思想應(yīng)當誕生在學生的心里，教師僅僅應(yīng)當像助產(chǎn)士那樣辦事。最有效的教育方法不是告訴人們答案，而是向他們提問；逆境是人類獲得知識的最高學府，難題是人們?nèi)〉弥腔壑T；發(fā)光并非太陽的專利，你也可以發(fā)光。 ——蘇格拉底（Socrates）

雅典的商業(yè)繁榮持續(xù)了半個多世紀，因為與斯巴達人的相互猜忌與不和引發(fā)了伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭。在公元前404年雅典人戰(zhàn)敗投降后，雅典的影響開始走向衰落。

但思想的繁榮未央，黃金時代正在到來。

在智者學派之后領(lǐng)導數(shù)學活動的是柏拉圖學派，數(shù)學從這里開始走向系統(tǒng)化。

一、柏拉圖學派的先驅(qū)者

北非昔勒尼（Cyrene）地方的特奧多魯斯（Theodorus）和意大利南部塔倫騰（Tarentum）的阿基塔斯（Archytas）這兩位畢達哥拉斯學派的學者都曾經(jīng)教過柏拉圖，可能因此使整個柏拉圖學派受到畢達哥拉斯學派的強烈影響。

特奧多魯斯廣為人知的是他證明了3~17之間的非平方數(shù)（即其方根并非整數(shù)者）的平方根都是無理數(shù)。

阿基塔斯是塔倫騰的統(tǒng)領(lǐng)，也是哲學家、數(shù)學家和天文學家。傳說柏拉圖《理想國》中描述的烏托邦的哲學家國王，就是以阿基塔斯為原型的。

阿基塔斯引入了曲線是動點的軌跡，曲面是曲線移動產(chǎn)生的思想。他還從求出兩個給定量之間的兩個比例中項來解決倍立方問題。這兩個比例中項是用幾何方法在求出三個曲面交點之后做出的。這三個曲面是圓繞其一條切線旋轉(zhuǎn)而生成的曲面、一個錐面和一個柱面。他還發(fā)明了一種機械裝置來計算其中無法用尺規(guī)作出的比值。因此，他也成了“機械數(shù)學”方法的創(chuàng)始人。這種做法非常麻煩，柏拉圖一直不認可借助機械解決數(shù)學問題，但這種“機械數(shù)學”方法實際上有著深刻的含義：他把數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為物理問題來解決。

阿基塔斯還把古希臘的數(shù)學樂理提高到一個空前的高度。他證明了，全音階的音程之間的關(guān)系具有n+1比n的關(guān)系，比如，2∶1、4∶3、3∶2、9∶8，等等，而不可能具有等值幾何比那樣的關(guān)系。

第一臺自動機器是由Tarentum的Archytas設(shè)計的，他今天被認為是數(shù)學力學之父。 Archytas的鴿子是一款蒸汽動力自動飛行器。它的木質(zhì)結(jié)構(gòu)是根據(jù)鴿子的解剖結(jié)構(gòu)設(shè)計的，里面裝有一個密封的鍋爐，用于生產(chǎn)蒸汽。蒸汽的壓力最終會超過結(jié)構(gòu)的阻力，使得機器鳥可以飛行。

當然，對柏拉圖影響最大的肯定是蘇格拉底。雖然蘇格拉底對國家的興趣大過對數(shù)學的興趣，但他的思想、品行、經(jīng)歷深刻塑造了柏拉圖。他是蘇格拉底最好的學生。柏拉圖留下的眾多對話，大都是以蘇格拉底為主要角色。柏拉圖稱他的導師是“我所見到的最智慧、最公正、最杰出的人物”。

傳說在柏拉圖成為蘇格拉底學生的頭天晚上，蘇格拉底夢見一只天鵝來到膝上，很快羽翼豐滿，唱著動聽的歌兒飛走了。

柏拉圖年輕時曾有志于政治，蘇格拉底之死改變了他的命運，令他改變初衷，決定以思辨、學術(shù)、探索和追求理念的永恒國度為終身職志。這是希臘文明的大轉(zhuǎn)折！

二、柏拉圖與柏拉圖學院

柏拉圖（Plato，公元前427年—公元前347年），是古希臘偉大的哲學家、思想家、教育家和數(shù)學家，也是整個西方文化最偉大的哲學家和思想家之一。他與老師蘇格拉底、學生亞里士多德合稱希臘三賢，公認為西方哲學的奠基者。他們在哲學、數(shù)學、科學、文學、藝術(shù)、政治等廣泛領(lǐng)域做出的非凡貢獻在全世界范圍內(nèi)影響至今。

柏拉圖生于雅典奴隸主貴族家庭，宣稱是古雅典國王卡德魯斯的后代。他的父親是阿里斯通 (Ariston) 、母親是伯里提俄涅 (Perictione) ——雅典執(zhí)政官、七賢之一梭倫的后裔。由于柏拉圖出色的學習能力和其他才華，古希臘人還稱贊他為阿波羅之子，并稱其嬰兒的時候曾有蜜蜂停留在他的嘴唇上，所以口才如此甜蜜流暢。

年輕的柏拉圖立志從事政治，他參加過伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭，表現(xiàn)得十分勇敢。但老師蘇格拉底因“腐蝕青年思想”等罪名而死的命運對柏拉圖影響很大，他深信有良心的人不能搞政治，因為政治太丑惡骯臟了。

蘇格拉底死后，柏拉圖離開雅典，開始了長達 10 年的游歷，先后去往小亞細亞、埃及、昔蘭尼（今利比亞）、南意大利和西西里等地。途中，柏拉圖接觸了多位數(shù)學家，并親自鉆研數(shù)學。

公元前387年，柏拉圖在雅典西北郊阿卡德米創(chuàng)辦了一所頗似現(xiàn)代私立大學的學院（Academy，今意科學院或高等學府）。學院里有教室、飯廳、禮堂、花園和宿舍，柏拉圖擔任園（校）長，并和他的助手們負責講授各門課程，其中數(shù)學和哲學是最受歡迎的學科。除了幾次應(yīng)邀赴西西里講學以外，他在學院里度過了他生命的后 40 年，學院更是奇跡般地存在了 900 年。

據(jù)說，學院門口立了一塊牌子：“不懂幾何者不得入內(nèi)！”

柏拉圖是他那個時代最有學問的人，但他不是數(shù)學家。不過他熱心數(shù)學，并深信其對哲學和了解宇宙的重要作用，這就鼓勵了數(shù)學家們鉆研數(shù)學。特別要指出的是，公元前4世紀時幾乎所有重要的數(shù)學工作都是柏拉圖的朋友和學生做出的。柏拉圖本人則似乎更關(guān)心把已有的數(shù)學知識加以改進并使之完美。

柏拉圖還是西方教育史上第一個提出完整的學前教育思想并建立了完整的教育體系的人，第一次提出了“四科”（算術(shù)、幾何、天文、音樂），其后便成了古希臘課程體系的主干和導源，支配了歐洲的中等與高等教育達1500年之久。

三、柏拉圖學派的數(shù)學貢獻

1、數(shù)學概念抽象化

柏拉圖說數(shù)同幾何概念不含物質(zhì)性，因而和具體事物不相同。數(shù)學概念不依賴于經(jīng)驗而自有其實在性。它們只能為人所發(fā)現(xiàn)，并非為人所發(fā)明或塑造?！氨仨毺雒Ｈ绱蠛５娜f變現(xiàn)象而抓住真正的實質(zhì)......這是使靈魂從暫存過渡到真理和永存的捷徑......”柏拉圖學派重視抽象觀念，并要把數(shù)學思想當作進入哲學的階梯。數(shù)學家所處理的抽象觀念和諸如善良、公正等其它抽象觀念是同一類的，而了解這兩者乃是柏拉圖哲學的目標。數(shù)學是認識理想世界的準備工具。

2、強調(diào)演繹結(jié)構(gòu)

柏拉圖學派關(guān)心證明，關(guān)心推理過程的方法論。第一類是分析方法：將待證事項作為已知，然后由此推導出一些結(jié)論，直到得出一個已知的真理或得到矛盾。若得出矛盾，則待證的結(jié)論謬誤。若得出一個已知真理，則把推理步驟倒過來就做出證明。第二類是歸謬法或間接法。

柏拉圖肯定知識有加以演繹整理的需要?？茖W的任務(wù)是發(fā)現(xiàn)（理想）自然界的結(jié)構(gòu)，并把它在演繹系統(tǒng)里表述出來。柏拉圖是第一個把嚴密推理法則加以系統(tǒng)化的人，他的門徒按邏輯次序整理了定理。從柏拉圖時代起，數(shù)學上要求根據(jù)一些公認的原理作出演繹證明。由于堅持數(shù)學里必須用演繹推理作為求證的唯一方法，希臘人得以把此前幾千年來數(shù)學里的所有法則、步驟和事實全部拋棄，并使數(shù)學區(qū)別于所有別的知識領(lǐng)域或研究領(lǐng)域。

也正是柏拉圖學派獨尊演繹證明、排斥機械工具，古希臘時代的實驗科學和機械科學發(fā)展不力。

3、數(shù)學家的締造者

柏拉圖學派改進了數(shù)學概念定義的準確性，證明了平面幾何中的新定理。由于天文學的需要，他們特別重視對立體幾何的研究。他們研究了棱柱、棱錐、圓柱和圓錐，并且知道正多面體最多只有五種——由泰阿泰德（Theaetetus）證明。

柏拉圖學派最重要發(fā)現(xiàn)是圓錐曲線，這歸功于米奈克穆斯（Menaechmus）：他利用三種圓錐——直角的、銳角的和鈍角的，再用垂直于錐面一母線的平面來割每個錐面。當時他們只知道雙曲線的一個支。

柏拉圖學派的其他數(shù)學研究工作中還包括泰阿泰德對不可公度量的研究，他考察了其他一些而且屬于更高類型的無理數(shù)并將其分類。從中可以看出數(shù)系是怎樣推廣到更多的無理數(shù)的，而這是用幾何方法研究的。另一柏拉圖學派學者狄諾斯特拉托斯（Dinostratus）指出怎么用割圓曲線來化圓為方。歐多克索斯、亞里士多德、歐幾里得都曾在柏拉圖學院學習。

美國數(shù)學史家波耶（Boyer）評論說：“雖然柏拉圖本人在數(shù)學研究方面沒有特別杰出的學術(shù)成果，然而，他卻是那個時代的數(shù)學活動的核心，……他對數(shù)學的滿腔熱忱沒有使他成為數(shù)學家，但卻贏得了‘數(shù)學家的造就者’（the maker of mathematicians）的美譽?！?/p>

柏拉圖的《蒂邁歐篇》中有這樣一段話：“倘若他對于知識與智慧的熱愛是認真的，并且運用心智過于身體其余部分，那么自然就會有神圣和永恒的思想；倘若他獲得真理，就必然會得到人性所能夠賦予的最充分的永生......他就將得到無上幸福。”

13世紀晚期法國流傳的一幅畫，描述上帝創(chuàng)世的情景。祂使用圓規(guī)，按照幾何的方式去設(shè)計宇宙。此畫顯然受柏拉圖《蒂邁歐篇》的影響。

下一講神明似的歐多克索斯。