前言

2020年春節(jié)，疫情嚴(yán)峻，無影無形的病毒時(shí)刻威脅著每個(gè)人的健康，此時(shí)此刻，我們看到了真正值得”追“的明星——醫(yī)生，科學(xué)家！他們不在舞臺(tái)上，而是戰(zhàn)斗在醫(yī)院中，戰(zhàn)斗在實(shí)驗(yàn)室中！

宅在家里，讀一本好書，勝過吃十頓大餐。

一直以來，站長(zhǎng)心中有個(gè)疑惑，頂尖的科學(xué)家，現(xiàn)在達(dá)到了什么高度？

這個(gè)問題換一個(gè)說法，世界上最難的題目，有多難？

站長(zhǎng)在《費(fèi)馬大定理——一個(gè)困惑了世間智者358年的謎》中，似乎找到了答案：”這是本世紀(jì)最重要的一次數(shù)學(xué)講座，兩百名數(shù)學(xué)家驚呆了，他們當(dāng)中只有四分之一的人能完全懂得黑板上密密麻麻的希臘字母和代數(shù)式表達(dá)的意思......“

也就是說，除還沒有解決的問題外，題目的難度大約是：200個(gè)數(shù)學(xué)家中只有大約50個(gè)人可以”當(dāng)場(chǎng)看懂“，其余數(shù)學(xué)家需要下來慢慢消化。

費(fèi)馬小定理的證明比較簡(jiǎn)單，一些小學(xué)生的奧數(shù)比賽已經(jīng)涉及，初中生即可看懂全部證明過程。然而，費(fèi)馬大定理非常神奇，他的表達(dá)式簡(jiǎn)單到任何初中生都可以理解，但證明難度如同登天，以至于很多數(shù)論專家根本沒有去嘗試，連這個(gè)想法都沒有。

正文

家喻戶曉的勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，表達(dá)式為

X^2+Y^2=Z^2

XYZ有很多組整數(shù)解，如（X=3，Y=4，Z=5），（X=6，Y=8，Z=10），......

但是，后來人們發(fā)現(xiàn)，如果是

X^3+Y^3=Z^3

則似乎找不到XYZ的整數(shù)解，而后數(shù)學(xué)家費(fèi)馬斷定：

X^n+Y^n=Z^n 當(dāng)n>2時(shí)均沒有整數(shù)解，這就是費(fèi)馬大定理。

費(fèi)馬何許人也？

皮耶·德·費(fèi)馬于1601年出生于法國(guó)，本職工作是法官，并未受過專業(yè)數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)僅是業(yè)余愛好。然而，神奇的是，他是解析幾何的發(fā)明者之一，概率論的主要?jiǎng)?chuàng)始人，對(duì)于微積分誕生的貢獻(xiàn)僅次于牛頓和萊布尼茨，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)之王”。費(fèi)馬也是調(diào)皮的，他自己沒法證明這個(gè)猜想，但卻在這一結(jié)論之后加了一個(gè)備注：“我有一個(gè)對(duì)這個(gè)命題的十分美妙的證明，這里空白太小，寫不下。"

數(shù)論是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的高峰，費(fèi)馬大定理相當(dāng)于珠穆朗瑪峰，358年來吸引了眾多登山者，其中不乏大神，以下是有主要貢獻(xiàn)的人物：

1、費(fèi)馬

費(fèi)馬本人證明了n=4無解

2、歐拉

歐拉是屈指可數(shù)的接近”神“的人，數(shù)學(xué)史上公認(rèn)的4位最偉大的數(shù)學(xué)家分別是：阿基米德、牛頓、歐拉和高斯。這位神1707年出生于瑞士。

第六版瑞士法郎的歐拉肖像

登上雜志電視算啥？就算登上央視的人也數(shù)不勝數(shù)。只有對(duì)歷史有卓越貢獻(xiàn)的人，才有可能登上鈔票。

我們現(xiàn)在的學(xué)生，從初中、高中到大學(xué)，都會(huì)遇到歐拉，f(x)、Σ、i、e等符號(hào)均為其發(fā)明，一生共寫下了886本書籍和論文。一個(gè)人如果能發(fā)現(xiàn)一個(gè)公式，就足以自豪一生，而歐拉的方程，公式有一大籮筐，涉及代數(shù)、數(shù)論、幾何、物理、天文、彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)等。在人生最后17年中雙目失明，但這位神仍然出產(chǎn)了大量著作，可憑心算高數(shù)?？吹竭@發(fā)現(xiàn)自己跪下都高了，只能趴在地上方能體現(xiàn)對(duì)神的敬仰。

歐拉證明了n=3無解

3、熱爾曼

索菲·熱爾曼1776年出生于法國(guó)，她非常熱愛數(shù)學(xué)，自學(xué)了數(shù)論和微積分等知識(shí)。巴黎有一所國(guó)家級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)院，但并不接受女性入學(xué)。她只能冒名為一位已經(jīng)入學(xué)的男生勒布朗去學(xué)習(xí)（當(dāng)然這位男生已經(jīng)離開巴黎了），當(dāng)時(shí)的指導(dǎo)老師是拉格朗日（19世紀(jì)世界上最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家之一）很快發(fā)現(xiàn)，勒布朗先生以前的解題非常糟糕，現(xiàn)在的能力突飛猛進(jìn)，表達(dá)出了很高超的解題技巧，他很奇怪，于是召見了勒布朗，這樣熱爾曼的身份就暴露了。

熱爾曼證明了 X^n+Y^n=Z^n 當(dāng)n為熱爾曼質(zhì)數(shù)時(shí)候，”大概率“無解。（注：當(dāng)一個(gè)質(zhì)數(shù)為n，且2n+1也為質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)就是熱爾曼質(zhì)數(shù)）

4、狄利克雷和勒讓德

這兩位數(shù)學(xué)家在熱爾曼的基礎(chǔ)上，獨(dú)立證明了n=5無解。

5、拉梅

1840年，法國(guó)人數(shù)學(xué)家G·拉梅改進(jìn)了熱爾曼的方法，證明了n=7無解。

6、庫默爾

1847年，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉梅和柯西都宣布即將給出完整的費(fèi)馬大定理證明，可是德國(guó)數(shù)論家?guī)炷瑺栔赋隽硕叩淖C明走不通。并證明當(dāng)n＜100時(shí)除37、59、67三數(shù)外費(fèi)馬大定理均成立

德國(guó)數(shù)學(xué)家-庫默爾

7、沃爾夫斯凱爾

1908年，德國(guó)實(shí)業(yè)家、數(shù)學(xué)愛好者沃爾夫斯凱爾因?yàn)槭贈(zèng)Q定自殺，他擬好了遺囑，并打算在午夜鐘聲響起時(shí)開槍射擊自己的頭部。死前幾小時(shí)，他覺得無聊就到圖書館坐坐，看到一篇庫默爾解釋為何柯西和拉梅證明費(fèi)馬大定理的方法行不通的文章，他突然發(fā)現(xiàn)這篇論文中的有一個(gè)邏輯上的缺陷，沃爾夫斯凱爾花了幾個(gè)小時(shí)修補(bǔ)。當(dāng)證明完成時(shí)離自殺時(shí)間已經(jīng)過去好幾小時(shí)。于是他重新定了遺囑。在他死后，家人們發(fā)現(xiàn)他大部分遺產(chǎn)（當(dāng)時(shí)的10萬馬克，現(xiàn)在價(jià)值超100萬英鎊）都被設(shè)立為一個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，獎(jiǎng)給第一個(gè)證明費(fèi)馬大定理的人，時(shí)間截止到2007年9月13日。

8、哥德爾和科恩

1931年，哥德爾證明了不完備定理。該定理指出少數(shù)問題是永遠(yuǎn)無法被證偽或者證實(shí)。這樣的問題被哥德爾稱為"不可判定"的問題。不過暫時(shí)人們還沒有發(fā)現(xiàn)這類詭異的問題。到了1963年，美國(guó)數(shù)學(xué)家科恩則首先證明了"連續(xù)統(tǒng)假設(shè)"的不可判定性，這給費(fèi)馬大定理的證明蒙上了陰影，或許它本身就不可判定，數(shù)學(xué)家花時(shí)間去證明只能是浪費(fèi)生命！

9、圖靈

計(jì)算機(jī)發(fā)明者，人工智能之父，計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，為證明費(fèi)馬大定理提供了工具。很快，數(shù)學(xué)家就驗(yàn)證了n<1000均無解，1976年，德國(guó)數(shù)學(xué)家瓦格斯塔夫證明n＜125000無解，1985年美國(guó)數(shù)學(xué)家羅瑟證明n＜41000000無解。然而，這樣就算到100億、1萬億也不行啊，很可能1萬億零1就是解。

正如： X^4+Y^4+Z^4=W^4

歐拉宣稱此等式無整數(shù)解，結(jié)果200多年后，在1988年，哈佛大學(xué)的艾爾斯基就發(fā)現(xiàn)了整數(shù)解：

2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4

在天文數(shù)字面前，連歐拉這樣的神仙都要犯錯(cuò)。沒有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明，它只能算猜想，不能作為定理。

10、谷山豐和志村五郎

日本數(shù)學(xué)家谷山豐在1995年提出：橢圓方程的E-序列對(duì)應(yīng)于一個(gè)特定的模形式的M-序列并完全相等，谷山豐在1958年自殺身亡，年僅31歲。幾星期之后，他的未婚妻鈴木美佐子悲憤殉情。谷山豐的自殺原因讓人匪夷所思，遺書表明，他沒有明確的自殺原因，只是感到疲勞，好像對(duì)未來失去了信心.....總之能提出這類猜想的人都是天才，他們的深邃思想，是我等普通人難以理解的。 后來志村五郎繼續(xù)研究，提出“每一條橢圓曲線，都可以對(duì)應(yīng)一個(gè)模形式”，稱為“谷山-志村猜想”。

注：模形式是在復(fù)平面上的某種周期函數(shù)

11、弗賴

1984年，德國(guó)數(shù)論家格哈德·弗賴提出，如果有人能證明谷山-志村猜想，那么就相當(dāng)于證明了費(fèi)馬大定理，但他給出的二者關(guān)系的證明有一個(gè)錯(cuò)誤。

12、里貝特

加利福尼亞大學(xué)肯·里貝特教授完成了”搭橋“，證明了"谷山-志村猜想"和費(fèi)馬大定理的邏輯關(guān)系：如果谷山-志村猜想對(duì)每一個(gè)半穩(wěn)定橢圓曲線都成立，那么就等于費(fèi)馬大定理成立。但是，要證明谷山-志村猜想難度有多高？連里貝特自己都說：“谷山-志村猜想是完全無法接近的，我就是其中一個(gè)，我沒有費(fèi)神去證明它，甚至沒有想過要去試一下”

13、懷爾斯

安德魯·懷爾斯1953年出生于英國(guó)，在10歲時(shí)就被費(fèi)馬大定理吸引住了，從此立下志向，要解決這道世界難題，選擇了數(shù)學(xué)作為終身職業(yè)。1975年，在劍橋大學(xué)研究，導(dǎo)師科茨教授，專攻橢圓曲線和巖澤理論，取得博士學(xué)位后，來到普林斯頓大學(xué)任教授。

科茨教授對(duì)證明谷山-志村猜想持悲觀態(tài)度：“.....要真正證明它似乎是不可能的，我必須承認(rèn)，在我有生之年大概是不可能看到它被證明的”

由此看出，谷山-志村猜想真如黑洞一般深不可測(cè)。很多數(shù)論家、橢圓方程的專家都沒有想過要去嘗試，原因是題目太難，基本上等于浪費(fèi)時(shí)間。懷爾斯也承認(rèn)自己機(jī)會(huì)不大，他估計(jì)大概需要10年努力，結(jié)果有兩個(gè)：大概率是虛度光陰，不會(huì)有任何成果，小概率是能實(shí)現(xiàn)兒時(shí)的夢(mèng)想，他選擇了后者。

從1986年夏末開始獨(dú)自秘密研究，經(jīng)過一年的思考，決定采用歸納法作為證明基礎(chǔ)。又經(jīng)過兩年，決定采用伽羅瓦群論來處理橢圓曲線的分類問題。

法國(guó)數(shù)學(xué)家-伽羅瓦

伽羅瓦是個(gè)神奇的人，1811年生于法國(guó)，創(chuàng)立的群論是當(dāng)代代數(shù)與數(shù)論的基本支柱之一。伽羅瓦與一位醫(yī)生的女兒熱戀，而這位小姐已經(jīng)訂婚，其未婚夫非常憤怒，要與其決斗。伽羅瓦知道對(duì)方是著名槍手，自知必死，于是在決斗前夜將他的所有數(shù)學(xué)成果疾書下來。1832年5月30日，二人帶著手槍來到一塊田野上，相距25步互相射擊，伽羅瓦腹部中彈倒地，第二天死于腹膜炎，年僅21歲。如果伽羅瓦活到70歲，極有可能成為歐拉一樣的數(shù)學(xué)天神。

1990年，懷爾斯發(fā)現(xiàn)仍然無法證明如果橢圓方程的一項(xiàng)是模形式，那么下一項(xiàng)也如此。他嘗試使用“巖澤理論”去解決問題也宣告失敗。1991年秋天，懷爾斯采用“科利瓦金-弗萊切”方法初步獲得成功，這一切都是在秘密進(jìn)行中。

由于計(jì)算量太大，懷爾斯找到同在普金斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系的凱茲教授，希望能獲得其幫助。

1993年6月，懷爾斯完成了證明并做了演講，震驚了世界，然而，這還不算成功。

整個(gè)證明手稿有200頁，分為6章，設(shè)計(jì)復(fù)雜的邏輯推理和大量計(jì)算，6位審稿人每人負(fù)責(zé)一章。很快，在第三章發(fā)現(xiàn)一個(gè)重大缺陷，數(shù)學(xué)證明猶如一個(gè)龐大的工程，只要有一步有問題，整個(gè)理論大廈都將倒塌。由于遲遲無法修補(bǔ)整個(gè)缺陷，一時(shí)間謠言四起。懷爾斯找到審稿人之一的泰勒，這位是“科利瓦金-弗萊切”方法的專家，希望能與之一起來彌補(bǔ)整個(gè)缺陷。經(jīng)過努力，也找不到辦法。懷爾斯打算承認(rèn)證明失敗。

1994年9月19日，懷爾斯打算在宣布證明失敗前再看一次手稿。突來靈感，單靠巖澤理論不行，單靠“科利瓦金-弗萊切”方法也不行，二者結(jié)合才能完美補(bǔ)足。由此，谷山-志村猜想終獲證明，全文為130頁，1995年5月發(fā)表在《數(shù)學(xué)年刊》上。

懷爾斯實(shí)現(xiàn)了自己童年夢(mèng)想，也為人類科學(xué)做出了巨大貢獻(xiàn)。

可以說，雖然懷爾斯是獨(dú)自一個(gè)人秘密研究，但他成功實(shí)際來至于集體智慧，如果沒有谷山豐、志村五郎、弗賴、里貝特、伽羅瓦、泰勒.....等很多人的成果，他不可能取得成功。人類文明的發(fā)展是由無數(shù)的科學(xué)家嘔心瀝血、前赴后繼來推動(dòng)的。我們今天手機(jī)、電腦能完成復(fù)雜的任務(wù)，其實(shí)質(zhì)都是數(shù)學(xué)運(yùn)算。

結(jié)束語

費(fèi)馬大約在1637年左右提出猜想，一直到1995年才獲得證明，歷時(shí)358年。

358年，即使一個(gè)人能活到90歲，也需要四代人的光陰。

358年，眾多的數(shù)學(xué)家前赴后繼的努力，才讓懷爾斯集大成為一身，在學(xué)習(xí)了少林、武當(dāng)、峨眉、華山、昆侖、逍遙......等各派武功之后，終于達(dá)到至高境界，登上了數(shù)學(xué)界的珠穆朗瑪峰。

費(fèi)馬大定理的證明過程，完全不亞于任何武俠小說，有人”女扮男裝“、有人”失戀自殺“、有人”為愛決斗“......情節(jié)跌宕起伏，讓人時(shí)而激憤填膺、時(shí)而拍案叫好，時(shí)而扼腕嘆息，時(shí)而如沐春風(fēng)。

站長(zhǎng)讀書，通常是先快讀一次，有些爛書毫無意義，浪費(fèi)時(shí)間，而好書才值得花時(shí)間細(xì)讀。

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