……我決心放棄那個(gè)僅僅是抽象的幾何。這就是說，不再去考慮那些僅僅是用來練習(xí)思想的問題。我這樣做，是為了研究另一種幾何，即目的在于解釋自然現(xiàn)象的幾何。——笛卡爾

一、坐標(biāo)幾何的緣起

費(fèi)馬和笛卡爾是數(shù)學(xué)中下一個(gè)巨大創(chuàng)造的主要負(fù)責(zé)人。他們和笛沙格及其追隨者一樣，關(guān)心到曲線研究中的一般方法。但他們兩人在很大程度上參加了科學(xué)研究工作，敏銳地看到了數(shù)量方法的必要性，而且注意到代數(shù)具有提供這種方法的力量。因此，他們就用代數(shù)來研究幾何。他們創(chuàng)立的科目叫做坐標(biāo)幾何或解析幾何，其中心思想是把代數(shù)方程和曲線曲面等聯(lián)系起來。這個(gè)創(chuàng)造是數(shù)學(xué)中最豐富、最有效的設(shè)想之一。

費(fèi)馬對(duì)于微積分的貢獻(xiàn)，如作曲線的切線、計(jì)算最大值和最小值等，是為解答科學(xué)問題而設(shè)計(jì)的。他還對(duì)光學(xué)作了第一等的貢獻(xiàn)。他對(duì)方法論的興趣，在他的一本小書《平面和立體的軌跡引論》（Ad Locos Planos et Solidos Isagoge）中的一個(gè)明白的敘述里得到證實(shí)（此書寫于1629年，但1679年才出版）。他在書中說，他找到了一個(gè)研究有關(guān)曲線問題的普遍方法。

至于笛卡爾，他是17世紀(jì)中最偉大的科學(xué)家之一，他把方法論作為他一切工作的首要對(duì)象。

二、費(fèi)馬的坐標(biāo)幾何

費(fèi)馬從丟番圖出發(fā)開始他的數(shù)論工作。他關(guān)于曲線的工作則從研究希臘的幾何學(xué)家特別是阿波羅尼奧斯開始。阿波羅尼奧斯的《論平面軌跡》（On Plane Loci）一書久已失傳，費(fèi)馬卻是把它重新寫出的人之一。他對(duì)代數(shù)作了貢獻(xiàn)之后，準(zhǔn)備把它用來研究曲線。這一點(diǎn)他在上述小書《軌跡引論》中做了。他說他打算發(fā)起一個(gè)關(guān)于軌跡的一般研究，這種研究是希臘人沒有做到的。

他考慮任意曲線和它上面的一般點(diǎn)J，J的位置用A、E兩字母定出：A是從點(diǎn)O沿底線到點(diǎn)Z的距離，E是從Z到J的距離。他用的坐標(biāo)就是我們所說的傾斜坐標(biāo)，但是y軸沒有明白出現(xiàn)，而且不用負(fù)數(shù)。他的A、E就是我們的x、y。

費(fèi)馬敘述出他的一般原理：“只要在最后的方程里出現(xiàn)了兩個(gè)未知量，我們就得到一個(gè)軌跡，這兩個(gè)量之一，其末端就描繪出一條直線或曲線?！崩?，他寫出“D in A aequetur Bin E”（用我們的記號(hào)就是Dx = By），并指出這代表一條直線。他又給出d(a- x) = by，并肯定它也代表一條直線。方程B2 - x2 = y2代表一個(gè)圓，a2 - x2 = ky2代表一個(gè)橢圓，a2 + x2 = ky2和xy= a各代表一條雙曲線，而x2 = ay代表一條拋物線。

因費(fèi)馬不用負(fù)坐標(biāo)，所以他的方程不能代表整個(gè)曲線，但他領(lǐng)會(huì)到坐標(biāo)軸可以平移或旋轉(zhuǎn)，因?yàn)樗o出一些較復(fù)雜的二次方程，并給出它們可以簡(jiǎn)化到的簡(jiǎn)單形式。他肯定：一個(gè)聯(lián)系著A和E的方程，如果是一次的，就代表直線軌跡，如果是二次的，就代表圓錐曲線。在他的《求最大值和最小值的方法》（Methodus ad Disquirendam Maximam et Minimam，1637）中，他引進(jìn)了曲線

和

三、笛卡爾

笛卡爾是第一個(gè)杰出的近代哲學(xué)家，是近代生物學(xué)的奠基人，是第一流的物理學(xué)家，但只偶然地是個(gè)數(shù)學(xué)家。不過，像他那樣富于智力的人，即使只花一部分時(shí)間在一個(gè)科目上，其工作也必定是很有意義的。

他于1596年3月31日出生在圖賴訥的拉哈耶（La Haye in Touraine，現(xiàn)改名為笛卡爾），父親是個(gè)相當(dāng)富有的律師。8歲的時(shí)候，父親把他送進(jìn)安茹的拉弗萊什（La Fleche in Anjou）的一個(gè)耶穌會(huì)學(xué)校。因?yàn)樗眢w不好，被允許每天早上在床上工作，這習(xí)慣他一直保持到老。他16歲離開拉弗萊什，20歲畢業(yè)于普瓦提埃（Poitiers）大學(xué)，去巴黎當(dāng)律師。

在那里他遇見米道奇和梅森神甫，花了一年的時(shí)間和他們一起研究數(shù)學(xué)。但他卻變得不安靜起來，于1617年投入了奧拉日（Orange）的莫里斯（Maurice）王子的軍隊(duì)。在那以后的九年里，他時(shí)而在幾個(gè)軍隊(duì)中服役，時(shí)而在巴黎狂歡作樂，但一直繼續(xù)研究數(shù)學(xué)。在荷蘭布雷達(dá)（Breda）的招貼牌中有一個(gè)挑戰(zhàn)性的問題，他給解決了，這使他自信有數(shù)學(xué)才能，從而開始認(rèn)真地鉆研數(shù)學(xué)。

他回到巴黎，為望遠(yuǎn)鏡的威力所激動(dòng)，閉門鉆研光學(xué)儀器的理論與構(gòu)造。1628年他移居到荷蘭，得到較為安靜自由的學(xué)術(shù)環(huán)境。他在那里住了20年，寫出了他的著名作品。1649年他被邀請(qǐng)去瑞典作克里斯蒂娜（Christina）女皇的教師。1650年他在那里患肺炎逝世。

他的第一部著作《探求真理的指導(dǎo)原則》（Regulae ad Directionem Ingenii）是1628年寫成的，但在他死后才出版。他的第二部重要著作《世界體系》（Le Mond，1634）包括一個(gè)宇宙漩渦理論，是用來說明行星是如何轉(zhuǎn)動(dòng)不息而且保持在它們繞日的軌道中的。但他害怕教會(huì)的迫害，沒有發(fā)表。

1637年，他出版了他的《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法》（Discours de la méthode pour bien conduire sa raison,etchercher la vérité dans les sciences）。此書是文學(xué)和哲學(xué)的經(jīng)典著作，包括三個(gè)著名的附錄：《幾何》（La Géométrie）、《折光》（LaDioptrique）和《隕星》（Les Météores）。其中的《幾何》部分包括了他關(guān)于坐標(biāo)幾何和代數(shù)的思想。這是笛卡爾寫的唯一的數(shù)學(xué)書，雖然他在許多通信中也確實(shí)傳播過許多其他關(guān)于數(shù)學(xué)的思想。《方法論》一書立刻給他帶來了很大的聲譽(yù)。1644年，他發(fā)表了《哲學(xué)原理》（Principia Philosophiae），專論物理科學(xué)，特別是運(yùn)動(dòng)定律和漩渦理論。此書也包括《世界體系》中的材料，他相信這次已經(jīng)寫得使教會(huì)容易接受些。1650年他發(fā)表了《音樂概要》（Musicae Compendium）。

笛卡爾的科學(xué)思想支配著17世紀(jì)。他的教導(dǎo)和著作，因?yàn)楸磉_(dá)得非常清楚動(dòng)人，甚至在非科學(xué)家中間也很通行。只有教會(huì)排斥他。實(shí)際上笛卡爾是虔誠的，并且他相信他已經(jīng)證明了上帝的存在，因而感到高興。但他教導(dǎo)說，圣經(jīng)不是科學(xué)知識(shí)的來源，只憑理性就足以證明上帝的存在，并且說，人們應(yīng)該只承認(rèn)他所能了解的東西。教會(huì)對(duì)他這些話的反應(yīng)是，在他死后不久，就把他的書列入《禁書目錄》（Index of Prohibited Books），并且當(dāng)在巴黎給他舉行葬禮的時(shí)候，阻止給他致悼詞。

笛卡爾是通過三條途徑來研究數(shù)學(xué)的：作為哲學(xué)家，作為自然的研究者，作為關(guān)心科學(xué)的用途的人。他生活在清教與天主教間的爭(zhēng)論達(dá)到高潮的時(shí)代，又在科學(xué)剛剛開始發(fā)現(xiàn)一些向宗教教條挑戰(zhàn)的自然規(guī)律的時(shí)代。因此，他開始懷疑他在學(xué)校里得到的一切知識(shí)。早在他在拉弗萊什結(jié)束了課業(yè)的時(shí)候，他就斷定他受的教育僅僅加重了他的煩悶。他相信除了認(rèn)識(shí)到自己的無知外，沒有什么進(jìn)步。

由于笛卡爾曾在歐洲最著名學(xué)校之一里待過，又由于他相信自己在那里不是一個(gè)劣等生，他感到有理由去懷疑在任何地方有沒有可靠的成套知識(shí)。于是他就想這個(gè)問題：我們是怎樣知道一些東西的？

但他不久就斷定邏輯本身是無結(jié)果的：“談到邏輯，它的三段論和其他觀念的大部分，與其說是用來探索未知的東西，不如說是用來交流已知的東西，或者用來無判斷地空談我們所不知道的東西?！彼赃壿嫴荒芴峁┗镜恼胬?。

到哪里去找基本道理呢？他排斥了通行的、大部分是經(jīng)院派的哲學(xué)，說它雖然有吸引力，但顯得沒有明確的基礎(chǔ)，而且所用的推理法并不總是無可非議的。他說，哲學(xué)僅僅提供一個(gè)“從表面上看來是到處為真的討論工具”。神學(xué)指出了上天堂去的道路，他自己也和別人一樣激動(dòng)著要上那兒去，但這條道路是正確的嗎？

在一切領(lǐng)域里建立真理的方法，據(jù)他說，是在1619年11月10日出現(xiàn)在他夢(mèng)里的，那時(shí)他正在一次軍事行動(dòng)中，那個(gè)方法就是數(shù)學(xué)方法。他為數(shù)學(xué)所吸引是因?yàn)樗牧⒆阌诠砩系淖C明是無懈可擊的，而且是任何權(quán)威所不能左右的。數(shù)學(xué)提供了獲得必然結(jié)果以及有效地證明其結(jié)果的方法。此外，笛卡爾還清楚地看到，數(shù)學(xué)方法超出它的對(duì)象之外。他說：“它是一個(gè)知識(shí)工具，比任何其他由于人的作用而得來的知識(shí)工具更為有力，因而它是所有其他知識(shí)工具的源泉?！?/p>

他給出結(jié)論：“幾何學(xué)家慣于在困難的證明中用來達(dá)到結(jié)論的成長(zhǎng)串的簡(jiǎn)單而容易的推理，使我想到所有人們能夠知道的東西，也同樣是互相聯(lián)系著的。”

從他的數(shù)學(xué)方法的研究中，他抽出了在任何領(lǐng)域中獲得正確知識(shí)的一些原則：不要承認(rèn)任何事物是真的，除非它在思想上明白清楚到毫無疑問的程度；要把困難分成一些小的難點(diǎn)；要由簡(jiǎn)到繁，依次進(jìn)行；最后，要列舉并審查推理的步驟，要做得徹底，使之毫無遺漏的可能。

這些是他從數(shù)學(xué)家的實(shí)踐中提煉出來的方法要點(diǎn)。他希望以此去解決哲學(xué)、物理學(xué)、解剖學(xué)、天文學(xué)、數(shù)學(xué)和其它領(lǐng)域中的問題。雖然這個(gè)大膽的計(jì)劃并未成功，但他確實(shí)對(duì)于哲學(xué)、科學(xué)和數(shù)學(xué)作出了可觀的貢獻(xiàn)。心的直觀力量（即對(duì)于基本的、清楚的、明顯的真理的直接了解）和演繹推理，是他的知識(shí)哲學(xué)的要素。用別的方法得來的所謂知識(shí)，由于有錯(cuò)誤的嫌疑和危險(xiǎn)性，都應(yīng)該摒棄。他在《方法論》中寫的三個(gè)附錄，就是為了證明他的方法是有效的，他相信他已經(jīng)證明了。

笛卡爾創(chuàng)立了現(xiàn)代哲學(xué)。他找出了一些明白到他可以立刻接受的真理作為公理，最后他定出四條：（a）我思故我在（cogito, ergo sum）；（b）每一現(xiàn)象必有原因；（c）效果不能大于它的原因；（d）心中本來就有完美、空間、時(shí)間和運(yùn)動(dòng)的觀念。根據(jù)（c），完美的觀念（即“完美的東西”的觀念）不能從人的不完美的心中推導(dǎo)或創(chuàng)造出來，它只能從一個(gè)完美的東西得到。因此，上帝存在。因?yàn)樯系鄄黄垓_我們，所以我們就能保證：在直觀上很明白的數(shù)學(xué)公理，以及通過純粹的思想程序從這些公理得出來的推論，確實(shí)可應(yīng)用于物理世界，因而它們都是真理。由此可見，上帝一定是按照數(shù)學(xué)定律來建立自然界的。

他相信他有明白而清楚的數(shù)學(xué)概念，例如三角形的概念。這些概念確實(shí)存在，而且是永恒的、不變的，它們的存在，不依賴于人是否正想著它們。因此，數(shù)學(xué)是永恒地客觀地存在著的。

笛卡爾的第二個(gè)主要興趣，是大多數(shù)和他同時(shí)代的思想家共有的，就是對(duì)自然界的了解。他用了許多年的時(shí)間在科學(xué)問題上，甚至廣泛地作了力學(xué)、水靜力學(xué)、光學(xué)和生物學(xué)方面的實(shí)驗(yàn)。他的漩渦理論是17世紀(jì)中最有勢(shì)力的宇宙學(xué)。他是機(jī)械論哲學(xué)的奠基人：一切自然現(xiàn)象包括人體的作用，都可歸結(jié)到服從于力學(xué)定律的運(yùn)動(dòng)。但笛卡爾把靈魂除外。

他對(duì)于光學(xué)，特別對(duì)于透鏡的設(shè)計(jì)感興趣；他的《幾何》的一部分和《折光》都是講光學(xué)的。他和斯涅耳分享發(fā)現(xiàn)光的折射定律的榮譽(yù)。他的科學(xué)工作和哲學(xué)工作一樣，是根本性的而且是革命性的。

笛卡爾的科學(xué)工作的另一重要之點(diǎn)，是強(qiáng)調(diào)把科學(xué)成果付之實(shí)用。在這一點(diǎn)上，他同希臘人明白地公開地決裂。為了人類的幸福而去掌握自然，他追究了許多科學(xué)問題。對(duì)他來說，數(shù)學(xué)不是思維的訓(xùn)練，而是一門建設(shè)性的有用科學(xué)。他與費(fèi)馬不同，幾乎不注意美與協(xié)調(diào)性。他不推崇純粹數(shù)學(xué)，認(rèn)為把數(shù)學(xué)方法只用到數(shù)學(xué)本身是沒有價(jià)值的，因?yàn)檫@不是研究自然。那些為數(shù)學(xué)而搞數(shù)學(xué)的人，是白費(fèi)精神的盲目的研究者。

四、笛卡爾在坐標(biāo)幾何方面的工作

笛卡爾對(duì)方法的普遍興趣和對(duì)代數(shù)的專門知識(shí)，在幾何上組成聯(lián)合力量。他對(duì)于下述事實(shí)深感不安：歐幾里得幾何中每一證明，總是要求某種新的、往往是奇巧的想法。他明白地批評(píng)希臘人的幾何過于抽象，而且過多地依賴于圖形，以至“它只能使人在想象力大大疲乏的情況下，去練習(xí)理解力”。他對(duì)當(dāng)時(shí)通行的代數(shù)也加以批評(píng)，說它完全受法則和公式的控制，以至于“成為一種充滿混雜與晦暗、故意用來阻礙思想的藝術(shù)，而不像一門改進(jìn)思想的科學(xué)”。他因此主張采取代數(shù)與幾何中一切最好的東西，互相以長(zhǎng)補(bǔ)短。

他著手開發(fā)把代數(shù)用到幾何上去。他完全看到代數(shù)的力量，看到它在提供廣泛的方法論方面，高出希臘人的幾何方法。他同時(shí)強(qiáng)調(diào)代數(shù)的一般性，以及它把推理程序機(jī)械化和把解題工作量減小的價(jià)值。他看到代數(shù)具有作為一門普遍的科學(xué)方法的潛力。他把代數(shù)應(yīng)用到幾何的產(chǎn)物，是《幾何》一書。

這書是不容易讀的，許多模糊不清之處是故意為之，他自吹說歐洲幾乎沒有一個(gè)數(shù)學(xué)家能懂他的著作。他只約略指出作圖法和證法，留給別人去填入細(xì)節(jié)。他在一封信里，把他的工作比作建筑師的工作，即立下計(jì)劃，指明什么是應(yīng)該做的，而把手工操作留給木工與瓦工。他還說：“我沒有作過任何不經(jīng)心的刪節(jié)，但我預(yù)見到對(duì)于那些自命為無所不知的人，我如果寫得使他們能充分理解，他們將不失機(jī)會(huì)地說我所寫的都是他們已經(jīng)知道的東西?！痹凇稁缀巍分?，他又給了一些別的理由，例如，他不愿奪去讀者們自己進(jìn)行加工的樂趣。后來有人給此書寫了許多評(píng)注，使它易于了解。

他的思想必須從他書中許多解出的例題里去推測(cè)。他說，他之所以刪去絕大多數(shù)定理的證明，是因?yàn)槿绻腥瞬幌勇闊┒ハ到y(tǒng)地考察這些例題，一般定理的證明就成為顯然的了，而且照這樣去學(xué)習(xí)是更為有益的。

在《幾何》中，他開始仿照韋達(dá)的方式，用代數(shù)來解決幾何作圖的問題；后來才逐漸地出現(xiàn)了用方程表示曲線的思想。他首先指出，幾何作圖要求對(duì)線段加減乘除，對(duì)特別的線段取平方根，因?yàn)檫@幾種運(yùn)算也包括在代數(shù)里，所以它們都可用代數(shù)的術(shù)語表示。

在考慮作圖問題時(shí)，笛卡爾說，我們必須假定問題已經(jīng)解決，而用字母表示所有那些看來是作圖必需的已知和未知的線段。然后我們弄清楚這些線段之間的相互關(guān)系，使得同一個(gè)量能夠用兩種方式表示出來，這樣就得到一個(gè)方程。我們必須求出與未知線段數(shù)目相同的方程。如果方程不止一個(gè)，我們必須把它們組合起來，使得最后只剩下一個(gè)方程，其中只有一個(gè)未知的線段，用已知的線段表示出。笛卡爾然后說明怎樣利用該未知線段的代數(shù)方程來把它畫出。

假定某幾何問題歸結(jié)到尋求一個(gè)未知長(zhǎng)度x，經(jīng)過代數(shù)運(yùn)算知道x滿足方程x2= ax + b2，其中a、b是已知長(zhǎng)度。于是由代數(shù)學(xué)得出

（笛卡爾不考慮負(fù)根）。他畫出x如下：作直角三角形NLM，其中LM=b，NL=a /2。延長(zhǎng)MN到O，使NO=NL=a/2。于是x就是OM的長(zhǎng)度。

在第一卷書的前一半中，笛卡爾用代數(shù)解決的只是古典的幾何作圖問題。這是代數(shù)在幾何上的一個(gè)應(yīng)用，并不是現(xiàn)代意義下的解析幾何。以上所說的問題，可以叫做確定的作圖問題，因?yàn)榻Y(jié)果是一個(gè)唯一的長(zhǎng)度。笛卡爾下一步考慮不確定問題，其結(jié)果有許多長(zhǎng)度可以作為答案。他在這里說：“也要求發(fā)現(xiàn)并描出這條包括所有端點(diǎn)的曲線?！钡芽栔刂赋?，對(duì)于每個(gè)x，長(zhǎng)度y滿足一個(gè)確定方程，因而可以畫出。如果方程是一次的或二次的，就可以按照第一卷的方法，用直線和圓把y畫出；對(duì)于高次方程，他說將在第三卷中說明怎樣畫y。

笛卡爾用帕普斯的問題來說明歸結(jié)到一個(gè)含有兩個(gè)未知長(zhǎng)度的方程時(shí)該怎么辦：在平面上給定三條直線，求所有這樣的點(diǎn)的軌跡，從這點(diǎn)作三條直線各與一條已知直線交于已知角（三個(gè)角不一定相同），使在所得的三條線段中，某兩條的乘積與第三條的平方成正比。如果給定四條直線，則要求四條線段中某兩條的乘積與其余兩條的乘積成正比。如果給定五條直線，則要求五條線段中某三個(gè)的乘積與其余兩個(gè)的乘積成正比。依此類推。

帕普斯曾宣稱，當(dāng)給定的直線是三條或四條時(shí)，軌跡是一條圓錐曲線。在第二卷中，笛卡爾處理了四條直線的帕普斯問題。設(shè)給定的線是AG、GH、EF和AD，要求找出滿足CP * CR = CS * CQ的點(diǎn)C的軌跡。

笛卡爾記AP為x，PC為y。經(jīng)過簡(jiǎn)單的幾何考慮，他從已知量得出CR、CQ和CS的值，得到一個(gè)x和y的二次方程y2 = Ay + Bxy + Cx + Dx2，其中A、B、C、D是由已知量組成的簡(jiǎn)單的代數(shù)式。此即點(diǎn)C的軌跡方程。

笛卡爾的作法，是選定一條線（上圖中的AG）作為基線，以點(diǎn)A為原點(diǎn)。x值是基線上的長(zhǎng)度，從A量起；y值是一個(gè)線段的長(zhǎng)度，由基線出發(fā)，與基線作成一個(gè)固定的角度。這個(gè)坐標(biāo)系，我們現(xiàn)在叫做斜坐標(biāo)系。笛卡爾的x、y只取正值，他的圖局限在第一象限之內(nèi)。他斷言，容易證明曲線的次數(shù)與坐標(biāo)軸的選擇無關(guān)。他指出這個(gè)軸要選得使最后得到的方程愈簡(jiǎn)愈好。他又邁出另外一大步，這就是考慮兩個(gè)不同的曲線，用同一坐標(biāo)軸來寫出它們的方程，并且聯(lián)立地解出這兩個(gè)方程來求出這兩條曲線的交點(diǎn)。

也是在第二卷里，笛卡爾批判地考慮了希臘人關(guān)于平面曲線、立體曲線和線性曲線的區(qū)別。希臘人說，平面曲線是可以用尺規(guī)畫出的曲線，立體曲線是圓錐曲線，其余的都是線性曲線，例如蚌線、螺線、割圓曲線和蔓葉線。希臘人也把線性曲線叫做機(jī)械曲線，因?yàn)樾枰媚承┨厥鈾C(jī)械來畫出它們。但是笛卡爾說，就是直線和圓，也需要一些工具。機(jī)械作圖的準(zhǔn)確性是無關(guān)緊要的，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)上只有推理才算數(shù)。笛卡爾排斥了這種思想：只有用直尺和圓規(guī)畫出的曲線才是合法的。他甚至提出一些用機(jī)械畫出的新的曲線。他用一句高度有意義的話來作結(jié)論：“幾何曲線”是那些可用一個(gè)唯一的含x和y的有限次代數(shù)方程來表示的曲線。因此，笛卡爾承認(rèn)蚌線和蔓葉線是幾何曲線，其他如螺線和割圓曲線等，他都叫做“機(jī)械曲線”。

萊布尼茨比笛卡爾更進(jìn)一步，用“代數(shù)的”和“超越的”字樣來替代笛卡爾的詞“幾何的”和“機(jī)械的”，他對(duì)曲線必須有代數(shù)方程這一要求提出抗議。實(shí)際上笛卡爾和他的同時(shí)代人都忽略了這個(gè)要求而以同樣的熱情去研究旋輪線、對(duì)數(shù)曲線、對(duì)數(shù)螺線（log ρ = aθ）和其他非代數(shù)曲線。笛卡爾開辟了整個(gè)的曲線領(lǐng)域。

笛卡爾下一步考慮幾何曲線的分類。含x和y的一次和二次曲線，屬于第一類，即最簡(jiǎn)單類。笛卡爾說圓錐曲線的方程是二次的，但他沒有證明。三次和四次方程的曲線，構(gòu)成第二類。五次和六次方程的曲線構(gòu)成第三類，余類推。他相信在每一類中，高次的那一個(gè)可以化為低次的，正如四次方程的解可以通過三次方程的解來求出。當(dāng)然，他這個(gè)信念是不對(duì)的。

《幾何》的第三卷又回到第一卷的課題。它的目的是解決這樣的幾何作圖問題：引到三次和高次的方程，需要圓錐曲線和高次曲線。例如求兩個(gè)已知量a和q的兩個(gè)比例中項(xiàng)的作圖問題。對(duì)于q=2a的特殊情形，古希臘人做過很多嘗試，因?yàn)樗墙鉀Q“倍立方”問題的一種方式。

笛卡爾的解決方法：設(shè)z是一個(gè)比例中項(xiàng)，則另一個(gè)必定是z2/a。z滿足z3 = a2q。這就是說，必須解一個(gè)三次方程。笛卡爾證明，z和z2/a可以借助一條拋物線和一個(gè)圓，用幾何作圖法求出。

笛卡爾得到z，并不是聯(lián)立解拋物線和圓的方程而求出它們的交點(diǎn)，換句話說，他并不是在我們現(xiàn)在的意義下來圖解方程。他用的是純粹的幾何作圖法（但假定拋物線是可畫的）和z滿足上述方程的事實(shí)，以及圓和拋物線的幾何性質(zhì)。笛卡爾在這里做的和他在第一卷里做的完全一樣，只不過在這里未知長(zhǎng)度滿足的方程是三次或高次的，而不是一次或二次的。他給出的關(guān)于問題的純代數(shù)解，以及隨之而來的作圖法，實(shí)際上和阿拉伯人給出的一樣。

笛卡爾不但立意說明某些立體問題怎樣可以在代數(shù)和圓錐曲線的幫助下得到解決，而且注意問題的分類，使人從中知道問題牽涉到什么以及怎樣解決。他的分類法根據(jù)于作圖問題引出的代數(shù)問題的次數(shù)。如果方程是一次的或二次的，就可用直線和圓把圖作出。如果方程是三次或四次的，那就非用圓錐曲線不可。他無意中斷言：所有三次的問題都可化為三等分角和倍立方的問題，而且不用比圓更為復(fù)雜的曲線，三次問題是不能解決的。如果方程的次數(shù)高于四，作圖時(shí)就需要用比圓錐曲線更為復(fù)雜的曲線。

笛卡爾又強(qiáng)調(diào)曲線方程的次數(shù)是衡量曲線繁簡(jiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)。作圖時(shí)應(yīng)該用最簡(jiǎn)單的曲線（即最低次的方程）。他把曲線的次數(shù)強(qiáng)調(diào)到這個(gè)程度，以至認(rèn)為像笛卡爾葉形線x2+y2 - 3axy=0（下圖）這樣復(fù)雜的曲線，比曲線還要簡(jiǎn)單。

笛卡爾把代數(shù)提高到重要地位，其意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過他對(duì)作圖問題的洞察和分類。這個(gè)關(guān)鍵思想使人們能夠認(rèn)識(shí)典型的幾何問題，并且能夠把在幾何形式上互不相關(guān)的問題歸在一起。代數(shù)給幾何帶來最自然的分類原則和最自然的方法層次。不僅可解性問題和作圖可能性問題能夠從平行于幾何的代數(shù)來漂亮、迅速、完全地決定，而且離開代數(shù)，決定就成為不可能的了。因此，體系和結(jié)構(gòu)就從幾何轉(zhuǎn)移到代數(shù)。

在《幾何》第二卷的一部分和《折光》里，笛卡爾用坐標(biāo)幾何作為助力，從事于光學(xué)的研究。他對(duì)透鏡設(shè)計(jì)非常關(guān)心。他在《折光》里討論了折射現(xiàn)象。在他之前，開普勒和阿爾哈森已經(jīng)注意到了下述說法對(duì)大的角度是不正確的：折射角和入射角成比例，其比例常數(shù)依賴于引起折射的介質(zhì)。但他兩人沒有發(fā)現(xiàn)正確的定律。斯涅耳在1626年之前發(fā)現(xiàn)了（但未發(fā)表）正確的定律sin i /sin r = v1 /v2，其中v1是光在第一介質(zhì)中的速度，v2是光進(jìn)入第二介質(zhì)后的速度。

笛卡爾于1637年在《折光》里給出同樣的定律，他是不是獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定律，至今還沒有考察清楚。他給出的證明是錯(cuò)誤的。費(fèi)馬立即對(duì)定律及其證明進(jìn)行攻擊。這就引起了兩人之間長(zhǎng)達(dá)十年之久的爭(zhēng)論。費(fèi)馬一直到他從他的“最短時(shí)間原理”導(dǎo)出此定律后，才承認(rèn)它是正確的。

笛卡爾在《折光》里描述了眼的動(dòng)作之后，進(jìn)而考慮怎樣去恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)望遠(yuǎn)鏡、顯微鏡和眼鏡的聚焦透鏡。早在古代就知道球形透鏡不能使平行光線或從光源發(fā)出的光線聚焦于一點(diǎn)，因此什么形狀的透鏡能起這樣的聚焦作用，還是一個(gè)沒有解決的問題。開普勒建議用某種圓錐截線，笛卡爾試圖設(shè)計(jì)一個(gè)能完全聚焦的透鏡。

他成功地解決了這個(gè)一般性問題：什么樣的曲面作為兩種介質(zhì)的交界面時(shí)，能使從第一種介質(zhì)內(nèi)一點(diǎn)發(fā)出的光線射到曲面上，折入第二種介質(zhì)而聚于一點(diǎn)。具有這個(gè)性質(zhì)的旋轉(zhuǎn)面是由笛卡爾卵形線產(chǎn)生的。他在《折光》里討論這個(gè)曲線和它的折光性質(zhì)，并且在《幾何》的第二卷里作了補(bǔ)充。

這條曲線（上圖）的近代定義是滿足條件FM±nF'M=2a的點(diǎn)M的軌跡，其中F和F'是固定點(diǎn)，2a是大于FF'的任意實(shí)數(shù)，n是任意實(shí)數(shù)。如果n=1，曲線就成了橢圓。在一般情形下，卵形線的方程是四次的，這個(gè)曲線包括兩個(gè)沒有共同點(diǎn)的閉線，而且一個(gè)在另一個(gè)之內(nèi)。在內(nèi)的那個(gè)類似于橢圓，在外的那個(gè)可能是凸的，也可能有拐點(diǎn)。

笛卡爾和費(fèi)馬研究坐標(biāo)幾何的方法大不相同。笛卡爾批評(píng)了希臘的傳統(tǒng)，而且主張同這傳統(tǒng)決裂；費(fèi)馬則著眼于繼承希臘人的思想，認(rèn)為他自己的工作只是重新表述了阿波羅尼奧斯的工作。真正的發(fā)現(xiàn)——代數(shù)方法的威力——是屬于笛卡爾的，他知道他是在改換古代方法。雖然用方程表示曲線的思想在費(fèi)馬的工作中對(duì)在笛卡爾的工作中更為明顯，但費(fèi)馬的工作主要是這樣一個(gè)技術(shù)的成就：他完成了阿波羅尼奧斯的工作，并且利用了韋達(dá)用字母代表數(shù)類的思想。笛卡爾的方法是可以普遍使用的，而且就潛力而論也適用于超越曲線。

雖然笛卡爾和費(fèi)馬研究坐標(biāo)幾何的方式和目的顯著不同，他們依然卷入誰先發(fā)現(xiàn)的爭(zhēng)論。費(fèi)馬的著作知道1679年才出版，但1629年已發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)幾何的基本原理，這比笛卡爾發(fā)表《幾何》的1637年早。當(dāng)時(shí)笛卡爾已完全知道費(fèi)馬的許多發(fā)現(xiàn)，但否認(rèn)他的思想來自費(fèi)馬。荷蘭數(shù)學(xué)家貝克曼（Isaac Beeckman，1588-1637 ）把笛卡爾的坐標(biāo)幾何思想回溯到1619年，而且坐標(biāo)幾何中的許多基本思想無疑是笛卡爾首創(chuàng)的。

當(dāng)《幾何》出版的時(shí)候，費(fèi)馬批評(píng)說，書中刪去了極大值和極小值、曲線的切線以及立體軌跡的作圖法。他認(rèn)為這些是值得所有幾何學(xué)家注意的。笛卡爾回答說，費(fèi)馬幾乎沒有做什么，至多做出一些不費(fèi)力氣不需要預(yù)備知識(shí)就能得到的東西，而他自己卻在《幾何》的第三卷中，用了關(guān)于方程性質(zhì)的全部知識(shí)。他諷刺地稱呼費(fèi)馬為我們的極大和極小大臣，并且說費(fèi)馬欠了他的債。羅貝瓦爾、帕斯卡和其他一些人站在費(fèi)馬一邊，而米道奇和笛沙格站在笛卡爾一邊。費(fèi)馬的朋友們給笛卡爾寫了尖刻的信。后人這兩人的態(tài)度趨于緩和。在1660年的一篇文章里，費(fèi)馬雖然指出《幾何》中的一個(gè)錯(cuò)誤，但他宣稱他是如此佩服笛卡爾的天才，即使笛卡爾有錯(cuò)誤，他的工作甚至比別人沒有錯(cuò)誤的工作更有價(jià)值。笛卡爾卻不像費(fèi)馬那樣寬厚。

后代人對(duì)待《幾何》并不像笛卡爾那樣重視。雖然對(duì)數(shù)學(xué)的前途來說，方程和曲線的結(jié)合是一個(gè)顯著的思想，但對(duì)笛卡爾來說，這個(gè)思想只是為了達(dá)到目的——解決作圖問題——的一個(gè)手段。費(fèi)馬強(qiáng)調(diào)軌跡的方程，從近代觀點(diǎn)來看，是更為恰當(dāng)?shù)?。笛卡爾在卷一和卷三中所著重的幾何作圖問題，已逐漸失去重要性，這主要是因?yàn)椴辉傧裣ＥD人那樣，用作圖來證明存在了。

第三卷中也有一部分是在數(shù)學(xué)里占永久地位的。笛卡爾解決幾何作圖問題時(shí)，首先把問題用代數(shù)表示出，接著就解出所得到的代數(shù)方程，最后按解的要求來作圖。在這個(gè)過程中，笛卡爾收集了自己和別人的有助于求解的方程論工作。因?yàn)榇鷶?shù)方程不斷出現(xiàn)在成百的、與作圖問題無關(guān)的不同場(chǎng)合中，所以這個(gè)方程論已經(jīng)成為初等代數(shù)的基礎(chǔ)部分。

五、坐標(biāo)幾何在17世紀(jì)中的擴(kuò)展

有種種原因，使坐標(biāo)幾何的主要思想——用代數(shù)方程表示并研究曲線——沒有被數(shù)學(xué)家熱情地接受并利用。費(fèi)馬的《軌跡引論》雖然在他的朋友中得到傳播，但遲至1679年才出版。笛卡爾對(duì)于幾何作圖問題的強(qiáng)調(diào)，遮蔽了方程和曲線的主要思想。事實(shí)上，許多和他同時(shí)代的人認(rèn)為坐標(biāo)幾何主要是解決作圖問題的工具，甚至萊布尼茨也說笛卡爾的工作是退回到古代。笛卡爾本人確實(shí)知道他的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不限于提供一個(gè)解決作圖問題的新方法。他在《幾何》的引言中說：“此外，我在第二卷中所作的關(guān)于曲線性質(zhì)的討論，以及考察這些性質(zhì)的方法，據(jù)我看，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了普通幾何的論述，正如西塞羅的詞令遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過兒童的簡(jiǎn)單語言一樣?！钡牵们€方程之處，例如解決帕普斯問題、求曲線的法線、找出卵形線的性質(zhì)等，大大地被他的作圖問題所遮蓋。坐標(biāo)幾何傳播速度緩慢的另一原因是笛卡爾堅(jiān)持要把他的書寫得使人難懂。

還有一個(gè)原因，是許多數(shù)學(xué)家反對(duì)把代數(shù)和幾何混淆起來，或者把算術(shù)和幾何混淆起來。早在16世紀(jì)當(dāng)代數(shù)正在興起的時(shí)候，已經(jīng)有過這種反對(duì)的意見了。例如，塔爾塔利亞堅(jiān)持要區(qū)別數(shù)的運(yùn)算和希臘人對(duì)于幾何物體的運(yùn)算。他譴責(zé)《幾何原本》的譯者不加區(qū)別地使用multiplicare（乘）和ducere（倍）兩字。他說，前一字是屬于數(shù)的，后一字是屬于幾何量的。韋達(dá)也認(rèn)為數(shù)的科學(xué)和幾何量的科學(xué)是平行的，但是有區(qū)別。甚至牛頓也如此，他在《普遍的算術(shù)》中說：

對(duì)于牛頓立場(chǎng)的一個(gè)合理解釋是：他想把代數(shù)排斥到初等幾何之外，但他也確實(shí)知道，代數(shù)在處理圓錐截線和高次曲線時(shí)是有用的。

使坐標(biāo)幾何遲遲才被接受的又一原因是代數(shù)被認(rèn)為缺乏嚴(yán)密性，巴羅不愿承認(rèn)無理數(shù)除了作為表示連續(xù)幾何量的一個(gè)符號(hào)外，還有別的意義。算術(shù)和代數(shù)從幾何得到邏輯的核實(shí)，因而代數(shù)不能替代幾何，或與幾何并列。哲學(xué)家霍布斯（Thomas Hobbes，1588—1679）雖然在數(shù)學(xué)里是個(gè)小人物，但當(dāng)他反對(duì)“把代數(shù)應(yīng)用到幾何的一整批人”時(shí)，卻代表許多數(shù)學(xué)家發(fā)了言，說這批數(shù)學(xué)家錯(cuò)誤地把符號(hào)當(dāng)作幾何。他又認(rèn)為沃利斯論圓錐曲線的書是卑鄙的，是“符號(hào)的結(jié)痂”。

上述種種雖然阻礙了對(duì)笛卡爾和費(fèi)馬的貢獻(xiàn)的了解，但也有很多人逐漸采用并且擴(kuò)展了坐標(biāo)幾何。第一個(gè)任務(wù)是解釋笛卡爾的思想。范斯庫騰（Frans van Schooten，1615—1660）將《幾何》譯成拉丁文，于1649年出版，并再版了若干次。這本書不但在文字上便于所有的學(xué)者（因?yàn)樗麄兌寄茏x拉丁文），而且添了一篇評(píng)論，對(duì)笛卡爾的精致陳述加以闡發(fā)。在1659到1661的版本中，范斯庫騰居然給出坐標(biāo)變換——從一條基線（x軸）到另一條基線——的代數(shù)式。他如此深切地感到笛卡爾方法的力量，以至宣稱希臘人就是用這個(gè)方法導(dǎo)出他們的結(jié)果的。按范斯庫騰的說法，希臘人是先由代數(shù)工作看出怎樣去綜合地得出結(jié)果——范斯庫騰說明如何做到這一步——然后發(fā)表那些沒有代數(shù)方法顯明的綜合方法來驚世駭俗。范斯庫騰可能誤解了“分析”（這個(gè)詞按希臘人的意思是分析某個(gè)問題）和“解析幾何”（這個(gè)詞特別描寫笛卡爾把代數(shù)當(dāng)作方法使用）的意義。

沃利斯在《論圓錐曲線》（DeSectionibus Conicis，1655）中，第一次得到圓錐曲線的方程。他是為了闡明阿波羅尼奧斯的結(jié)果，把阿波羅尼奧斯的幾何條件翻譯成代數(shù)條件，從而得到這些方程的。于是他把圓錐曲線定義為對(duì)應(yīng)含x和y的二次方程的曲線，并證明這些曲線確實(shí)就是幾何里的圓錐曲線。他很可能是第一個(gè)用方程來推導(dǎo)圓錐截線的性質(zhì)的人。

他的書大大有助于傳播坐標(biāo)幾何的思想，又有助于普及這樣的處理法：把圓錐截線看作平面曲線，而不看作是圓錐與平面的交線，雖然這后一種看法仍繼續(xù)流傳著。此外，沃利斯強(qiáng)調(diào)代數(shù)推理是有效的，而笛卡爾至少在《幾何》中實(shí)際上依靠幾何，認(rèn)為代數(shù)只是一種工具。沃利斯又是第一個(gè)有意識(shí)地引進(jìn)負(fù)的縱橫坐標(biāo)的人。略晚一些，牛頓也這樣做，可能是從沃利斯那里學(xué)來的。我們可以比較范斯庫騰和沃利斯的說法，沃利斯說，阿基米德和幾乎所有的古代人都把他們的探索和分析問題的方法對(duì)后輩如此保密，使近代人覺得發(fā)明一種新的分析法比尋找舊的還要容易些。

英國數(shù)學(xué)家沃利斯

牛頓的《流數(shù)法與無窮級(jí)數(shù)》（The Methodof Fluxions and Infinite Series）大約于1671年寫成，但第一次出版的，卻是科爾森（John Colson，死于1760年）的英譯本，出版于1736年。此書包括坐標(biāo)幾何的許多應(yīng)用，例如按方程描出曲線。書中創(chuàng)見之一，是引進(jìn)新的坐標(biāo)系。17甚至18世紀(jì)的人，一般只用一根坐標(biāo)軸（x軸），其y值是沿著與x軸成直角或斜角的方向畫出的。牛頓引進(jìn)的坐標(biāo)系之一，是用一個(gè)固定點(diǎn)和通過此點(diǎn)的一條直線作標(biāo)準(zhǔn)，略如我們現(xiàn)在的極坐標(biāo)系。牛頓又引進(jìn)了雙極坐標(biāo)，其中每點(diǎn)的位置決定于它至兩個(gè)固定點(diǎn)的距離。由于牛頓的這個(gè)工作直到1736年才為世人所知，而雅各布·伯努利于1691年在《教師學(xué)報(bào)》（Acta Eruditorum）上發(fā)表了一篇基本上是關(guān)于極坐標(biāo)的文章，所以通常認(rèn)為雅各布·伯努利是極坐標(biāo)的發(fā)現(xiàn)者。

1694年，雅各布·伯努利引進(jìn)了雙紐線，這個(gè)線在18世紀(jì)起了相當(dāng)大的作用。這條曲線是一大族叫做卡西尼卵形線的一個(gè)特例。這族曲線是卡西尼（Jean-Dominique Cassini，1625—1712）引進(jìn)的，但遲至1749年才由他的兒子卡西尼（Jacques Cassini，1677—1756）發(fā)表在《天文學(xué)初步》（Eléments d'astronomie）里?？ㄎ髂崧研尉€（下圖）的定義是：線上的任何點(diǎn)到兩個(gè)固定點(diǎn)S1、S2的距離r1、r2的乘積等于常數(shù)b2。設(shè)S1與S2間的距離是2a，如果b>a，就得到一個(gè)沒有自交點(diǎn)的卵形線。如果b=a，就得到雙紐線。如果b<a，卵形線就分為兩個(gè)?？ㄎ髂崧研尉€的直角坐標(biāo)方程是四次的。

笛卡爾引進(jìn)了對(duì)數(shù)螺線，它的極坐標(biāo)方程是ρ = aθ，并且發(fā)現(xiàn)了它的許多性質(zhì)。

把坐標(biāo)幾何推廣到三維空間，是在17世紀(jì)中葉開始的。在《幾何》的第二卷中，笛卡爾指出，容易使他的想法運(yùn)用到所有可以看作是一個(gè)點(diǎn)在三維空間中作規(guī)則運(yùn)動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的曲線。笛卡爾的計(jì)劃是：從曲線的每個(gè)點(diǎn)作線段垂直于兩個(gè)互相垂直的平面。這些線段的端點(diǎn)將分別在這兩個(gè)平面上描出兩條曲線，而這兩條平面曲線就可用已知的方法處理。在第二卷的靠前一部分里，笛卡爾指出，一個(gè)含有三個(gè)未知數(shù)的方程代表的軌跡是一個(gè)平面、一個(gè)球面，或一個(gè)更復(fù)雜的曲面。他顯然體會(huì)到他的方法可能推廣到三維空間中的曲線和曲面，可是他沒有進(jìn)一步去考慮這種推廣。

費(fèi)馬在1643年的一封信里，簡(jiǎn)短地描述了他的關(guān)于三維解析幾何的思想。他談到柱面、橢圓拋物面、雙葉雙曲面和橢球面。然后他說，作為平面曲線論的頂峰，應(yīng)該研究曲面上的曲線。“這個(gè)理論，有可能用一個(gè)普遍的方法來處理，我有空閑時(shí)將說明這個(gè)方法?！痹谝黄挥邪腠撻L(zhǎng)的文章（NovusSecundarum）里，他說，含有三個(gè)未知數(shù)的方程表示一個(gè)曲面。

拉伊爾在他的《圓錐截線新論》（Nouveauxélémens des sections coniques，1679）里，對(duì)三維坐標(biāo)幾何作了較為特殊的討論。為了表示曲面，他先用三個(gè)坐標(biāo)表示空間中的點(diǎn)P，然后實(shí)際寫出了曲面的方程。盡管如此，三維坐標(biāo)幾何的發(fā)展，是18世紀(jì)里的事。

六、坐標(biāo)幾何的重要性

在費(fèi)馬和笛卡爾走上數(shù)學(xué)舞臺(tái)之前，代數(shù)已有相當(dāng)大的進(jìn)展，鑒于這個(gè)事實(shí)，坐標(biāo)幾何不是一個(gè)巨大的技術(shù)成就。對(duì)費(fèi)馬來說，它是阿波羅尼奧斯工作的代數(shù)翻版。對(duì)笛卡爾來說，它幾乎是一個(gè)偶然的發(fā)現(xiàn)，是他繼續(xù)韋達(dá)和其他人的工作，利用代數(shù)來解決確定的幾何作圖問題時(shí)得到的。然而坐標(biāo)幾何卻改變了數(shù)學(xué)的面貌。

笛卡爾辯論說，曲線是任何具有代數(shù)方程的軌跡。他這話一下子就擴(kuò)大了數(shù)學(xué)的領(lǐng)域。

笛卡爾企圖通過坐標(biāo)幾何來給幾何引進(jìn)新方法，他的成就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過他的期望。在代數(shù)的幫助下，不但能夠迅速證明關(guān)于曲線的任何事實(shí)，而且這個(gè)探索問題的方式幾乎成為自動(dòng)的。這些認(rèn)識(shí)在今天已經(jīng)是平淡無奇的事了。這套研究方法甚至是更為有力的。當(dāng)沃利斯和牛頓開始用字母代表正數(shù)、負(fù)數(shù)甚至以后代表復(fù)數(shù)時(shí)，就有了可能把綜合幾何中必須分別處理的情形，用代數(shù)來統(tǒng)一處理。例如，在綜合幾何中證明三角形的高交于一點(diǎn)時(shí)，必須分別考慮交點(diǎn)是在三角形內(nèi)和三角形外，而用坐標(biāo)幾何來證，則不加區(qū)別。

坐標(biāo)幾何把數(shù)學(xué)造成一個(gè)雙面的工具。幾何概念可用代數(shù)表示，幾何的目標(biāo)可通過代數(shù)達(dá)到。反過來，給代數(shù)語言以幾何的解釋，可以直觀地掌握那些語言的意義，又可以得到啟發(fā)去提出新的結(jié)論。拉格朗日（Joseph-Louis Lagarange）曾把這些優(yōu)點(diǎn)寫進(jìn)他的《數(shù)學(xué)概要》（Le?onsélémentaires sur les mathématiques）中：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄。但是當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善?！钡拇_，17世紀(jì)以來數(shù)學(xué)的巨大發(fā)展，在很大程度上應(yīng)歸功于坐標(biāo)幾何。

法國數(shù)學(xué)家拉格朗日

坐標(biāo)幾何的顯著優(yōu)點(diǎn)，在于它恰好提供了科學(xué)就已迫切需要的，而且在17世紀(jì)一直公開要求著的數(shù)學(xué)設(shè)備，即數(shù)量的工具。研究物理世界，似乎首先需要幾何。物體基本上是幾何的形象，運(yùn)動(dòng)物體的路線是曲線。笛卡爾認(rèn)為全部物理都可以歸結(jié)到幾何。但是科學(xué)應(yīng)用需要數(shù)量知識(shí)。坐標(biāo)幾何能把形象和路線表示為代數(shù)形式，從而導(dǎo)出數(shù)量知識(shí)。

因此代數(shù)變得比幾何更為重要。事實(shí)上，坐標(biāo)幾何為倒換代數(shù)和幾何的作用鋪平了道路。從希臘時(shí)代到1600年，幾何統(tǒng)治著數(shù)學(xué)，代數(shù)居于附庸的地位。1600年以后，代數(shù)成為基本的數(shù)學(xué)部門。在這作用的交替中，微積分將是決定的因素。不過，代數(shù)的升級(jí)加重了我們已經(jīng)指出過的困難，即算術(shù)和代數(shù)沒有邏輯基礎(chǔ)。這個(gè)困難直到19世紀(jì)晚期還沒有解決的辦法。

代數(shù)建立在經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上這一事實(shí)，引起了數(shù)學(xué)名詞的混亂。費(fèi)馬和笛卡爾創(chuàng)立的科目，通常叫做解析幾何。解析一詞用在這里是不恰當(dāng)?shù)?，叫坐?biāo)幾何或代數(shù)幾何較好（代數(shù)幾何現(xiàn)在有另外的意義）。自柏拉圖以后，解析一詞指的是這樣的過程：從所要證明的結(jié)論開始，往回做去，直至達(dá)到一些已知的東西為止?！敖馕觥痹谶@個(gè)意義下與“綜合”相反，后者系指演繹的表述而言。約在1590年，韋達(dá)認(rèn)為algebra（代數(shù)）一字在歐洲語言中沒有意義，摒棄不用，而建議用analysis（解析）字樣。他的建議沒有被采用。但對(duì)韋達(dá)和笛卡爾來說，用“解析”一詞來描寫把代數(shù)應(yīng)用到幾何上還是恰當(dāng)?shù)模驗(yàn)樗麄兪怯么鷶?shù)來分析幾何作圖問題的。因此奧扎南（Jacques Ozanam，1640—1717）在他的《詞典》（Dictionary，1690）中說：“近代人用代數(shù)來進(jìn)行分析?！痹?8世紀(jì)著名的《百科全書》（Encyclopèdie）中，達(dá)朗貝爾（Jean LeRond d'Alembert）把“代數(shù)”和“解析”當(dāng)作同義詞用。“解析”一詞逐漸地變?yōu)閷Ｖ复鷶?shù)方法而言，而新的坐標(biāo)幾何，大約直到18世紀(jì)末，在形式上幾乎一律被描寫成代數(shù)在幾何上的應(yīng)用。但是到了18世紀(jì)末年，“解析幾何”已經(jīng)成為標(biāo)準(zhǔn)的名詞，常常用作書的名字。

法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾

在代數(shù)變成一個(gè)突出的科目時(shí)，數(shù)學(xué)家就認(rèn)為它的作用遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于希臘人所理解的“對(duì)問題作分析”。在18世紀(jì)中，這樣的看法——應(yīng)用到幾何上的代數(shù)，不像笛卡爾說的只是一種工具，而是像費(fèi)馬說的，它本身就是一個(gè)引進(jìn)并研究曲線和曲面的基本方法——通過歐拉、拉格朗日和蒙日的工作而得到勝利。據(jù)此，“解析幾何”一詞含有證明和使用代數(shù)方法的意思，因而我們現(xiàn)在把解析幾何和綜合幾何相提并論，不再認(rèn)為一個(gè)是發(fā)明的手段，而另一個(gè)是證明的方法了。兩者都是演繹的。

與此同時(shí)，微積分和無窮級(jí)數(shù)進(jìn)入了數(shù)學(xué)。牛頓和萊布尼茨都認(rèn)為微積分是代數(shù)的擴(kuò)展；它是“無窮”的代數(shù)，或者是具有無窮多個(gè)項(xiàng)的代數(shù)，例如無窮級(jí)數(shù)。1797年，拉格朗日在他的《解析函數(shù)論》（Theórie des fonctions analytiques）中說，微積分及其以后的發(fā)展只是初等代數(shù)的一個(gè)推廣。因?yàn)榇鷶?shù)和解析是同義詞，所以微積分也叫做解析。歐拉于1748年在一本著名的微積分教科書中，用“無窮小量分析”一詞來描寫微積分。這個(gè)名字直到19世紀(jì)晚期還在使用，當(dāng)時(shí)解析一詞是用來描寫微積分和建筑在微積分上的那些分支的。這樣就給我們遺留下來一個(gè)混亂的情況：“analysis”包括所有建立在極限過程上的數(shù)學(xué)，而“analytic geometry”則與極限過程無關(guān)。

下一講：科學(xué)的數(shù)學(xué)化。