用兩面夾定理可證sinx/x=π/180（x趨向0，x為角度值）.

證明：設圓的半徑為r，圓心角角度值為x，則（圓心角所對應的弦三角形面積）小于（圓心角所對應扇形面積）小于（圓心角所對應的外切三角形面積），即（1/2*r^2*sinx）小于（πr^2*x/360）小于（1/2*r*2r*tg（x/2）），由此可得，（sinx）/x小于或等于π/180（x趨向0），sin（x/2）/（x/2）大于或等于π/180*cos（x/2）（x趨向0），即（sinx）/x大于或等于π/180（x趨向0），由兩面夾定理得：sinx/x=π/180（x為角度值，x趨向0）……①，sinx/（x*π/180）=1（x為角度，x趨向0）……②.

假設x為弧度值，角度值=x*180/π，則由①可得：sin（x*180/π）/（x*180/π）=π/180（x為弧度值，x趨向0），所以sin（x*180/π）/x=1（x為弧度值，x趨向0）……③.

①、②、③公式表明，無論x為角度值，還是弧度值，都不存在sinx/x=1（x趨向0）.假設x軸為角度數(shù)軸，（sinx）’=π/180*cosx，（cosx）’=-π/180*sinx，假設x軸為弧度數(shù)軸，（sin（x*180/π））’=cos（x*180/π），（cos（x*180/π））’=-sin（x*180/π），但不存在（sinx）’=cosx（x為弧度值），也不存在（cosx）’=-sinx（x為弧度值），例如y=sin（5x*180/π）（x為弧度值）的導數(shù)，y’=5cos（5x*180/π）（x為弧度值），由此可見，用弧度數(shù)軸求三角函數(shù)的極限、導數(shù)、積分將產(chǎn)生新領域、新分支。以上π是圓周率，是純數(shù)值。

特別指出：引入弧度，弧度=弧長/半徑，是直接為了解決圓的問題，引入三角函數(shù)，三角函數(shù)是直角三角形的邊長比，是直接為了解決直角三角形的問題，直角三角形的邊長不存在弧長，其角度不適用弧度，因此三角函數(shù)不適用弧度。雖然弧度和角度通過圓心角得到聯(lián)系，存在關系：弧度值=角度值*圓周率/180，但是三角函數(shù)也不能直接使用弧度，只有弧度先轉(zhuǎn)化成角度，三角函數(shù)才能使用，即三角函數(shù)不能直接使用弧度。