【將軍過橋】

已知將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？

考慮MN長度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時A點落在A’位置．

問題化為求A’N+NB最小值，顯然，當(dāng)共線時，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置．

【將軍過兩個橋】

已知將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過兩條河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？

考慮PQ、MN均為定值，所以路程最短等價于AP+QM+NB最小，對于這彼此分離的三段，可以通過平移使其連接到一起．

AP平移至A’Q，NB平移至MB’，化AP+QM+NB為A’Q+QM+MB’．

當(dāng)A’、Q、M、B’共線時，A’Q+QM+MB’取到最小值，再依次確定P、N位置．

【將軍遛馬】

如圖，將軍在A點處，現(xiàn)在將軍要帶馬去河邊喝水，并沿著河岸走一段路，再返回軍營，問怎么走路程最短？

【問題簡化】已知A、B兩點，MN長度為定值，求確定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？

【分析】考慮MN為定值，故只要AM+BN值最小即可．將AM平移使M、N重合，AM=A’N，將AM+BN轉(zhuǎn)化為A’N+NB．

構(gòu)造點A關(guān)于MN的對稱點A’’，連接A’’B，可依次確定N、M位置，可得路線．

【例題】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點B在原點，點A、C在坐標(biāo)軸上，點D的坐標(biāo)為（6，4），E為CD的中點，點P、Q為BC邊上兩個動點，且PQ=2，要使四邊形APQE的周長最小，則點P的坐示應(yīng)為______________．

【分析】考慮PQ、AE為定值，故只要AP+QE最小即可，如圖，將AP平移至A’Q，考慮A’Q+QE最小值．

【練習(xí)】如圖，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，AC為對角線，E、F分別為邊AB、CD上的動點，且EF⊥AC于點M，連接AF、CE，求AF+CE的最小值．

【分析】此題難點在于要得到AF與CE之間的關(guān)系，方能將這兩條線段聯(lián)系到一起．過點E作EH⊥CD交CD于H點，由相似可得：FH=1．

連接BH，則BH=CE

問題轉(zhuǎn)化為BH+AF最小值．

參考將軍遛馬的作法，作出圖形，得出AF+BH=A’H+B’H=A’B’=5．