題記：

研討會上，老師們熱烈討論的一道題目，題目不難，看似普通，卻妙處無窮?，F(xiàn)將各位老師提及的方法及自己的思考總結(jié)如下，以饗讀者。

先用一句話概括此題：此題只應(yīng)天上有，人間能有幾回聞！

如圖，正方形ABCD的邊長是6，其中，CE=2，CF⊥BE，求OF的長

已知這些結(jié)論又該如何求解OF的長，那么現(xiàn)在就讓我們從不同視角去尋找解法。

四邊形BOFC存在兩個(gè)直角，可以想想是否四點(diǎn)共圓。如圖，將四個(gè)點(diǎn)放到圓內(nèi)，這樣就變成了圓相關(guān)問題了，利用圓相關(guān)定理就能解決OF的長。

利用圓周角定理和垂徑定理可以知道∠OBF=∠HGF,易知OG=FG=1/2BC，那么在Rt△HGF中，只要知道∠HGF的三角函數(shù)值，再列方程即可求解。

求解∠OBF的三角函數(shù)值有很多方法：

方法1：利用8字型BOHCF存在相似可以求解

方法2：利用12345模型可以秒出

四點(diǎn)共圓還可以幫助解決旋轉(zhuǎn)方法里所涉及的導(dǎo)角。

從圖中容易得到△BOG∽△CFG, △BGC∽△OGF, 其中CF和OB的長度都是容易得到的，也就是相似比容易得到，這樣OF的長度就可輕松求解。

此題用相似來解，關(guān)鍵就是導(dǎo)角導(dǎo)邊，既然導(dǎo)角導(dǎo)邊，那可不可以用強(qiáng)大的導(dǎo)角導(dǎo)邊工具-三角函數(shù)來解決呢？如圖作輔助線

利用等腰直角三角形DIE，直角三角形BIE，直角三角形BHO，直角三角形OHG多次導(dǎo)角導(dǎo)比，即可求解。

在這里，有老師提到要有一種大平面觀的意識：整個(gè)平面內(nèi)，只要角等就可以比等，比確定后，只要確定一邊，就可確定另一邊，這樣不僅邊與邊緊密相關(guān)，而且邊與角也緊密相關(guān)，從而整個(gè)平面就融為一體。

得到DG為中垂線，然后利用△OGC的面積等于△OGD的面積（等積轉(zhuǎn)換），而△OGD的面積可以用OJ*GD除以2表示（等面積法）即可算出OJ，進(jìn)而OF即可求。

這里的解法涉及到了面積，其實(shí)除了這樣還有一種鬼斧神工的面積法，王老師說一眼看出OG=CF，為什么呢？

因?yàn)椤鰾EC面積=△ODE面積=△BOE面積，這是由等高等底定理得到。

這樣推出OG=CF，后面利用導(dǎo)角即可求解。

不得不說，有人就是有火眼金睛，天生直覺能力強(qiáng)。

此類題目，當(dāng)然可以采取簡單直接的坐標(biāo)方法解決

如圖，利用垂直直線的比例系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系，可以求出CF解析式，然后聯(lián)立CF和BE解析式可以求出點(diǎn)F坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)距離公式可以求解出OF長度。

當(dāng)然其實(shí)在算CF解析式也可以避免使用比例系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)關(guān)系，如圖：

利用十字架模型，可以比較快速地得到CF解析式。

這種建系法在解決中考幾何填空題往往能起到絕境逢生的作用，不需要太多的幾何構(gòu)造思維，不過解決的題型比較有限，另外部分知識可能已經(jīng)超綱，而且大量計(jì)算也是此法的一個(gè)弱點(diǎn)。

至此，此題解法對于一般初中生可以接受的思路方法就結(jié)束了。但是解題還沒有結(jié)束，如果我們站在更高角度，能不能總結(jié)出此題所涉及的更高階的通性通法？

在△OFC中，易知OC和CF，其中∠COF的余弦值可以利用12345模型得到，假設(shè)OF=a，OC=b，CF=c，∠COF=α，則利用:

由相似可以證圓內(nèi)接四邊形對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和。

也就是OF*BC+OB*FC=OC*BF

此題所用公式是如此簡潔漂亮，令人震驚！

成文曰：

學(xué)好初中數(shù)學(xué)，

要學(xué)會發(fā)散思維！