20世紀僅有的

幾位數(shù)學史大師克萊因

被讀者廣為閱讀的一本書

數(shù)學簡史：確定性的消失

作者

[美]莫里斯·克萊因（Morris kline）

長按二維碼購買

作者簡介

[美] 莫里斯·克萊因（Morris Kline，1908—1992）數(shù)學史大家、數(shù)學哲學家。二戰(zhàn)期間在美國軍方的 Signal Corps（通信部門）工作，他以物理學家的身份，在當時研發(fā)了雷達的工程實驗室工作。二戰(zhàn)結束之后，他繼續(xù)研究電磁學，并于 1946 年在庫朗數(shù)學研究所擔任所長一職。1952年回到他的母校紐約大學，成為全職數(shù)學教授，并一直從事數(shù)學史研究、寫作和教學直到逝世。他不僅以數(shù)學史研究聞名于世，而且在20世紀下半葉的數(shù)學課程教育改革中發(fā)揮了重要的作用，他對數(shù)學研究和教育的實用性的強調(diào)推動了20世紀60年代新數(shù)學運動（New Math）的開展。

他著有四卷本數(shù)學史名著《古今數(shù)學思想》《數(shù)學簡史：確定性的消失》《西方文化中的數(shù)學》《微積分：一條直覺與物理的研究進路》等。

克萊因?qū)Ξ敶鷶?shù)學研究方法持批評態(tài)度，他認為大多數(shù)學家從現(xiàn)實世界退縮而轉(zhuǎn)向關注于數(shù)學之中產(chǎn)生的問題，他們拋棄了數(shù)學的傳統(tǒng)與遺產(chǎn)。本書是他對當代數(shù)學處在自給自足和自我設限的境地的最知名反思。

編輯推薦

1. 最知名的數(shù)學史家，美國“新數(shù)學”運動旗手；

2. 用最短的篇幅講述數(shù)學2500年驚心動魄的歷史；

3. 在不犧牲準確性的情況下，幾乎沒用公式；

4. 第一版飽受好評，全新精校本。

內(nèi)容提要

25個世紀以來，數(shù)學史上發(fā)生了多次危機：非歐幾何對歐氏幾何的沖擊、無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)及數(shù)的擴張 、微積分帶來的分析困境；集合論悖論和其他邏輯悖論出現(xiàn)……使得數(shù)學大廈一次次面臨倒塌的危險……

本書探討數(shù)千年來數(shù)學在直覺、邏輯、應用之間穿梭往復的炫目旅程，再現(xiàn)真實數(shù)學的發(fā)展過程，闡述數(shù)學的起源、數(shù)學的繁榮和科學的數(shù)學化，直到當代數(shù)學的現(xiàn)狀：數(shù)學與確定性（邏輯，嚴密性，完備性）漸行漸遠。

克萊因透過數(shù)學史上的大事件一步一步剝開數(shù)學思想與數(shù)學思維變遷的脈絡。

精彩試讀

一個自由工匠階層的產(chǎn)生伴隨著對數(shù)學、技能和技術的興趣，引出了一些科學上的難題。以尋找原料和黃金為動機的地理探險導致掌握了一些以前不為人知的陸地和習俗的知識。這些對中世紀歐洲文化提出了挑戰(zhàn)，新教變革反對某些天主教義，因而引發(fā)了二者之間的論戰(zhàn)。清教徒向人們強調(diào)工作和知識的用處?；鹚幍囊?，引出了新的軍事問題。例如拋物體的運動及在海洋上航行好幾千英里不見陸地，都促進了對自然的研究。印刷術的發(fā)明使過去一直由教會控制的知識的傳播成為可能。盡管權威們對到底是哪一個或哪些外力影響了對自然的探求各執(zhí)己見，但是，這些力是如此之多，足以使我們注意到這樣一個被普遍接受的事實，對科學的探索確實是現(xiàn)代歐洲文明的最主要特征。

歐洲人通常并不立即對新的沖擊和影響作出反應，在標榜為人文主義的年代中對希臘著作的研究和吸收遠甚于對希臘人的目標的追逐，但是大約到了公元1500年，被灌輸了希臘目標的思想——即推理在自然研究中的應用以及對數(shù)學設計的根本原因的探索——開始活躍起來。然而，他們面臨一個難題，希臘目標與當時盛行的文化產(chǎn)生了沖突。希臘人相信自然界的數(shù)學設計，自然界亙古不移地遵守某個理想的方案。而后來中世紀學者把所有的方案和行為都歸于上帝，他是設計者和創(chuàng)造者，而且所有的自然界行為都遵循他制定的規(guī)則，宇宙是他的杰作，是他的意志的產(chǎn)物。文藝復興時期及后續(xù)幾個世紀的數(shù)學家和科學家都是正統(tǒng)的基督徒因而接受了以上宗旨，但是天主教學說中絕不會包括自然界的數(shù)學設計這樣的希臘教條，那么怎樣使試圖弄清上帝的宇宙和探求自然界的數(shù)學法則和諧一致呢？答案就是再增加一條新教義，即上帝依照數(shù)學設計了宇宙，這樣，以理解上帝的意愿和他的創(chuàng)作為最高宗旨的天主教教旨就以探求上帝對自然的數(shù)學設計的形式出現(xiàn)。事實上，16、17世紀及18世紀的大半，數(shù)學家所做的工作都是宗教的需要。這一點我們不久會看得更清楚，探索自然界的數(shù)學法則是一種很虔誠的工作，其揭示上帝的杰作的偉大和輝煌。數(shù)學知識，即是關于上帝的宇宙設計的真理，就像任何一條《圣經(jīng)》的經(jīng)文一樣神圣不可侵犯。人類不可能指望像上帝自己那樣清楚地明白上帝的意圖，但人至少可以以謙恭和虔誠的態(tài)度來接近神的思想，這樣就可以明白神創(chuàng)造的世界。

人們更進一步斷言：存在支配自然現(xiàn)象的數(shù)學規(guī)律，并且不懈地探求，因為他們還先驗地相信，上帝已將這些規(guī)律融入了宇宙結構中，每一個自然法則的發(fā)現(xiàn)都被視為神的英明的證明而不是證明研究者自己。數(shù)學家和科學家例證了文藝復興時期席卷歐洲的更廣泛文化現(xiàn)象。最近重新發(fā)現(xiàn)的希臘著作向人們展示了一個極為虔誠的基督教世界，其中每一個教派的領袖都被另一個教派的教條所吸引并相互采納。

希臘人的宗旨（自然是依數(shù)學設計的）與文藝復興時的信念（上帝是這個設計的作者）融匯在一起，統(tǒng)治了歐洲，關于這一點最令人信服的證據(jù)就是哥白尼和開普勒的工作。直到16世紀，唯一合理和實用的天文學理論是喜帕恰斯和托勒密的地心說，這套理論被職業(yè)天文學家所接受并應用于歷法推算和航海。新天文學理論的工作是由哥白尼開創(chuàng)的，他于1497年進入博洛尼亞大學學習天文學，在1512年他被任命為東普魯士弗勞恩貝格大教堂的教士。這個工作使得哥白尼有足夠的時間來進行天文觀測并思考與之有關的理論，經(jīng)過數(shù)年的觀測和思考，哥白尼形成了一套關于行星運動的新理論，并寫入他的經(jīng)典著作《天體運行論》。這部書的第一版他于1507年就已完成，但由于擔心其將觸怒教會，哥白尼遲遲沒有發(fā)表。這部書于1543年，即他逝世的那一年問世。

當哥白尼開始思考天文學的時候，托勒密的理論變得更為復雜了，更多的周轉(zhuǎn)圓被補充進由托勒密引入的這套系統(tǒng)以使其滿足大部分由阿拉伯人獲得的不斷增長的觀察數(shù)據(jù)。在哥白尼時代，這套理論共需77個圓來描述太陽、月亮及當時所知的五顆行星的運動。對許多天文學家來說，這套理論就像哥白尼在他的書的序言中所說那樣，達到了令人難堪的繁瑣。

哥白尼研究過一些希臘著作并且確是依數(shù)學及和諧的原理設計的。和諧，要求一套更賞心悅目的理論而不是繁復冗贅的托勒密理論。在讀了某些希臘作者，主要是阿里斯塔修斯的著作后，哥白尼認為或許太陽是靜止不動的，地球繞太陽旋轉(zhuǎn)的同時自轉(zhuǎn)，他決心研究這種可能性。

哥白尼的推理的要點是他也用托勒密關于周轉(zhuǎn)圓和從圓的圖式（見第一章）來描述天體的運動。然而，最主要的區(qū)別是，太陽位于每個從圓的中心，而地球成了一顆在圓周上運動、同時自轉(zhuǎn)的行星，他將圓（包括周轉(zhuǎn)圓和從圓）的數(shù)目從地心說所需要的77個減小到34個，從而極大地簡化了地心說。

更加驚人的簡化成就是由開普勒所取得的，這是科學史上最不可思議的事情。他的一生經(jīng)歷了許多個人不幸及由宗教和政治事件引起的磨難。1600年，他幸運地成為著名的天文學家布拉赫的助手。其時布拉赫正致力于自古希臘以來第一樁大的科學工作，即重新進行全面的天文觀測，這些觀測和其他由開普勒自己完成的觀測對開普勒有極大的價值。布拉赫于1601年去世，開普勒接替他而成了奧地利國王魯?shù)婪蚨赖耐跏覕?shù)學家。

開普勒的科學推理令人嘆為觀止，像哥白尼一樣，開普勒也是個神秘主義者，他相信上帝在設計世界時，遵循了某個簡單、優(yōu)美的數(shù)學方案。在他的著作《宇宙的秘密》（1596年）中他說上帝頭腦中的數(shù)學和諧性解釋了“為什么天體運動的軌道、大小和數(shù)目是這樣而不是那樣。”這種信念占據(jù)了他的全部思維。但開普勒也具備我們今天歸于學者才有的那種品質(zhì)，即近乎冷酷的理性化。他豐富的想象產(chǎn)生了新理論體系的概念，但開普勒明白理論必須與觀察結果相一致，到了晚年他更清楚地意識到正是經(jīng)驗數(shù)據(jù)啟示了科學的基本原則。開普勒因此甘心放棄他最心愛的數(shù)學假設，一旦看到這種假設和觀測數(shù)據(jù)不一致，他就以難以置信的固執(zhí)拒絕容忍任何一位當時學者都會忽略的偏差。這導致他擁護激進的科學思想。開普勒也擁有謙遜、堅忍和毅力等諸多品性，正是這些品性幫助偉人們?nèi)コ删退麄兎欠驳氖聵I(yè)。

開普勒確信存在自然的數(shù)學規(guī)律，這些規(guī)律的追求使他在錯誤的道路上探索了多年。在《神秘的宇宙》一書的序言中，他說：“我企圖去證明上帝在創(chuàng)造宇宙并且安排宇宙的次序時，看到了從畢達哥拉斯和柏拉圖時代起就為人們熟知的五種幾何正多面體，他按照這些形體安排了天體的數(shù)目、它們的比例和它們運動間的關系?！钡?，以五個正多面體為基礎建立起來的理論所推出的結論與觀測的結果不一致，他花了極大的努力以改進了的形式去運用它，但最后還是放棄了這種方法。

然而，他在后來努力尋找和諧的數(shù)學關系時，卻取得了極大的成功。他最著名也是最重要的成果就是我們今天所說的開普勒行星運動三定律。前兩條定律公布在他1609年出版的一本書里，這本書有一個很長的名字，通常取其前半部分，稱為《新天文學》或取其后半部分，稱為《論火星的運動》。第一條定律尤為著名，因為開普勒打破了兩千多年來的傳統(tǒng)，即必須用圓或球來描述天體運動。毋須借助于托勒密和哥白尼用來描述行星運動的周轉(zhuǎn)圓和從圓，開普勒發(fā)現(xiàn)只需一個橢圓足矣。其聲稱，每顆行星都沿著橢圓軌道運行，太陽位于這些橢圓軌道的公共焦點上（圖2.1），而另一個焦點只是一個數(shù)學點，什么也沒有。這條定律使得理解行星運動軌道更加容易因而極富價值。當然，開普勒像哥白尼一樣，他指出，地球在繞其橢圓形軌道運行同時也在自轉(zhuǎn)。

但欲使天文學有實際用處的話，它必須再進一步，它必須告訴我們怎樣預言行星的位置。如果一個人通過觀測得知行星處于一個特殊點，比如說，在圖2.1中的P點，他可能想知道什么時候，比方說，夏至、冬至或春分、秋分時這顆行星會位于什么位置，人們所關心的是行星以多大的速度繞它們的軌道運行。

在這里，開普勒也邁出了極為大膽的一步，哥白尼和希臘人一直用的是勻速，即行星沿著它的周轉(zhuǎn)圓運動同等時間內(nèi)掃過相同的弧度，同時，每個周轉(zhuǎn)圓的中心又在另一個周轉(zhuǎn)圓或從圓上作勻速運動。但是開普勒的觀測結果告訴他，行星并不以勻速繞其橢圓形軌道運動。一個艱苦而漫長的尋找速度規(guī)律的工作以勝利而告終。他發(fā)現(xiàn)，如果行星在一個月內(nèi)從P點移到Q點（圖2.2），比如說，也是一個月內(nèi)，從P′點到Q′點，則面積PSQ與面積P′SQ′相等。由于P點距太陽較P′點近，如果面積PSQ與面積P′SQ′相同，弧PQ必須大于弧P′Q′，因此，行星并不是以勻速運動，事實上，它們靠近太陽時運動得快一些。

開普勒為他發(fā)現(xiàn)了第二定律而欣喜若狂，盡管它沒有簡單到像勻速運動定律那樣好用，卻證實了他最基本的信念，即上帝是依據(jù)數(shù)學原理來設計世界的。上帝所選擇的可能更為微妙，但數(shù)學定律卻能清楚地指明行星運動的速度大小。

還有一個重要問題沒有解決，從太陽到行星的距離是依照哪一個定律來描述？問題的復雜性在于從行星到太陽的距離不是固定的。因此開普勒想找出一個新的能反映這一情形的原理。開普勒深信，自然界的設計不僅是基于數(shù)學原理，而且還基于和諧原理，他認為“和諧”這個詞在這里非常貼切。他相信存在關于天體的音樂，其能產(chǎn)生和諧的旋律效果，不是通過耳朵，而是通過將行星運動的事實轉(zhuǎn)譯成音符而辨別出來。開普勒遵循這樣的思想，即把數(shù)學性與音樂性奇妙地結合在一起。他得出，如果T是行星的公轉(zhuǎn)周期，而D是其與太陽的平均距離，那么，此處k對于所有行星都是一個常數(shù)，這就是開普勒在《世界的和諧》（1619年）中得意洋洋地宣布的行星運動第三定律。

然后，開普勒對上帝大唱贊歌：“太陽、月亮和群星，用你們無法表達的語言贊頌上帝吧！天上的和諧，你應當理解上帝神奇的創(chuàng)造，給它唱贊歌吧！我的靈魂，你贊美造物主吧！造物主創(chuàng)造了一切，一切又存在于造物主之中，我們最了解造物主和我們虛幻的科學所創(chuàng)造的東西！”

哥白尼和開普勒堅信上帝和諧、簡單地設計了世界的程度可以通過他們必須反駁的異議來判斷。按照托勒密的理論，其他行星運動，可以用希臘人的學說這樣解釋：這些行星是由特殊的很輕的物質(zhì)所組成，因而很容易運動，但是怎樣才能使很重的地球運動呢？哥白尼和開普勒都不能回答這個問題。還有一種反對地球轉(zhuǎn)動的觀點認為：如果地球在旋轉(zhuǎn)，那么，地球表面的物體會飛到宇宙中去，就像物體從旋轉(zhuǎn)著的平臺掉下來一樣。沒有人能反駁這種觀點。對于更進一步的反對意見，旋轉(zhuǎn)的地球會飛散，哥白尼無力地反駁說，地球的運動是自然的，因而不會毀掉它自己。然后他反問道，為什么天空不會因為晝夜不停的飛速運轉(zhuǎn)（地心說理論認為的）而飛散？還有另外一種反對意見：如果地球由西向東旋轉(zhuǎn)，那么拋向空中的物體就會墜落于原來位置的西邊，因為當?shù)厍蜻\動時物體還在空中。更進一步，地球圍繞太陽旋轉(zhuǎn)，既然物體的速度與其重量成正比，至少如同希臘人和文藝復興時期的物理學所認為的那樣，那么地球上較輕的物體應留在后邊，甚至空氣也應留在后邊。對這最后一個問題，哥白尼解釋說：空氣是地上的，所以和諧一致地跟著地球運動。所有這些反對意見的實質(zhì)在于：地球的自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)不符合在哥白尼和開普勒時代被普遍接受的亞里士多德的運動理論。

一類反對日心說的科學異議來自天文學本身，尤以基于下列事實的為甚：日心說把恒星視為固定不動，然而，地球在六個月時間內(nèi)要在空中變換它的位置約186000000英里，因此，如果人在某一時間內(nèi)看到某顆恒星并且在六個月后又看到它，則視差應該可以被觀測到，然而在哥白尼和開普勒時代這卻做不到。哥白尼爭辯說，恒星離我們是如此之遠以至于視差太小而難以被觀測到。他的解釋不能使批評者信服，他們反駁說：如果恒星真的那么遙遠，那么它們就根本不會被清楚地看到。在這個問題上，哥白尼的回答是正確的，即使是離我們最近的恒星，在六個月內(nèi)它的視差也只有0.31秒，這是數(shù)學家貝塞爾用一架高級望遠鏡于1838年首次觀測到的。

保守主義者又進一步問道，如果地球以每秒約18英里的速度繞太陽轉(zhuǎn)動并以每秒約0.3英里的速度自轉(zhuǎn)，為什么我們卻沒有感到任何運動呢？事實上我們的感覺告訴我們是太陽在天空運動。對于開普勒時代的人來說，這樣的論證是無可辯駁的，所有這些對地球是在運動的科學異議都很有份量，并且不能視為拒絕接受真理的頑固守舊勢力而不予考慮。

哥白尼和開普勒都很虔誠，但他們都否定了基督教的一條核心教義，即人是宇宙的中心，上帝主要關心的是人。把太陽置于宇宙的中心，這就威脅了這個慰藉人類的教義，因為它使得人成為眾多仿佛漂泊于寒冷天空的流浪者之一。他似乎不在能生前享受榮華富貴，死后榮登天堂，更不像是上帝施恩的對象了。哥白尼抨擊地球是宇宙中心的說法，他指出，宇宙是如此巨大以至于去談論其中心是毫無意義的，但是這種逆耳之聲在當時影響甚微。

反駁所有反對日心說的意見，哥白尼和開普勒都只用了一個無以辯駁的回答，他們都使得自己的理論臻于數(shù)學的理論，更顯得和諧、優(yōu)雅?？紤]到上帝設計了宇宙并且顯然會采用更卓越的理論，那么日心說就一定是正確的。

對他們所發(fā)現(xiàn)的并認為是正確的理論，在哥白尼的《天體運行論》及開普勒的許多著作中都有毋庸置疑的證明。比如開普勒在評價他的橢圓運動理論時說：“我從內(nèi)心深處感覺到這個理論的真實性，我以難以置信的欣喜之情欣賞它的美妙?！遍_普勒1619年發(fā)表的著作，就取名為《世界的和諧》，其中洋溢著他對上帝不盡的贊頌，表達了對上帝輝煌的數(shù)學設計的欽佩之情，也表示了他自己對此堅信不疑。

起初只有數(shù)學家支持新理論是不足為奇的。因為只有那些確信宇宙數(shù)學化并且簡單化地設計的數(shù)學家才具備堅定的信心去蔑視那些盛行的哲學上的、宗教上的和科學上的異議，而欣賞這種革命性的天文學數(shù)學。只有對數(shù)學在設計宇宙中的重要性堅信不移的人才有勇氣去面對強大的反對力量而證實一種新理論。

對新理論的支持來自于一個意想不到的發(fā)展。早在17世紀，望遠鏡就被發(fā)明出來，伽利略聽說了這項發(fā)明之后馬上自己建造了一架，然后用于天體觀測，這令他的同時代人大為震驚。他看到了木星的四顆衛(wèi)星（我們現(xiàn)在能看到12顆），這一發(fā)現(xiàn)表明，每個行星都可以有衛(wèi)星。伽利略還觀察到月亮粗糙的表面及山峰，他還觀察到太陽和圍繞土星赤道的一條隆起帶（現(xiàn)在我們稱之為土星光環(huán)）。他的發(fā)現(xiàn)進一步證實：行星都同地球相像，它們肯定不是像希臘人和中世紀的思想家所認為的由輕飄飄的物質(zhì)所構成的理想球體。用望遠鏡可以發(fā)現(xiàn)原先在天空中像一條寬寬的光帶的銀河是由無數(shù)顆恒星組成，因此天空中還含有其他的太陽，也許還有其他的行星系。哥白尼預言，假如人類的視力更銳利一些，我們就能觀測到金星和水星的相位，就像我們能用肉眼看出月球的相位一樣。借助望遠鏡伽利略確實觀測到了金星的相位，他的觀測結果使他確信哥白尼的理論是正確的，而且他在其經(jīng)典著作《關于兩大世界體系的對話》（1632年）中竭力為之辯護。日心說之所以被接受還由于其使得天文學家、地理學家及航海家計算起來更為簡便。到17世紀中葉，科學界也愿意在日心說的基礎上繼續(xù)發(fā)展，而數(shù)學法則對真理的要求也得到了極大的加強。

堅持地球既圍繞太陽旋轉(zhuǎn)同時又自轉(zhuǎn)的學說在17世紀早期的理性氛圍中絕不是偶然的。伽利略被羅馬天主教宗教法庭審判早已眾所周知，虔誠的天主教徒帕斯卡發(fā)現(xiàn)自己的著作被列入禁書之列，因為他不知天高地厚地詆毀基督耶穌，在他的《致外省人書》中，帕斯卡聲稱：“對于伽利略的地動學說，即使你得到了羅馬教廷否定伽利略的判決也是徒勞的，因為這并不能說明地球是靜止不動的……”

哥白尼和開普勒毫無疑問地接受了希臘人關于自然是按數(shù)學設計的信念及天主教關于上帝創(chuàng)造和設計了宇宙的信條。笛卡爾著手建立系統(tǒng)的、清晰的和有說服力的新科學哲學。盡管笛卡爾被譽為數(shù)學王冠上的明珠之一，但他首先是一個哲學家，其次是宇宙學家，第三是物理學家，第四是生物學家，第五才是數(shù)學家。他的哲學極為重要，因為它主宰了17世紀人們的思想甚至影響到牛頓和萊布尼茨這樣的巨人， 他的基本目標是要找到在所有領域內(nèi)建立真理的方法，這貫穿了他的主要著作《更好地指導推理和尋求科學真理的方法論》（1637，簡稱《方法論》）。

通過只接受那些確鑿無疑的事實，笛卡爾開始他的哲學體系的建立工作。那么他是怎么區(qū)分哪些是可接受的論據(jù)，哪些是不可接受的呢？在他的《思維指導法則》中（寫于1628年，但在他去世后才得以出版），他指出：“對于我們要研究的對象來說，我們不僅不應該研究他人已經(jīng)想出的，而且也不應研究我們自己臆測的東西，而應研究我們能清楚明了的看出或可靠地演繹出的東西，因為知識不可能用別的方法得到?！笔诡^腦有能力直接獲得清楚和明晰的基本原理，極其敏銳的直覺和對結果的演繹——這就是笛卡爾認識哲學的實質(zhì)。笛爾卡認為思維只有兩種方法，它們能使得我們不必擔心陷入謬誤而獲得知識，這就是：直覺和演繹。在《法則》一書中，笛卡爾對直覺給予很高的評價：“直覺是純粹的專注的思維的可靠概念，它僅由理性之光產(chǎn)生，而且比演繹更可信一些?！?/span>

在《方法論》一書中，他證實了思想的存在以及由思想包含的確切無疑的知識，通過他的基本的直覺，笛卡爾在《方法論》一書中急于證實了上帝的存在。而且后來在圍繞著循環(huán)推理的爭論中，他自己確信，直覺和演繹的方法一定是正確的，因為上帝不會欺騙我們。他說，“上帝是永恒的，不可改變的，獨立自主的，全知的和全能的，并且包括我自己在內(nèi)的萬物都是上帝創(chuàng)造的。”

對于數(shù)學本身的真理來說，就像他在《哲學原理》（1641年）一書中指出的那樣“對于屬于算術和幾何以及一般的純抽象數(shù)學的圖形、數(shù)字以及其他一些符號來說，我認為它們是最可靠的真理，對此我感覺得一清二楚。”“自從數(shù)學家從最容易的和最簡單的東西開始研究后，只有他們才能找到確知的真理及相關的事實?！睌?shù)學的概念和真理并不是由人們從感覺得來的，它們自從我們出生就深藏于我們思想之中了，這是上帝安排的，對一般三角形的感性認識永遠也不會使人聯(lián)想起理想三角形的概念。同樣對心智很清楚的人來說，三角形的內(nèi)角和一定是180°。

笛卡爾接著將目光對準現(xiàn)實世界，他說，對于清清楚楚的直覺以及由之而來的演繹法，我們可以放心地將它們應用到現(xiàn)實中去。他認為上帝是按數(shù)學設計世界的，在他的《方法論》中，他證實了“可靠真理及觀念的存在，前者是上帝在自然界中建立起來的，而后者扎根于我們靈魂之中，一旦我們對它們有足夠多的思考，將不再懷疑它們可以在世界上所存在和發(fā)生的萬事萬物中精確地觀測到?！?/span>

笛卡爾進一步證實自然法則是永恒不變的，因為它們是并且僅僅是預定的數(shù)學模型的一部分。甚至就在出版他的《方法論》以前，笛卡爾在1630年4月15日給一位與數(shù)學家過從甚密的神學家梅森的信中寫道：

對于到處宣揚是上帝在自然界建立了這些原則不要害怕，這就像一個最高統(tǒng)治者在他的國家建立法律一樣……而且這就像一個國王，當他不被他的臣民所知的時候更加具有威信一樣，我們把國王的偉大看成不可思議時，我們并沒有想到我們根本就沒有國王。一個人會告訴你如果上帝建立這些真理，他也可以像國王改變他的法律一樣來變更他們。對此，人們可能回答到這有可能，只要他的意愿可以改變，但我認為這些真理是永恒不變的，這也同我認為上帝是永恒的一樣。

這里笛卡爾否認了通行的信念：上帝在不斷地干預宇宙的活動。

對于研究客觀世界，笛卡爾希望只需數(shù)學，就像他在《方法論》中所說的，“迄今為止在所有探求真理的人中，只有數(shù)學家成功地進行任何一種證明，即進行明白無誤的，確定無疑的推理?！痹谘芯靠陀^世界時，笛卡爾相信只用數(shù)學就足夠了，他在《哲學原理》中（1644年）寫到：我坦率承認，在現(xiàn)實物質(zhì)中，我還不知道有什么其他的物質(zhì)存在……除了幾何學家用數(shù)值給它記上符號并且作為其論證的對象的那種物質(zhì)。對于這種物質(zhì)，我只考慮分界線、形狀以及變化。簡言之，除了可以由那些普通信條（它們的正確性毋庸置疑）用在數(shù)學證明中所推出的以外，我不相信任何事。而且到現(xiàn)在，通過這種方法我們可以解釋自然界的一切現(xiàn)象……我不認為我們還可以承認什么其他的客觀原理，或者說我們還有理由再尋找其他任何一條。笛卡爾在他的《哲學原理》中明確指出科學的實質(zhì)就是數(shù)學。他說他“既不承認也不希望在物理學中還有除了幾何上的或抽象數(shù)學中以外的什么原理，因為這樣才能使所有自然現(xiàn)象都可解釋并且可給出確定的證明?！笨陀^世界就是一個靜止不動的空間，它具體體現(xiàn)在幾何學中，因而其性質(zhì)可從幾何的基本原理中得出（因為那時數(shù)學的大部分都是幾何學，因而笛卡爾和他的同代人都將幾何看成數(shù)學的同義詞）。

笛卡爾力圖解釋為什么世界可用數(shù)學來解釋。他堅持認為物質(zhì)最基本最可靠的性質(zhì)就是形狀、延展性和在時空中的運動，而所有這些都是可用數(shù)學描述的。由于形狀可歸結為延展，笛卡爾宣稱：“如果給我延展和運動，我就能構造宇宙。”他特別強調(diào)所有物理現(xiàn)象都是受外力作用的分子機械運動的結果，然而作用力同樣也滿足不變的數(shù)學規(guī)律。

既然笛卡爾認為外部世界只是由運動的物質(zhì)組成，那么他怎么解釋味覺、氣味、顏色以及音質(zhì)呢？在這些問題上他援引古希臘人的信條，即德謨克里特的第一性和第二性學說。第一性，物質(zhì)與運動，存在于客觀世界中；第二性，包括味覺、氣味、顏色、熱、聲音的悅耳或刺耳，不過是外界原子與感官互撞時由人們感官中的第一性產(chǎn)生的結果?，F(xiàn)實世界是在時空中可用數(shù)學描述的物體運動總和，整個宇宙是通過數(shù)學原理建立起來的龐大的、和諧的機器，科學以及事實上任何用來建立順序和測量的原理都可歸于數(shù)學。他在《思維的指導法則》第四法則中寫道：

所有那些目的在于研究秩序和度量的科學，都與數(shù)學有關。至于所求的度量是關于數(shù)、形、星體、聲音或是其他東西都無關緊要。因此，應該存在一門普遍的科學，去解釋所有我們能夠知道的秩序和度量，而不必考慮他們在某個特殊學科中的應用。事實上，通過長期使用，這門科學已經(jīng)有了其專門的名稱，這就是數(shù)學。……其所以在靈活性和重要性上遠遠超過那些依賴于它的科學，是因為它完全包括了這些科學的研究對象和許許多多別的東西。

笛卡爾對數(shù)學本身并沒有提出什么新定理，但他卻提供了一種非常有效的研究方法，即我們現(xiàn)在所稱的解析幾何（見第五章），從技術的觀點來看，解析幾何徹底改變了數(shù)學研究方法。

在科學上，笛卡爾的貢獻，雖然不如像哥白尼、開普勒以及牛頓那樣輝煌燦爛，但也不容輕視。他的漩渦理論（見第三章）是17世紀時的主要宇宙學理論，他是機械論哲學的奠基人。這種哲學認為，所有自然現(xiàn)象，包括人體的作用，但除了靈魂，都可歸結為服從力學定律的運動。對于力學來說，他系統(tǒng)地闡述了慣性定律，即現(xiàn)在所說的牛頓第一運動定律：如果沒有外力作用，每個物體都保持其靜止狀態(tài)或勻速直線運動狀態(tài)。

光學，特別是透鏡設計，是笛卡爾另一個主要興趣所在，實際上他的《幾何學》一部分和《屈光學》的全部（《方法論》后面的附錄）都是講光學的。他和斯涅耳共同發(fā)現(xiàn)了光的折射定律，即光在媒質(zhì)中傳播時，媒質(zhì)突然變化（如光從空氣射到玻璃或水）時光線如何變化。希臘人開始將光學數(shù)學化，但笛卡爾的貢獻在于他把光學發(fā)展成為數(shù)學科學。在其他領域他也做出重要貢獻，包括地理學、氣象學、植物學、解剖學（動物解剖）、動物學、心理學，甚至醫(yī)學。

盡管笛卡爾的哲學和科學觀點背離亞里士多德主義及中世紀的經(jīng)院哲學，但在一個基本的方面，他還是一個經(jīng)院主義者：他從自己的心里得出關于存在和實在的本質(zhì)命題，他相信有先驗的真理，而理智本身的力量可以得到對一切事物的完整知識。這樣，他在先驗推理的基礎上闡明運動定律（實際上他在生物學及其他一些領域的研究中做了一些實驗，并且從中得出一些重要的結論）。然而，通過把自然現(xiàn)象歸結為純物理現(xiàn)象，他做了許多努力去剔除科學中的神秘主義和超自然力。

17 世紀偉大數(shù)學家之一，帕斯卡毫不懷疑科學中的數(shù)學及數(shù)學規(guī)律是真理。和笛卡爾不同，笛卡爾認為直覺明顯地可以被頭腦接受，帕斯卡則認為直覺只可以被內(nèi)心所接受。真理必須是清晰地確切地在心里出現(xiàn)，或者是以這類真理的邏輯推論出現(xiàn)，在他的《思想錄》里，他告訴我們：

關于空間，時間、運動和數(shù)的基本原理的知識如同我們通過推理獲得的任何知識一樣可信，事實上，由我們內(nèi)心和直覺所提供的這種知識正是我們的推理賴以建立結論的基礎。對推理來說，要求在接受來自內(nèi)心的基本原理前就要求其證明是無意義的和荒謬的，就如同對內(nèi)心來說，在接受由推理所論證的所有命題前就要求其有直觀知識一樣是無意義和荒謬的。

對帕斯卡來說，科學就是研究上帝的世界，他認為單純?yōu)榱藠蕵穪韽氖驴茖W工作是錯誤的。以娛樂為主要目的而搞研究是糟蹋了研究，因為那種人抱有“一種對學問的不盡貪欲，對知識的恣意揮霍”?！斑@種對科學的研究出自對自我為中心的關心，而不是著眼于在周圍的自然現(xiàn)象中找出神的存在和光輝。”

在開創(chuàng)現(xiàn)代數(shù)學和科學、富有獨創(chuàng)精神的思想家中，伽利略與笛卡爾齊名，當然，他也相信自然界是上帝按數(shù)學設計的。他在1610年《試金者》中的論述非常著名：

哲學（自然）被寫在那部永遠在我們眼前打開看的大書上，我指的是宇宙。但只有首先學會它的語言，把握了它的書寫符號以后，我們才能理解它。它是用數(shù)學語言寫成的，符號是三角形，圓以及其他幾何圖形，沒有它們的幫助，人們一個字也讀不懂，就只能在黑暗的迷宮中游蕩。