， 雷盛運

“哲學(xué)不應(yīng)當(dāng)從自身開始。而應(yīng)當(dāng)從它的反面，從非哲學(xué)開始”①。自然科學(xué)是哲學(xué)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、天文學(xué)等等，蘊含著極其豐富哲學(xué)思想。微積分是研究變數(shù)的科學(xué)。從本質(zhì)上看是辯證法在數(shù)學(xué)上的運用。因此，微積分中的哲學(xué)思想比起初等數(shù)學(xué)更豐富、更明顯。如果將其全部抽象出來，可以構(gòu)成一部完整的自然哲學(xué)。本文試從微積分與現(xiàn)實世界的關(guān)系及其辯證內(nèi)容略作粗淺探討。 關(guān)于微積分的本原問題微積分的本原問題是指它同現(xiàn)實世界的關(guān)系問題，即它是產(chǎn)生于存在還是產(chǎn)生于純思微積分的本原問題是指它同現(xiàn)實世界的關(guān)系問題，即它是產(chǎn)生于存在還是產(chǎn)生于純思維的問題。唯物主義與唯心主義有著根本不同的看法。唯心主義認(rèn)為純數(shù)學(xué)產(chǎn)生于純思維。它可以先驗地，不需利用外部世界給我們提供的經(jīng)驗，而從頭腦中創(chuàng)造出來。杜林、康德、貝克萊等唯心主義者就是這種觀點的代表②。牛頓、萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者。他們分別在研究質(zhì)點運動和曲線的性質(zhì)中，不自覺地把客觀世界中的運動問題引進了數(shù)學(xué)。各自獨立地創(chuàng)立了微積分。這個功勞是應(yīng)該肯定的。但是，他們沒有很好注意到微積分同現(xiàn)實世界的親緣關(guān)系。其運算出發(fā)點是先驗的。所以，馬克思把牛、萊的微積分稱為“神秘的微分學(xué)”③。唯物主義認(rèn)為，微積分同所有的科學(xué)一樣，它起源經(jīng)驗，然后又脫離外部世界，具有高度抽象性和相對獨立性的一門嶄新的科學(xué)。恩格斯指出：“數(shù)學(xué)是從人的需要中產(chǎn)生的”④微積分是從生產(chǎn)斗爭和科學(xué)實驗的需要中產(chǎn)生的。生產(chǎn)實踐對微積分的創(chuàng)立起著決定的作用。從十五世紀(jì)開始，資本主義在西歐封建社會內(nèi)部逐漸形成。到十七世紀(jì)，資本主義生產(chǎn)方式有了巨大發(fā)展。隨著生產(chǎn)發(fā)展，自然科學(xué)技術(shù)也雨后春筍般地發(fā)展起來了。它們跑出來向數(shù)學(xué)敲門，提出了大量研究新課題。微積分的創(chuàng)立就是為了處理十六、十七世紀(jì)在生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗中所遇到的一系列新問題。這些問題歸納起來大致分為四類：一是已知物體運動的路程與時間的函數(shù)關(guān)系，求速度和加速度；反過來，已知物體運動的速度和加速度與時間的函數(shù)關(guān)系，求路程。二是求曲線的切線。三是求函數(shù)的極大值、極小值。四是求曲線的弧長，求曲線所圍成的面積，曲面所圍成的體積等求積問題。上述四類問題，形式各不相同，但有著共同的本質(zhì)，即都是反映客觀事物的矛盾運動過程。其中的量都在不斷變化著。因此，研究常量的初等數(shù)學(xué)無法解決這些問題。生產(chǎn)和科研的需要，促使數(shù)學(xué)由研究常量向研究變量轉(zhuǎn)化。于是微積分在傳統(tǒng)代數(shù)學(xué)的長期孕育中，經(jīng)《解釋幾何》這個“助產(chǎn)婆”的接生“而分娩了”。所以，恩格斯說：“數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學(xué)。有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學(xué)。有了變數(shù)，微分學(xué)和積分學(xué)也就立刻成了必要的了”⑤微積分不僅是適應(yīng)生產(chǎn)和科學(xué)發(fā)展需要的產(chǎn)物。而且，它的概念、運算法則、定理、推論等在客觀世界中都各有其現(xiàn)實的原型。微分與積分的現(xiàn)象在自然界中普遍存在。自然界的蒸發(fā)與凝結(jié)過程，就是微分與積分及其相互轉(zhuǎn)化的辯證過程恩格斯是這樣描述自然界中的微分與積分現(xiàn)象及其矛盾的相互轉(zhuǎn)化：“如果一杯水的最上面一層分子蒸發(fā)了，那么水層的高度x就減少了dx。這樣一層分子又一層分子繼續(xù)蒸發(fā)，事實上就是一個連續(xù)不斷的微分。如果熱的水蒸汽在一個容器中由于壓力和冷卻又凝結(jié)成水，而且分子一層又一層地積累起來……，直到容器滿了為止。那么這里就真正進行了一種積分。這種積分和數(shù)學(xué)的積分不同地方只在于：一種是由人的頭腦有意識地完成的。另一種是由自然界無意識地完成的?！雹薏粌H如此。自然界中的微分、積分過程還表現(xiàn)在機械運動與熱運動的相互轉(zhuǎn)化；分子的分解與化合；物質(zhì)的構(gòu)造等多個方面。當(dāng)機械運動轉(zhuǎn)化為熱，即轉(zhuǎn)變?yōu)榉肿舆\動的時候，宏觀的機械運動被微分了。反過來，當(dāng)水蒸汽的分子在蒸汽機的汽缸中積累起來，把活塞舉高一定的距離，這時熱運動又變成了宏觀的機械運動，它是一個積分的過程。在化學(xué)反應(yīng)中表示物體分子組合的一切化學(xué)方程式，就形式來說是微分方程式。這些方程式實際上是表示這些分子的原子量而積分起來了。以上說的是一次微分的情況。高次微分是否也有其現(xiàn)實原型呢？結(jié)論是肯定的。我們以上說的是一次微分的情況。高次微分是否也有其現(xiàn)實原型呢？結(jié)論是肯定的。我們從微商的力學(xué)意義中知道：瞬時速度U（t）是路程函數(shù)S（t）的一階微商，即U（t）=S＇（t）;加速度a（t）又是速度函數(shù)U(t)的微商，也是路程函數(shù)S(t)微商的微商，稱之為二次微商，即a(t)=S'(t)。根據(jù)自然辯證法和現(xiàn)代物理學(xué)的觀點。自然界是由無數(shù)個層次組成的系統(tǒng)。按其質(zhì)量的相對的大小可作如下排列：……總星系——恒星系——太陽系——地球上的物體——分子和原子——基本粒子……如果我們把前一個層次當(dāng)作一個原函數(shù)看待，那么后一個層次便是微分所得到的“導(dǎo)數(shù)”或稱“微商”。這樣連續(xù)地微分下去，可以得到一次微分dx；二次微分dx2；三次微分dx3……直到n次微分dxｎ。由此看出高次微分處處有自己的原型。它與物質(zhì)世界的各個層次建立了一一對應(yīng)關(guān)系。物質(zhì)是無限可分的。微分過程也是無限的。物質(zhì)不滅，微分不止。這就是微積分同物質(zhì)世界的對應(yīng)關(guān)系。微分或積分的過程正是反映了物質(zhì)的不同層次之間物質(zhì)形態(tài)的相互轉(zhuǎn)化和運動形態(tài)的相互轉(zhuǎn)化。我們肯定微積分的客觀基礎(chǔ)，并不否認(rèn)純思維對純數(shù)學(xué)的能動作用。微積分來源于客觀世界。但這種反映不是消極被動的。人的意識具有主觀能動性和相對獨立性。微積分作為一種科學(xué)理論，它屬于意識范疇，同其他科學(xué)一樣，當(dāng)它從客觀世界中抽象出來后，就和現(xiàn)實世界相脫離，作為某種獨立的東西，而與現(xiàn)實世界相對立，并在自己的領(lǐng)域中開始獨立的矛盾運動。它通常可以不受來自外部的明顯影響，而憑借經(jīng)驗的摸索，借助邏輯的方法，巧妙地開發(fā)出數(shù)學(xué)“王國”中豐富的寶藏。微分三角形就是思維能動性的自由創(chuàng)造。，是一種幻想的量。所以列寧說：“在數(shù)學(xué)上也是需要幻想的，甚至沒有它就不可能發(fā)明微積分”⑦。唯心主義者抓住這一點大做文章，鼓吹微積分是數(shù)學(xué)家的“天才”頭腦的產(chǎn)物。他們不懂得思維與存在的辯證關(guān)系，不懂得思維的獨立性依然要以現(xiàn)實客觀為基礎(chǔ)。科學(xué)的幻想不是胡思亂想，需要憑借經(jīng)驗的摸索。前面談到的微分三角形，它是在處理差分三角形經(jīng)驗的啟示下，通過思維的加工制作，才創(chuàng)造出一種處于純粹狀態(tài)的微分三角形。所以，微積分的高度抽象，不但沒有掩蓋它起源于現(xiàn)實的本質(zhì)，反而更深刻地反映著現(xiàn)實。它使人們逐步揭示了事物量的關(guān)系的本質(zhì)聯(lián)系。反映各種不同類型的具體對象中量的共同規(guī)律，從而使微積分廣泛地運用到各種不同的具體對象中去。比如： F(x)-F(x0)F′(x)== lim ------------- x→x0 x-x0這一抽象的形式可以刻劃物體運動瞬時速度，也可以刻劃切線的斜率、物質(zhì)的比熱、這一抽象的形式可以刻劃物體運動瞬時速度，也可以刻劃切線的斜率、物質(zhì)的比熱、電流的強度。又如雙曲線偏微分方程，在彈性力學(xué)中描寫震動，在流體力學(xué)中描寫流體動態(tài)，在聲學(xué)中表現(xiàn)為聲壓方程，在電學(xué)中表現(xiàn)為電報方程。雙曲線偏微方程，反映著這些不同對象在數(shù)量上的共同屬性。正如列寧說的：“自然界的統(tǒng)一性顯示在關(guān)于各種現(xiàn)象領(lǐng)域的微分方程式的‘驚人的類似'中?！雹嘁虼?，微積分的高度抽象性不是離現(xiàn)實世界愈來愈遠，而是對現(xiàn)實世界認(rèn)識愈深，揭示了多樣性物質(zhì)世界的統(tǒng)一性。 微積分的辯證內(nèi)容恩格斯說：“變數(shù)的數(shù)學(xué)——其中最重要的部分是微積分——本質(zhì)上不外是辯證法在數(shù)學(xué)方面的運用?！雹徇@段話深刻地揭示了微積分的本質(zhì)。是對微積分的哲學(xué)思想的高度概括。我們周圍的物質(zhì)世界是由無數(shù)相互聯(lián)系、相互依存、相互制約、相互作用的事物構(gòu)成的統(tǒng)一整體。它充滿著矛盾和斗爭。數(shù)學(xué)是研究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。因此，客觀世界中的質(zhì)量互變規(guī)律、對立統(tǒng)一規(guī)律和否定之否定規(guī)律等辯證內(nèi)容必然在數(shù)學(xué)中反映出來。微積分是研究變量的數(shù)學(xué)，處處充滿著矛盾，其辯證法內(nèi)容更加豐富。下面從微積分與代數(shù)學(xué)，微積分的概念、運算中的矛盾運動等方面剖析微積分中的辯證法思想。一、代數(shù)運算轉(zhuǎn)化為微分運算——量變到質(zhì)變的飛躍微積分是從代數(shù)和幾何的領(lǐng)域中發(fā)展起來的。代數(shù)方法向微分方法轉(zhuǎn)化，代數(shù)運算的結(jié)果轉(zhuǎn)化為微分運算的出發(fā)點，是數(shù)學(xué)發(fā)展中的一條極重要的規(guī)律。促進這種轉(zhuǎn)化的動因是數(shù)學(xué)本身內(nèi)部的矛盾運動，即客觀事物內(nèi)部矛盾運動在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的抽象。這一規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和總結(jié)，首先應(yīng)歸功于馬克思。是他第一次把代數(shù)運算與微分運算聯(lián)系起來了，闡明了微分是怎樣起源于代數(shù)，而后又怎樣開始自己獨立的矛盾運動。他指出了從代數(shù)運算轉(zhuǎn)變?yōu)槲⒎诌\算是一個否定之否定過程。是量變到質(zhì)變的飛躍。為了說明這一點，不妨先回顧一下微積分學(xué)發(fā)展的歷史。將牛頓、萊布尼茨創(chuàng)立的微積分同馬克思的《數(shù)學(xué)手稿》中的有關(guān)論述進行比較，看看馬克思是怎樣運用辯證法來說明微積分與代數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系的。微分學(xué)的發(fā)展歷史，從牛頓、萊布尼茨開始，大體經(jīng)歷了五個階段，即神秘的微分學(xué)；理性的微分學(xué)；柯西的極限理論；魯濱遜等人的非標(biāo)準(zhǔn)分析。牛、萊等一批數(shù)學(xué)家在實踐中不自覺地把辯證法運用于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，突破了代數(shù)的框框，進入了微分的領(lǐng)地?？墒撬麄兊乃枷敕椒▍s依然停留在形而上學(xué)階段，沒有把微分看成是事物矛盾運動的產(chǎn)物。因此，他們在運算過程中遇到了無法克服的矛盾。最后被“野蠻”的“暴力鎮(zhèn)壓”⑩請看：牛頓的方法：設(shè)y=x2記無限小時間之間隔X的增量為X′（X的微分），隨之ｙ的增量為y′（ｙ的微分）.則有：ｙ﹢y′﹦（x+x′）2 ﹦x2＋2xx′＋x′兩邊減去函數(shù)y﹦x2。便有：y′﹦2xx′＋x′2抹去（注意！牛頓在使用暴力）等式右邊最后一項x′2得：y′﹦2xx′由此得出兩增量之比為：y′/x′=2x 萊布尼茨的方法是：設(shè)y=x2記x的增量dx；y的增量為dy，則有：y＋dy﹦（x＋dx）2﹦x2＋2xdx＋dx2兩邊減去原函數(shù)y﹦x2，便有：dy﹦2xdx＋dx2由此得出：dy/dx﹦2x比較牛、萊的方法，我們發(fā)現(xiàn)只是符號不同，本質(zhì)是一樣的。他倆一開始就把x看成比較牛、萊的方法，我們發(fā)現(xiàn)只是符號不同，本質(zhì)是一樣的。他倆一開始就把x看成是增長著的量。這是正確的。事實上已經(jīng)把運動的觀點引進了數(shù)學(xué)之中。然而由于十七世紀(jì)機械唯物主義的傳統(tǒng)思想禁錮著他們的頭腦，他們沒有把x的微分與y的微分看成為x與y自身矛盾運動的產(chǎn)物，而是認(rèn)為一開始就存在著的，是“一下子造成的東西”，是從微分過程外部引進來的。引進后，在整個微分過程中又始終是一種“僵化的東西”、“不變的東西”。至于微分經(jīng)歷怎樣的矛盾運動而產(chǎn)生，在牛、萊的方法中看不到了。他們開始把dx′當(dāng)作無窮小量。這是正確的。但是他們在展開二項式（x＋dx′）2過程中無法去掉dx2這個“尾巴”。 “尾巴”的存在使dy（y′）與dx（x′）之比得不到一個確定的值，這使牛、萊惱火。于是他們對dx2（x2′）實行了“暴力鎮(zhèn)壓”，半路上把（dx2）（x2′） “打扮”成“0”，揮刀把它砍去。牛、萊在這里失足了。這種“暴力鎮(zhèn)壓”使他們陷入悖謬之中。開始把x′（dx）當(dāng)作無窮小量，后來又把它看成“0”。這種自相矛盾的作法顯然是違背邏輯的，而且也違背事實。因為，既然承認(rèn)x′（dx）是一個無窮小量，那么無論它多么地小，畢竟是一個現(xiàn)實的量，不能當(dāng)作“0”來處理，（x2′）（dx2）應(yīng)與2xx′（2xdx）一樣有存在的權(quán)利。牛、萊將它隨意抹去的作法是錯誤的。如果按照“（dx2）﹦0”的方法行事，那么全部運算變成“0﹦0”，一切消失了，什么也得不到。然而，盡管牛、萊運算的方法是錯誤的，但結(jié)果卻是正確的。錯誤的運算得出了正確結(jié)果，本身就是一個矛盾。它揭示了在一定條件下荒謬也可以轉(zhuǎn)化為正確。牛、萊從錯誤的運算方法出發(fā)，通過“變魔術(shù)”的方法，求出了函數(shù)y﹦x2的微商即y′﹦（x2）′﹦2x，實現(xiàn)荒廖向正確轉(zhuǎn)化。馬克思科學(xué)地分析了微分學(xué)從牛頓、萊布尼茨到拉格朗日的歷史發(fā)展過程，指出牛、萊“這個在數(shù)學(xué)上正確的結(jié)果，是基于在數(shù)學(xué)根本錯誤的假設(shè)”。11他肯定了牛、萊計算的正確結(jié)果，批判了他們的形而上學(xué)方法，，揭露了微分過程的辯證法，澄清了在此以前微分學(xué)理論思維的矛盾和混亂。他在《數(shù)學(xué)手稿》中，精辟地闡述了微分中的自變量x和因變量y的產(chǎn)生與消失、前進的變化與后退的變化這一矛盾的運動規(guī)律，指出微分過程是否定之否定，量變到質(zhì)變，個別轉(zhuǎn)化為一般的過程。仍以y﹦x2為例，看看馬克思是如何科學(xué)闡明從代數(shù)到微分運算的矛盾運動過程。設(shè)y﹦x2首先取差：令自變量x連續(xù)變化到x1,得到有限差△x﹦△x1-△x。因變量y隨之變化到達y1，則有:△y=y1-y=x12-x2=(x1+x)(x1-x)其次求預(yù)備導(dǎo)數(shù)（即有限差之比）：△y y1-y (x1+x)(x1-x)---﹦------﹦---------------- ﹦x1+x△x x1-x x1-x 最后取極限：令x1再變回到x，隨之y1也變回到y(tǒng)。則有：△x=x-x=0; △y=y-y=0.得：0/0=2x.用dy/dx代替0/0。讓它穿上“節(jié)日制服”。得到dy/dx﹦2x。這里，馬克思根本沒有動用“暴力鎮(zhèn)壓”（抹去dx2）。卻得到了同牛、萊完全一致的結(jié)果。等式左邊是0/0，本來是不確定的。可以取任意值。然而，右邊卻等于一個完全確定的值2x。這種由不確定到確定的轉(zhuǎn)化，在形而上學(xué)眼里純屬荒廖絕倫?？墒寝q證法卻承認(rèn)它是天經(jīng)地義的。這是為什么？原因就在于微積分突破了初等數(shù)學(xué)只研究常量的傳統(tǒng)觀念，進入了變數(shù)的領(lǐng)域，，運動進入了數(shù)學(xué)。函數(shù)和自變量動起來了。它首先變化到x1，這樣產(chǎn)生了對事物的運動位置、狀態(tài)的第一次否定，得到有限差△x﹦x1-x;△y﹦?(x1)-?(x).這就把一點的運動狀態(tài)與其周圍的運動狀態(tài)聯(lián)系起來了，使我們在運動中把握著運動。接著又令x1變回到x，于是，產(chǎn)生了對運動、狀態(tài)的第二次否定，即否定之否定。經(jīng)過以上兩次否定，我們不是回到了出發(fā)點，而是實現(xiàn)了代數(shù)向微分轉(zhuǎn)化的一次飛躍，解決了初等數(shù)學(xué)無法解決的矛盾。x1退回到x，但這個x已不是當(dāng)初的x。它在第一次否定中起了變化，只是按名稱來說還叫它為變量x。由于x1的后退運動，△x和△y都消失了，變成了0/0的形式（穿上了“節(jié)日制服”后為dy/dx）。但是，“在0/0中沒有有顯示出是什么東西消失了；僅僅表達了量的方面，即分子消失了，分母也消失了，從而關(guān)系本身也消失了；沒有表達出質(zhì)的關(guān)系。質(zhì)的關(guān)系是存在著的。因為分子中的0僅僅是分母中的0的結(jié)果。從而它就是表示變量的函數(shù)對于變量的依賴關(guān)系。”12△x和△y在第二次否定過程中，僅僅是量的消失，而它們之間質(zhì)的關(guān)系即二者之比的值保留下來了。在第二次否定中，x否定了x1。但x1不是被消滅，而是辯證地?fù)P棄，是既被克服，又被存在?！鞍雌湫问絹碚f是被克服了，按其現(xiàn)實的內(nèi)容來說是被保存了”。13它通過部分地與自己結(jié)合，部分地與原函數(shù)中的x結(jié)合，轉(zhuǎn)化為一種新的形式——原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。由此看出，代數(shù)運算轉(zhuǎn)化為微分運算是在兩次否定過程中完成的。它通過函數(shù)自變量x前進與后退的矛盾運動，由量變發(fā)展到質(zhì)變，使代數(shù)運算發(fā)展為微分運算，常量運算轉(zhuǎn)化為變量運算，有限量的運算飛躍為無限量的運算。代數(shù)與微分由導(dǎo)數(shù)這座橋梁聯(lián)系起來了。導(dǎo)數(shù)是代數(shù)發(fā)展的終點，又是微積分的起點。所以馬克思說：微分學(xué)“本身是用代數(shù)方法推出來的”“只有從微分起著計算的出發(fā)點的作用時開始，代數(shù)向微分方法的轉(zhuǎn)換才告結(jié)束。從而微分學(xué)本身就作為一種獨特、專門的變量的計算方法而出現(xiàn)?！?4 二、極限——量與質(zhì)、有限與無限的對立統(tǒng)一 極限理論是整個微積分的理論基礎(chǔ)，它貫穿于微積分學(xué)的始終。微積分基本問題的解極限理論是整個微積分的理論基礎(chǔ)，它貫穿于微積分學(xué)的始終。微積分基本問題的解決，主要概念的建立，都依賴于極限方法。極限概念是客觀事物質(zhì)的規(guī)定性和量的規(guī)定性的辯證統(tǒng)一，即質(zhì)和量的辯證統(tǒng)一。數(shù)學(xué)上的極限概念和哲學(xué)的“度”的概念是一致的。辯證法認(rèn)為：一切發(fā)展變化的事物在其發(fā)展的各個階段上總要保持自己質(zhì)的數(shù)量界限。在這個界限內(nèi)事物就存在。超出了這個界限，該事物便轉(zhuǎn)化為他事物。變化著的事物，在變化過程逐步趨近于一個穩(wěn)定狀態(tài)，用數(shù)學(xué)的語言說即趨向于某一個“常量”。這種趨于穩(wěn)定的過程，數(shù)學(xué)上叫做極限過程。這個“常量”就是數(shù)學(xué)中的極限。哲學(xué)上稱之為“度”。當(dāng)客觀事物在極限（度）范圍內(nèi)變化時，相對而言主要是量的變化，而無明顯質(zhì)的變化。從而保持了該事物的相對穩(wěn)定性。一旦變化達到了極限的位置，就會出現(xiàn)質(zhì)的飛躍，原來的事物消失了，新的事物誕生了。極限概念又是一個有限與無限的對立統(tǒng)一。有限與無限是客觀世界中普遍存在的一對矛盾。物質(zhì)、運動、時間、空間等等，從量的方面來說都是有限與無限的對立統(tǒng)一。現(xiàn)實世界中的有限與無限，反映到人們的頭腦中，經(jīng)過思維的加工，構(gòu)成了數(shù)學(xué)中“量”的有限與無限的矛盾運動，即它們之間的相互轉(zhuǎn)化。微積分在研究變量的關(guān)系時，突破了有限，一直深入到無限之中去。它巧妙和不斷地運用有限與無限的相互轉(zhuǎn)化取得了一批批重大成果。而這個巧妙的方法就是極限方法。下面舉兩個例子，看看微積分是如何巧妙運用極限理論來實現(xiàn)有限與無限轉(zhuǎn)化的。例1、 求運動物體的瞬時速度。設(shè)S（t）為某物體作直線運動的路程函數(shù)。當(dāng)時間從t變到t1，其改變量（增量）△t﹦t1-t。路程就從S(t)變到S(t1)=S(t+△t)，其改變量是：△S﹦S(t1)-S(t)﹦S(t+△t)-S(t)那么，在t到t1這段時間內(nèi)的平均速度為： _ △S S(t+△t)-S(t)U﹦---﹦--------------- △t t1-t從上式中看出，不論△t怎么樣小，△S/△t仍然是平均速度，不是該運動物體在時刻t的瞬時速度。怎樣才能由平均速度轉(zhuǎn)化為瞬時速度呢？它是通過極限方法來實現(xiàn)的。設(shè)△t逐步地縮小，并把這一過程推向無限即△t→（無限接近）0那么平均速度△S/△t就經(jīng)歷一個無限變動過程，最后轉(zhuǎn)化為瞬時速度。描述這一轉(zhuǎn)化過程的表達式是： △S S(t+△t)-S(t)l?m ---- ﹦ l?m ----------------△t→0 △t △t→0 △t這個式子告訴我：求瞬時速度問題是一個化有限為無限，又從無限認(rèn)識有限的過程。實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化的橋梁是極限方法。例2、求變速直線運動的路程。已知物體運動的速度函數(shù)為U=U（t）。如何求物體在時間區(qū)間（a?b)內(nèi)所走過的路程？我們從初等數(shù)學(xué)中勻速直線運動的公式知道：路程﹦速度×?xí)r間。但現(xiàn)在要求的是變速直線運動，速度不是常量，而是隨時間變化的變量。這就遇到了“變”與“不變”的矛盾。如何解決這一矛盾？還是老辦法，就是突破有限，深入無限，利用有限與無限的相互轉(zhuǎn)化，解決“變”與“不變”、“勻”與“不勻”的矛盾。實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)變的數(shù)學(xué)工具還是極限方法。其轉(zhuǎn)化的具體過程是：第一步：“化整為零”:把時間區(qū)間（b?a）分點a﹦t0＜tl＜t2……＜tn-l＜tn﹦分為n段，各段的區(qū)間為：△t0﹦tl-t0?△tl﹦t2-tl?△t2﹦t3-t2……△tn-l﹦tn-tn-l，△tn﹦tn-tn-l物體在第i個區(qū)間內(nèi)所走的路程為△Si第二步“以勻代變”：把物體在極短的第i個時間間隔中運動的狀態(tài)，近似地看作勻速運動，即以勻速U(t)代替變速，于是有：ΔS≈U(ti)△t　(i﹦0?l?2?3……n-l)。第三步“積零為整”：把物體在各區(qū)間內(nèi)所走過的路程的近似值加起來，所得到的總路程S的近似值： n-lS≈U(t0)Δt0+U(tl)(△tl)+???……U(tn-l)△tn-l﹦∑ U(ti)△ti ｉ﹦0到目前為止尚未完成“勻”與“不勻”的轉(zhuǎn)化，這里的S還不是變速運動物體在時間區(qū)間（ａ?ｂ）內(nèi)所走過的路程的精確值。要達到預(yù)定目的，需要把有限（ａ?ｂ）時間區(qū)間，轉(zhuǎn)化為無限變動的極限過程來研究。于是進入最后一步：第四步“取極限”：把時間區(qū)間（ａ?ｂ)無限細分，使Ｓ進入無限運動過程。當(dāng)Δtｉ→第四步“取極限”：把時間區(qū)間（ａ?ｂ)無限細分，使Ｓ進入無限運動過程。當(dāng)Δtｉ→0時，就得到了變速運動的路程的準(zhǔn)確值： nlS＝lim ∑ U(ti)Δtｉ Δt→0 i=0比較上述兩個例子，盡管它們各屬不同研究范疇，前一個問題是微分學(xué)所研究的。后一個問題是前一個問題的逆運算，它是微分學(xué)研究的內(nèi)容。然而，它們有著共同的特征，那就是運用極限方法，做“有限”與“無限”的轉(zhuǎn)化工作，從有限到無限再到有限，經(jīng)過兩次否定，微積分中的“直”與“曲”、“變”與“不變“勻”與“不勻”等基本矛盾解決了。人們從有限中認(rèn)識了無限，把握了無限。在“有限——無限——有限”這個公式中，體現(xiàn)了事物發(fā)展否定之否定過程。最后那個“有限”不是回到了原來的出發(fā)點，它比前面那個“有限”高了一級。因為它帶著解決問題的結(jié)果回來了。由此可知，極限概念包含兩個方面：它不僅包含極限過程，而且也包含極限結(jié)果。從過程來看表現(xiàn)為有限向無限轉(zhuǎn)化；從結(jié)果來看，無限又轉(zhuǎn)化為有限。極限概念正是這種過程與結(jié)果、有限與無限、常量與變量、量與質(zhì)的對立統(tǒng)一。 三、“直”與“曲”在微積分中的同一性恩格斯說：“高等數(shù)學(xué)的主要基礎(chǔ)之一是這樣一個矛盾：在一定條件下直線和曲線應(yīng)當(dāng)是一回事”15這句話高度概括了微積分的基本思想。全部微積分學(xué)就是建立在解決“直”與“曲”的矛盾，實現(xiàn)這一矛盾相互轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上。形而上學(xué)者聽到這句話目瞪口呆。大叫“荒謬！荒謬！”在他們眼里直就是直，曲就是曲，怎能等同起來呢？“直線和曲線在微積分中終于等同起來了”16的觀點，是無法理解和接受的。這是因為他們用靜止、孤立、片面的觀點看世界。不管他們承認(rèn)不承認(rèn)這一點。然而，生活常識畢竟如此。比如一條畢直的鐵路，就其某一段這個局部來講，它確實是直的。但這條鐵路是鋪設(shè)在地球表面，而地球是橢圓形球體。筆直的鐵路是地球表面的一段弧。因此它又千真萬確是曲的。宇宙中恒星照射到地球上光線一貫被人們視為絕對的“直”。然而，愛因斯坦的相對論告訴我們，由于引力強作用，空間和時間都會發(fā)生彎曲。光線受引力場作用也變曲了。因此，世界上沒有絕對的“直”與“曲”，只存在著“直”與“曲”的對立統(tǒng)一體。它們在一定條件下相互轉(zhuǎn)化，“直”與“曲”等同起來了。哲學(xué)上稱之為直與曲的同一性。當(dāng)然，“直”與“曲”的等同和相互轉(zhuǎn)化是相對的、有條件的，絕對不是無條件無差異的同一。微積分是“直”與“曲”轉(zhuǎn)化的橋梁。在微積分中，直與曲轉(zhuǎn)化的條件是“細分“。直線與曲線的等同是在細分過程中實現(xiàn)的。例如，在微積分中求曲線y＝x2與x軸和直線x＝l所圍成的曲邊三角形的面積，其方法是：第一步“化整為零”：把曲邊三角形等分為若干個小曲邊梯形，并記第ｉ小曲邊梯形為第一步“化整為零”：把曲邊三角形等分為若干個小曲邊梯形，并記第ｉ小曲邊梯形為ΔS第二步“以直代曲”：對于每個ΔSｉ用相應(yīng)的矩形面積近似代替，則有：ΔSｉ＝xｉ2Δxｉ(ｉ＝0，l，……ｎ-l)第三步“積零為整）：把所有的小矩形面積加起來求出階梯形面積Sｎ，它是曲邊三角形面積S的一個近似值： ｎ-lS≈Sｎ＝ ∑ xｉ2Δxｉｉ=0 第四步“取極限”：把曲邊三角形無限細分，當(dāng)Δxｉ→0時，這時每個無限小的矩形面積就轉(zhuǎn)化為微分，近似值變?yōu)闇?zhǔn)確值，從而得到積分： ｎ-1∫1xｄx＝ｌｉｍ ∑ xｉΔxｉ 0 x→0 ｉ＝0 ｎ-1等式左邊是曲邊三角形面積，右邊的 ∑ xｉ2Δxｉ是階梯形面積。兩者在極限ｉ=0 幫助下終于等同起來了，不僅階梯形的面積等于曲邊三角形的面積。而且此時各無限小曲邊形中的“曲邊”與相應(yīng)的無限小矩形中的“直邊”也等同起來了。。當(dāng)然，還應(yīng)看到，這里“直”與“曲”的等同不是絕對的、無條件的、簡單地相等，而是有矛盾有差異的等同，是辯證的等同。從曲邊三角形的面積和階梯形面積的等同上看，它們相差了一個高階無窮小量。這個無窮小量就是這樣一個量：它是“0”而又非“0”，趨向“0”而又不等于“0”。它可以完成非“0”的一切運算。但在解決實際問題時又可以當(dāng)作“0”用，并不影響計算結(jié)果。微積分中“直”與“曲”的轉(zhuǎn)化就是在這個無窮小量的幫助下完成的。微積分中的“直”與“曲”的等同和轉(zhuǎn)化，突破了初等數(shù)學(xué)“山窮水盡疑無路”的困境，開辟了由“直”認(rèn)識“曲”的廣闊途征，給數(shù)學(xué)帶來了“柳暗花明又一村”。 ??！偉大的微積分。你是數(shù)學(xué)的哲學(xué)，又是哲學(xué)的數(shù)學(xué)。哲學(xué)`、數(shù)學(xué)在你身上獲得了