他把終身貢獻(xiàn)給這門科學(xué)。1569年他作出一幅地圖，用了著名的墨卡托投影。緯線和經(jīng)線是直線。經(jīng)線是等距離的，但緯線的間隔是遞增的。當(dāng)緯度L遞增時(shí)，他令緯線間的距離按倍數(shù)1 /cos L遞增。

墨卡托（現(xiàn)代地圖之父）

只在這種投影下地圖上相互兩點(diǎn)的羅盤方位才是正確的。于是球面上羅盤方位是常數(shù)的線（即所謂斜駛線，它與子午線有相同的交角）成為地圖上的一條直線。距離和面積不保持；但是，因?yàn)榉较蚴潜３值?，所以在一點(diǎn)處的兩個(gè)方向之間的夾角是保持的，從而這個(gè)地圖被稱為是保形的。

墨卡托地圖

雖然16世紀(jì)制作地圖的工作中沒(méi)有出現(xiàn)很多新的數(shù)學(xué)思想，但是后來(lái)這個(gè)問(wèn)題被數(shù)學(xué)家們接了過(guò)去，并引導(dǎo)出微分幾何中的工作。

3、代數(shù)

直到卡爾達(dá)諾的《大衍術(shù)》（Ars Magna，1545，后文又譯為《重要的藝術(shù)》）出版，文藝復(fù)興時(shí)期代數(shù)一直沒(méi)有什么發(fā)展。但是，帕喬利的工作是值得注意的。他認(rèn)為數(shù)學(xué)是最廣的有系統(tǒng)的學(xué)問(wèn)，并且應(yīng)用于所有人的實(shí)際生活和精神生活中。他告訴數(shù)學(xué)家和技術(shù)人員，理論必須是主導(dǎo)。他的主要出版物是《總論算術(shù)、幾何、比例和比例性》（Summa de Arithmetica, Geometria, Proportione et Proportionalita，1494），一本當(dāng)代數(shù)學(xué)的概要，并且是這個(gè)時(shí)代的代表，因?yàn)樗褦?shù)學(xué)和很多實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系起來(lái)。

這本書的內(nèi)容包含了印度—阿拉伯的數(shù)學(xué)符號(hào)、商業(yè)算術(shù)，包括簿記和當(dāng)時(shí)的代數(shù)，歐幾里得《原本》的一個(gè)蹩腳的概括，還有一些從托勒玫那里抄來(lái)的三角學(xué)。應(yīng)用比例概念去揭示自然界的各個(gè)方面和宇宙本身是一個(gè)大的課題。他把比例叫做“皇后”，并且把它應(yīng)用于人體各部分的尺寸，應(yīng)用于透視甚至是混合顏料。他所寫的方程中，系數(shù)總是常數(shù)，并把各項(xiàng)放在使系數(shù)為正的一邊。雖然偶爾要減去一項(xiàng)，但純負(fù)數(shù)是不用的，方程也只給正根。他用代數(shù)去計(jì)算幾何量。他認(rèn)為解方程x3 +mx = n和x3 +n = mx就像化圓為方的作圖題一樣是不可能的，用這條意見(jiàn)結(jié)束了他的書。

帕喬利

雖然在《總論》里沒(méi)有什么是獨(dú)創(chuàng)的，但這書和他的《神妙的比例》都是有價(jià)值的，因?yàn)榘膬?nèi)容比在大學(xué)里教的多很多。帕喬利是已有學(xué)術(shù)著作同藝術(shù)家與技術(shù)人員所獲得知識(shí)之間的媒介?！犊傉摗穼?duì)1200年到1500年之間算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展只是一個(gè)很有意義的數(shù)學(xué)注解，因?yàn)樗霭嬖?494年，但并不比斐波那契1202年的《算經(jīng)》內(nèi)容更多。事實(shí)上，《總論》中的算術(shù)和代數(shù)是根據(jù)斐波那契的書而寫的。

4、三角

1450年以前三角主要是球面三角；測(cè)量學(xué)還繼續(xù)用羅馬的幾何方法。雖然斐波那契在他的《幾何實(shí)習(xí)》（Practica Geometriae，1220）里就曾經(jīng)倡導(dǎo)平面三角的方法，差不多到1450年左右平面三角學(xué)在測(cè)量中才變得重要起來(lái)。

15世紀(jì)末葉和16世紀(jì)早期由德國(guó)人完成了三角學(xué)中的新方法，通常他們?cè)谝獯罄魧W(xué)然后回到祖國(guó)。當(dāng)?shù)聡?guó)開(kāi)始興旺時(shí)，北德漢薩同盟（Hanseatic League of North Germany）控制著很多貿(mào)易，得到很多財(cái)富，于是商人中的贊助者就可以支持我們將要提到的很多人的工作。三角學(xué)的工作受到航行、推算日歷和天文學(xué)的推動(dòng)，對(duì)天文學(xué)的興趣由于日心說(shuō)的創(chuàng)造而增強(qiáng)。

維也納的波伊爾巴赫（George Peurbach，1423—1461）開(kāi)始去校訂《至大論》的拉丁文譯本，這本書是由阿拉伯版本轉(zhuǎn)譯的，他打算由希臘原文翻譯。他還開(kāi)始制作更精確的三角函數(shù)表。但波伊爾巴赫死時(shí)太年輕，他的工作由他的學(xué)生米勒（Johannes Müller，1436—1476）[又叫雷格蒙塔努斯（Regiomontanus）]繼續(xù)下去。雷格蒙塔努斯翻譯了阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線》、阿基米德和赫倫的部分作品，自己成立印刷廠出版這些書。

雷格蒙塔努斯的紀(jì)念郵票

他仿造波伊爾巴赫采用印度人的正弦，然后造了一個(gè)取圓半徑為600,000單位和另一個(gè)取半徑為10,000,000單位的正弦表。他還計(jì)算了正切表。在《方位表》（Tubulae Directionum，寫于1464—1467）一書中他給出了五位正切表并取十等分角度，這在那個(gè)時(shí)代是一個(gè)很不平常的做法。

15、16世紀(jì)有很多人在做表，其中有雷蒂庫(kù)斯（George Joachim Rhaeticus，1514—1576）、哥白尼、韋達(dá)（1540—1603）和皮蒂斯科斯（Bartholom?us Pitiscus，1561—1613）。這一工作的特點(diǎn)是讓圓半徑的值很大很大以便能夠得到更精確的三角函數(shù)值而不用分?jǐn)?shù)或小數(shù)。例如，雷蒂庫(kù)斯計(jì)算一個(gè)正弦表，半徑取得是10的10次方和10的15次方。皮蒂斯科斯在《寶庫(kù)》（Thesaurus，1613）中修正并發(fā)表了雷蒂庫(kù)斯的第二個(gè)三角函數(shù)表。“trigonometry”一詞就是他提出的。

更基本的工作是解平面和球面三角形。雷格蒙塔努斯從納西爾丁的工作中得到益處，并且在1462年寫的《論三角》（De Triangulis）中用更為有效的方式把平面三角、球面幾何和球面三角中有用的知識(shí)放在一起。他給出球面三角的正弦定律，就是

sin a/sin A=sin b/sin B=sin c /sin C，

和涉及邊的余弦定律，即

cos a=cos bcos c+sin bsin c cos A。

《論三角》直到1533年才出版。與此同時(shí)沃納（Johann Werner，1468—1528）在《論球面三角》（De Triangulis Sphaericis，1514）一書中改進(jìn)并發(fā)表了雷格蒙塔努斯的思想。

經(jīng)過(guò)雷格蒙塔努斯多年的工作，球面三角仍然因?yàn)樾枰笈蕉幱诶щy中，這部分是因?yàn)樗凇墩撊恰分校ㄉ踔粮绨啄嵩谝粋€(gè)世紀(jì)之后）只用到正弦和余弦函數(shù)，還因?yàn)殁g角的余弦和正切函數(shù)的負(fù)值沒(méi)有被承認(rèn)為數(shù)。

雷蒂庫(kù)斯是哥白尼的學(xué)生，他改變了正弦的意義。原來(lái)說(shuō)一段弧的正弦，他改成說(shuō)一個(gè)角的正弦。雷蒂庫(kù)斯采用了全部六個(gè)函數(shù)。

韋達(dá)（近代代數(shù)之父）

韋達(dá)的職業(yè)是律師，但他更被認(rèn)為是16世紀(jì)第一流的數(shù)學(xué)家。他的《標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)》（Canon Mathematicus，1579）一書是他在三角的許多工作中的第一本、在這里他把解直角和斜角平面三角形的公式收集到一起，也包括他自己的貢獻(xiàn)正切定律：

(a - b) / (a + b) = tan [(A - B) /2] / tan [(A + B) /2]。

對(duì)球面直角三角形，他給出了用已知的兩部分計(jì)算另一部分所需的一套完全的公式，并給出了用來(lái)記住這套公式的法則，我們現(xiàn)在把它叫做納皮爾法則。他還提出了涉及鈍角球面三角形角的余弦定律：

cosA=-cosBcosC+sinBsinCcos a。

很多三角恒等式是托勒密建立的，韋達(dá)給以補(bǔ)充。例如，他給出了恒等式：

sin A - sin B = 2 cos [(A + B) /2] cos [(A - B) /2]。

還有用sin θ和cos θ表示sin nθ和cos nθ的恒等式。后一個(gè)恒等式寫在他的《斜截面》（Sections Angulares）一書中，這本書于他死后在1615年出版。

他用sin nθ的公式去解比利時(shí)數(shù)學(xué)家羅馬努斯（Adrianus Romanus，1561—1615）在《數(shù)學(xué)思想》（Ideae Mathematicae，1593）中作為對(duì)法國(guó)人的挑戰(zhàn)而提出的一個(gè)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題是求解一個(gè)45次方程。法國(guó)的亨利（Henry）四世找來(lái)了韋達(dá)，他認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題等價(jià)于用sin A表示sin 45A，并求出sin A。韋達(dá)知道這個(gè)問(wèn)題可解，只要把這個(gè)方程分成一個(gè)5次的方程和兩個(gè)3次的方程，而這些方程他很快地解出。他給出了23個(gè)正根，但忽略了負(fù)根。在他的《回答》（Responsum，1595）一書中他解釋了他的解法。

16世紀(jì)三角學(xué)開(kāi)始從天文學(xué)里分出來(lái)成為一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它的應(yīng)用說(shuō)明有必要用更獨(dú)立的觀點(diǎn)來(lái)研究三角學(xué)。

5、文藝復(fù)興時(shí)期主要的科學(xué)進(jìn)展

在文藝復(fù)興時(shí)期，對(duì)推動(dòng)以后兩個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)具有決定意義的進(jìn)展是哥白尼和開(kāi)普勒領(lǐng)導(dǎo)的天文學(xué)革命。大約在1200年以后，亞里士多德的天文理論（歐多克索斯的一個(gè)修補(bǔ)）和托勒密的理論變得廣泛流行并且互相對(duì)立。亞里士多德的理論為大多數(shù)人接受，雖然托勒玫的理論對(duì)天文預(yù)測(cè)、航行和計(jì)算日歷更為有用。

一些阿拉伯人。中世紀(jì)后葉的人，文藝復(fù)興時(shí)代的人物，包括阿爾比魯尼（973—1048）、奧雷姆和庫(kù)薩（Cusa）的尼古拉（Nicholas，1401—1464）大主教，也許是響應(yīng)希臘人的思想，當(dāng)真考慮過(guò)地球或許在轉(zhuǎn)動(dòng)，并且考慮過(guò)在地球繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，同樣可能建立一種天文學(xué)理論，但是沒(méi)有一個(gè)人提出新的理論。

在天文學(xué)家之中哥白尼作為一個(gè)巨人突然出現(xiàn)。哥白尼1473年生于波蘭的托倫（Thorn），在克拉科夫（Cracow）大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和科學(xué)。23歲時(shí)他到博洛尼亞進(jìn)一步深造。1512年他回到波蘭成為弗勞恩堡（Frauenberg）大教堂的典事，在那里一直住到1543年逝世。他在完成工作職務(wù)的同時(shí)，專心致志于研究和觀測(cè)，終于創(chuàng)立了革新的天文學(xué)理論。思維領(lǐng)域的這一成就，就其重要性、勇敢和宏偉的程度來(lái)說(shuō)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了征服海洋的壯舉。

華沙國(guó)家科學(xué)院門口的哥白尼雕像

很難斷定什么原因使哥白尼拋棄了有1400年之久的托勒密理論。在《天體運(yùn)行論》（De Revolutionibus Orbium Coelestium，1543）的序言中所述的是不完全的，并且有幾分不可思議。哥白尼聲明喚醒他的是關(guān)于托勒密體系的精確度的各種不同觀點(diǎn)，認(rèn)為托勒密的理論只是一個(gè)假說(shuō)的觀點(diǎn)，以及亞里士多德和托勒密理論的追隨者之間的爭(zhēng)執(zhí)。

哥白尼保留了托勒密天文學(xué)的一些原理。他用圓作基本曲線，在此基礎(chǔ)上構(gòu)造對(duì)天體運(yùn)動(dòng)的解釋。他也采納了在均輪上作周轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的方案，但反對(duì)托勒密在假想圓上的勻速運(yùn)動(dòng)，因?yàn)檫@個(gè)運(yùn)動(dòng)不要求均勻直線速度。

由于用了阿利斯塔克把太陽(yáng)放在每個(gè)均輪中心的思想，哥白尼能夠用比較簡(jiǎn)單的圖來(lái)代替以前描繪每一個(gè)天體運(yùn)動(dòng)所需要的復(fù)雜的圖。他用34個(gè)圓代替77個(gè)圓去解釋月球和六個(gè)已知行星的運(yùn)動(dòng)。后來(lái)他改善了這個(gè)方案，讓太陽(yáng)只是靠近這個(gè)體系的中心而不是正在這中心。

巴西發(fā)行的哥白尼紀(jì)念郵票

從與觀測(cè)結(jié)果相符合這點(diǎn)來(lái)說(shuō)，哥白尼的理論并不比托勒密的修正理論更好。哥白尼體系的優(yōu)點(diǎn)乃是它用地球圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)來(lái)解釋行星運(yùn)動(dòng)的主要不規(guī)則性，而不是用許多周轉(zhuǎn)圓。此外，他的方案用同樣通用的方法對(duì)待所有的行星，而托勒密對(duì)內(nèi)部行星水星、金星和外部行星火星、土星、金星采用稍有不同的方法。最后，在哥白尼的方案中天體位置的計(jì)算是比較簡(jiǎn)單的，以至于在1542年天文學(xué)家們開(kāi)始用他的理論來(lái)計(jì)算天體位置的新的表。

哥白尼的理論遇到了合理的和懷偏見(jiàn)的兩種反對(duì)意見(jiàn)。同觀測(cè)的不符合使得第谷·布拉赫（1546—1601）放棄了這個(gè)理論而去尋找一個(gè)折衷的方案。韋達(dá)由于同樣的原因完全拒絕了它，轉(zhuǎn)而去改進(jìn)托勒密的理論。很多知識(shí)分子拒絕這個(gè)理論或是因?yàn)椴涣私猓蚴且驗(yàn)椴荒芙邮苄滤枷?。他書中所含的?shù)學(xué)確實(shí)難懂，就像哥白尼在序言里所說(shuō)的，他的書是寫給數(shù)學(xué)家看的。第谷·布拉赫和德國(guó)天文學(xué)家在1572年對(duì)于新星的觀測(cè)是有幫助的，星球的突然出現(xiàn)和不見(jiàn)反駁了亞里士多德和經(jīng)院派學(xué)者關(guān)于天體永恒不變的教條。

第谷布拉赫

如果沒(méi)有開(kāi)普勒（1571—1630）的工作，日心說(shuō)的命運(yùn)將是不確定的。他出生于符騰堡（Württemberg）公國(guó)的一個(gè)城市魏爾（Weil）。他曾在第谷·布拉赫的觀象臺(tái)里做他的助手，并在第谷死后被任命接替其位置。開(kāi)普勒的一部分工作是為他的雇主魯?shù)婪颍≧udolph II）大帝算命。開(kāi)普勒用占星術(shù)有助于天文學(xué)家謀生的想法來(lái)聊以自慰。

開(kāi)普勒的一生受盡磨難，但他用恒心、非凡的努力和豐富的想象力從事科學(xué)工作。在探討科學(xué)問(wèn)題的態(tài)度方面，開(kāi)普勒是一個(gè)過(guò)渡人物。他接受了柏拉圖的教義——宇宙是按照一個(gè)事先建立好的數(shù)學(xué)方案安排的。但他極其尊重事實(shí)，工作完全建立在事實(shí)的基礎(chǔ)上，從事實(shí)發(fā)展到定律。在尋找定律時(shí)，他發(fā)揮了對(duì)假說(shuō)的創(chuàng)造性，對(duì)真理的熱愛(ài)和活躍的想象力但不妨礙理智。他設(shè)計(jì)了很多的假說(shuō)，但當(dāng)它們與事實(shí)不符時(shí)，他毫不猶豫地拋棄。

開(kāi)普勒

被哥白尼體系的美好與和諧所觸動(dòng)，他決定從事于去尋求第谷·布拉赫所提供的更為精確的觀測(cè)可能允許怎樣的幾何上的和諧關(guān)系。他尋找數(shù)學(xué)上的關(guān)系，確信這種關(guān)系是存在的，這使得他在錯(cuò)誤的道路上探索了許多年。在《神秘的宇宙結(jié)構(gòu)學(xué)》（Mysterium Cosmographicum，1596）一書的序言中，他說(shuō)道：“我企圖去證明上帝在創(chuàng)造宇宙并且調(diào)節(jié)宇宙的次序時(shí)，看到了從畢達(dá)哥拉斯和柏拉圖時(shí)代起就為人們熟知的五種正多面體，他按照這些形體安排了天體的數(shù)目，它們的比例和它們運(yùn)動(dòng)間的關(guān)系?！?/p>

于是他假定六個(gè)行星的軌道半徑是一些和五種正多面體相聯(lián)系的球的半徑。最大的半徑是土星的軌道半徑，在這一半徑的球里他假設(shè)有一個(gè)內(nèi)接正立方體。在這個(gè)立方體里有一個(gè)內(nèi)接球，這球的半徑就是木星的軌道半徑。在這個(gè)球里有一個(gè)內(nèi)接正四面體，對(duì)它又有一個(gè)內(nèi)接球，它的半徑是火星軌道半徑。如此繼續(xù)下去，經(jīng)過(guò)五種正多面體，可以作出六個(gè)球，正好和當(dāng)時(shí)知道的行星數(shù)目一樣。由這個(gè)假設(shè)作出的推論和觀測(cè)不一致，他拋棄了這個(gè)想法，但在這以前他異常努力地以改進(jìn)了的形式去運(yùn)用它。

開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律的前兩條公布在1609年出版的一本書里，這本書有個(gè)很長(zhǎng)的名字，有時(shí)簡(jiǎn)稱它為《新天文學(xué)》（Astronomia Nova），有時(shí)叫《論火星的運(yùn)動(dòng)》（Commentarieson the Motions of Mars）。

第一定律說(shuō)每個(gè)行星的軌道不是一些動(dòng)圓聯(lián)合的結(jié)果，而是一個(gè)橢圓，太陽(yáng)在它的一個(gè)焦點(diǎn)上。第二定律說(shuō)太陽(yáng)與行星的連線在相等的時(shí)間里掃過(guò)相等的面積。希臘人相信行星運(yùn)動(dòng)必須用均勻線速率來(lái)解釋。開(kāi)普勒和哥白尼一樣，一開(kāi)始也堅(jiān)定地相信勻速率的學(xué)說(shuō)，但是他的觀測(cè)迫使他又放棄了這個(gè)珍愛(ài)的信念。當(dāng)他能夠用具有同樣魅力的某些東西代替這信念時(shí)，他是非常高興的，因?yàn)樗年P(guān)于自然界遵循數(shù)學(xué)規(guī)律的信念又得到了肯定。

開(kāi)普勒作出了更為異常的努力來(lái)得到第三個(gè)定律。取地球公轉(zhuǎn)的周期和它到太陽(yáng)的平均距離（應(yīng)為半主軸）作為時(shí)間和距離的單位，那么一個(gè)行星公轉(zhuǎn)的周期的平方等于它到太陽(yáng)的平均距離的立方。開(kāi)普勒在《世界的和諧》（The Harmony of the World，1619）一書中公布了這個(gè)結(jié)果。

開(kāi)普勒三大定律

開(kāi)普勒的工作比哥白尼的工作要革命得多，他采用橢圓和非勻速運(yùn)動(dòng)從根本上打破了權(quán)威和傳統(tǒng)。他堅(jiān)持這樣的立場(chǎng)：科學(xué)研究是獨(dú)立于一切哲學(xué)和神學(xué)信條的；單單數(shù)學(xué)上的考慮就可以決定假說(shuō)的正確性；假說(shuō)以及從它作出的推理都必須通過(guò)實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn)。

對(duì)日心說(shuō)有些很有分量的科學(xué)上的反對(duì)意見(jiàn)，其中許多是托勒密針對(duì)阿利斯塔克提出來(lái)的。怎樣能使地球這樣一個(gè)重的天體開(kāi)始運(yùn)動(dòng)并且保持運(yùn)動(dòng)？（希臘人和中世紀(jì)的思想家認(rèn)為行星是由某種特別輕的物質(zhì)組成的。）為什么扔到空氣中的物體不落到它原來(lái)位置的西邊？為什么地球在旋轉(zhuǎn)時(shí)不飛散？哥白尼對(duì)后一個(gè)問(wèn)題的極為軟弱的回答是球是一個(gè)自然的形狀，因此就自然地運(yùn)動(dòng)著，所以地球不會(huì)破壞它自己。為什么地球上的物體和空氣本身和地球在一起？哥白尼回答說(shuō)，空氣具有“地球性”，所以跟著地球轉(zhuǎn)。

為什么恒星的方向不變？視差若是2'，則距離至少需要400萬(wàn)倍于地球半徑，這樣一個(gè)距離在當(dāng)時(shí)是不可想象的。哥白尼聲明“天空與地球相比是無(wú)限的，好像是無(wú)窮大的……宇宙的邊界是不知道的也是不可知的”。直至1838年數(shù)學(xué)家貝塞爾（Friedrich Wilhelm Bessel）才測(cè)量了最近一個(gè)恒星的視差，發(fā)現(xiàn)它是0.31?。

德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家貝塞爾

如果哥白尼和開(kāi)普勒是“清醒的”人，他們就永遠(yuǎn)不會(huì)去否定他們的感覺(jué)。盡管地球在高速率地轉(zhuǎn)動(dòng)，但我們不能感覺(jué)到它的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)。另一方面，我們確實(shí)看到太陽(yáng)在運(yùn)動(dòng)。

哥白尼和開(kāi)普勒都否認(rèn)基督教的一條中心教義，就是上帝主要關(guān)心的是人，而人是宇宙的中心，宇宙萬(wàn)物都圍繞著人轉(zhuǎn)。相反，日心說(shuō)把太陽(yáng)放在宇宙的中心，這就威脅了這個(gè)慰藉人心的教義，因?yàn)樗沟萌顺蔀榭赡苡械囊淮笕浩从诤涮炜盏牧骼苏咧弧＿@樣，通過(guò)太陽(yáng)代替地球，哥白尼和開(kāi)普勒就搬走了天主教神學(xué)的基石，并且危及其結(jié)構(gòu)。哥白尼指出宇宙比起地球來(lái)是如此巨大，以至于去談?wù)撝行氖呛翢o(wú)意義的。這種議論就更加使他與宗教對(duì)立起來(lái)了。

反駁所有這些反對(duì)意見(jiàn)，哥白尼和開(kāi)普勒都只用了一個(gè)回答，但卻是有分量的回答。如果承認(rèn)數(shù)學(xué)關(guān)系是科學(xué)工作應(yīng)有的目標(biāo)，那么能夠給出更好的數(shù)學(xué)處理這一事實(shí)就足以壓倒一切反對(duì)意見(jiàn)。他們都感到并且清楚地說(shuō)明了他們的工作給出了協(xié)調(diào)、對(duì)稱和神圣作坊的設(shè)計(jì)，以及上帝存在的有力證據(jù)。哥白尼說(shuō)：“我們發(fā)現(xiàn)，在這有次序的安排下，宇宙有一種奇異的對(duì)稱性，天體運(yùn)動(dòng)和大小的協(xié)調(diào)有確定的關(guān)系，而這是不可能從其他途徑去獲得的?！遍_(kāi)普勒1619年的書名是《世界的和諧》，他對(duì)上帝的無(wú)盡的頌揚(yáng)，對(duì)上帝數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的宏偉所表現(xiàn)的欽佩證明了他的信仰。

開(kāi)普勒著作《世界的和諧》

一開(kāi)始只有數(shù)學(xué)家支持日心說(shuō)是不奇怪的。只有數(shù)學(xué)家，而且只有相信宇宙是按照數(shù)學(xué)方式設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)家，才會(huì)有足夠堅(jiān)強(qiáng)的信心擺脫那些流行的哲學(xué)上、宗教上和物理上的信念。直到伽利略把望遠(yuǎn)鏡對(duì)準(zhǔn)天空，天文學(xué)的物證才支持了數(shù)學(xué)的理論。17世紀(jì)初伽利略看到在木星周圍有四個(gè)衛(wèi)星，證明行星可以有衛(wèi)星。由此得出，地球不能因?yàn)橛性虑蚓筒皇切行恰Ｙだ赃€看到月球有一個(gè)粗糙的表面，像地球一樣有高山和深谷。所以地球也就是一個(gè)天體，未必是宇宙的中心。

最后日心說(shuō)得到了承認(rèn)，因?yàn)樗?jì)算簡(jiǎn)單，因?yàn)樗膬?yōu)越的數(shù)學(xué)，還因?yàn)橛^測(cè)結(jié)果支持著它。這表明運(yùn)動(dòng)科學(xué)應(yīng)該在地球自轉(zhuǎn)又公轉(zhuǎn)的見(jiàn)解下改寫。簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)，需要一個(gè)新的力學(xué)。

17世紀(jì)天文學(xué)家對(duì)光學(xué)更有興趣了，因?yàn)榭諝鈱?duì)光線產(chǎn)生折射效應(yīng)，這就給星球的位置以一種假象。16世紀(jì)末，發(fā)明了望遠(yuǎn)鏡和顯微鏡，它們打開(kāi)了新的世界。在17世紀(jì)，幾乎所有的數(shù)學(xué)家都研究過(guò)光學(xué)和透鏡。

6、文藝復(fù)興時(shí)期評(píng)注

文藝復(fù)興時(shí)期在數(shù)學(xué)方面沒(méi)有出現(xiàn)任何杰出的新成就。文學(xué)、繪畫、建筑領(lǐng)域中創(chuàng)造出很多杰作，它們至今仍是我們文明的一部分。在科學(xué)方面，日心說(shuō)使最好的希臘天文學(xué)說(shuō)黯然失色，使阿拉伯或中世紀(jì)的貢獻(xiàn)相形見(jiàn)絀。對(duì)于數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，這一時(shí)期主要是一個(gè)吸收希臘成果的時(shí)期，與其說(shuō)是古代文化的新生，倒不如說(shuō)是它的再現(xiàn)。

對(duì)于數(shù)學(xué)的茁壯成長(zhǎng)同樣重要的是，它又像亞歷山大時(shí)代那樣建立起和科學(xué)、技術(shù)的密切聯(lián)系。在科學(xué)方面，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)定律歸根到底是終極的目標(biāo)；在技術(shù)方面，認(rèn)識(shí)到以數(shù)學(xué)式子來(lái)表達(dá)研究結(jié)果是知識(shí)最完善、最有用的形式，是設(shè)計(jì)和施工最有把握的向?qū)А＿@樣的估價(jià)保證了數(shù)學(xué)成為現(xiàn)代的一個(gè)主要力量，還保證了數(shù)學(xué)的新發(fā)展。

下一講16、17世紀(jì)的算術(shù)和代數(shù)。